人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 階段質(zhì)量檢測二

2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測（二） (時間時間 90 分鐘，滿分分鐘，滿分 120 分分) 一、選擇題一、選擇題(本大題共本大題共 10 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 50 分分) 1下列三句話按三段論模式排列順序正確的是下列三句話按三段論模式排列順序正確的是( ) ycos x(xR)是三角函數(shù)；是三角函數(shù)； 三角函數(shù)是周期函數(shù)；三角函數(shù)是周期函數(shù)； ycos x(xR)是周期函數(shù)是周期函數(shù) A B C D 解析：解析：選選 B 按三段論的模式，排列順序正確的是按三段論的模式，排列順序正確的是. 2將平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易將平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得下列結(jié)論：得下列結(jié)論： a bb a； (a b) ca (b c)； a (bc)a ba c； 由由 a ba c(a0)可得可得 bc. 則正確的結(jié)論有則正確的結(jié)論有( ) A1 個個 B2 個個 C3 個個 D4 個個 解析：解析：選選 B 平面向量的數(shù)量積的運算滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律，故平面向量的數(shù)量積的運算滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律，故正正確，確，錯誤；由錯誤；由 a ba c(a0)得得 a (bc)0，從而，從而 bc0 或或 a(bc)，故，故錯誤錯誤 3(山東高考山東高考)用反證法證明命題用反證法證明命題“設(shè)設(shè) a，b 為實數(shù)，則方程為實數(shù)，則方程 x3axb0 至少有一個實至少有一個實根根”時，要做的假設(shè)是時，要做的假設(shè)是( ) A方程方程 x3axb0 沒有實根沒有實根 B方程方程 x3axb0 至多有一個實根至多有一個實根 C方程方程 x3axb0 至多有兩個實根至多有兩個實根 D方程方程 x3axb0 恰好有兩個實根恰好有兩個實根 解析：解析：選選 A “至少有一個實根至少有一個實根”的否定是的否定是“沒有實根沒有實根”，故要做的假設(shè)是，故要做的假設(shè)是“方程方程 x3axb0 沒有實根沒有實根” 4由由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想：可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個正四面體的內(nèi)切球切于四個(A 卷卷 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)) 面面_”( ) A各正三角形內(nèi)一點各正三角形內(nèi)一點 B各正三角形的某高線上的點各正三角形的某高線上的點 C各正三角形的中心各正三角形的中心 D各正三角形外的某點各正三角形外的某點 解析：解析：選選 C 正三角形的邊正三角形的邊對應(yīng)正四面體的面，邊的中點對應(yīng)正四面體的面正三角形的對應(yīng)正四面體的面，邊的中點對應(yīng)正四面體的面正三角形的中心中心 5已知已知 a(0，)，不等式，不等式 x1x2，x4x23，x27x34，可推廣為，可推廣為 xaxnn1，則，則 a 的值為的值為( ) A2n Bn2 C22(n1) Dnn 解析：解析：選選 D 將四個答案分別用將四個答案分別用 n1,2,3 檢驗即可，故選檢驗即可，故選 D. 6下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的對任意的 x0，y0，函數(shù)，函數(shù) f(x)滿足滿足f(x)yf(xy)”的是的是( ) A指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) B對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) C一次函數(shù)一次函數(shù) D余弦函數(shù)余弦函數(shù) 解析：解析：選選 A 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) f(x)ax(a0，a1)時，對任意的時，對任意的 x0，y0，有，有f(x)y(ax)yaxyf(xy)，即指數(shù)函數(shù)，即指數(shù)函數(shù) f(x)ax(a0，a1)滿足滿足f(x)yf(xy)，可以檢驗，可以檢驗，B、C、D 選項均不滿足選項均不滿足要求要求 7觀察下列各等式：觀察下列各等式：2246642，5543342，7741142，101042242，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為( ) A.nn48n 8n 42 B.n1 n1 4 n1 5 n1 42 C.nn4n4 n4 42 D.n1 n1 4n5 n5 42 解析：解析：選選 A 觀察分子中觀察分子中 26537110(2)8. 8用火柴棒擺用火柴棒擺“金魚金魚”，如圖所示：，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第按照上面的規(guī)律，第 n 個個“金魚金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為圖形需要火柴棒的根數(shù)為( ) A6n2 B8n2 C6n2 D8n2 解析：解析：選選 C 歸納歸納“金魚金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚金魚”都比它前面的都比它前面的“金魚金魚”多多了去掉尾巴后了去掉尾巴后 6 根火柴組成的魚頭部分，故各根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8，公差是，公差是 6 的等差數(shù)列，通項公式為的等差數(shù)列，通項公式為 an6n2. 9觀察下列各式：觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則，則 a10b10( ) A28 B76 C123 D199 解析：解析：選選 C 記記 anbnf(n)， 則則 f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347； f(5)f(3)f(4)11. 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)通過觀察不難發(fā)現(xiàn) f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)， 則則 f(6)f(4)f(5)18； f(7)f(5)f(6)29； f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76； f(10)f(8)f(9)123. 所以所以 a10b10123. 10數(shù)列數(shù)列an滿足滿足 a112，an111an，則，則 a2 015等于等于( ) A.12 B.1 C2 D3 解析：解析：選選 B a112，an111an， a211a11， a311a22， a411a312， a511a41， a611a52， an3kan(nN*，kN*)， a2 015a23671a21. 二、填空題二、填空題(本大題共本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分分) 11已知已知 2232 23， 3383 38， 44154 415，若，若 6ab6 ab(a，b 均為實數(shù)均為實數(shù))，則，則 a_，b_. 解析：解析：由前面三個等式，推測歸納被平方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由三個等由前面三個等式，推測歸納被平方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由三個等式知，整數(shù)和這個分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個分子的平方減式知，整數(shù)和這個分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個分子的平方減 1，由此推測，由此推測 6ab中：中：a6，b62135，即，即 a6，b35. 答案：答案：6 35 12已知圓的方程是已知圓的方程是 x2y2r2，則經(jīng)過圓上一點，則經(jīng)過圓上一點 M(x0，y0)的切線方程為的切線方程為 x0 xy0yr2.類比類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓上述性質(zhì)，可以得到橢圓x2a2y2b21 類似的性質(zhì)為類似的性質(zhì)為_ 解析：解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點 M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個的切線方程就是將圓的方程中的一個 x 與與 y分別用分別用 M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換故可得橢圓的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換故可得橢圓x2a2y2b21 類似的性質(zhì)為：經(jīng)過橢圓類似的性質(zhì)為：經(jīng)過橢圓x2a2y2b21 上一點上一點 P(x0，y0)的切線方程為的切線方程為x0 xa2y0yb21. 答案：答案：經(jīng)過橢圓經(jīng)過橢圓x2a2y2b21 上一點上一點 P(x0，y0)的切線方程為的切線方程為x0 xa2y0yb21 13 若定義在區(qū)間 若定義在區(qū)間 D 上的函數(shù)上的函數(shù) f(x)對于對于 D 上的上的 n 個值個值 x1， x2， ， xn， 總滿足， 總滿足1nf(x1)f(x2)f(xn)f x1x2xnn，稱函數(shù)，稱函數(shù) f(x)為為 D 上的凸函數(shù)現(xiàn)已知上的凸函數(shù)現(xiàn)已知 f(x)sin x 在在(0，)上是凸函數(shù)，則上是凸函數(shù)，則ABC 中，中，sin Asin Bsin C 的最大值是的最大值是_ 解析：解析：因為因為 f(x)sin x 在在(0，)上是凸函數(shù)上是凸函數(shù)(小前提小前提)， 所以所以13(sin Asin Bsin C)sinABC3(結(jié)論結(jié)論)， 即即 sin Asin Bsin C3sin33 32. 因此，因此，sin Asin Bsin C 的最大值是的最大值是3 32. 答案：答案：3 32 14觀察下圖：觀察下圖： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 則第則第_行的各數(shù)之和等于行的各數(shù)之和等于 2 0152. 解析：解析： 觀察知， 圖中的第觀察知， 圖中的第 n 行各數(shù)構(gòu)成一個首項為行各數(shù)構(gòu)成一個首項為 n， 公差為， 公差為 1， 共， 共 2n1 項的等差數(shù)列，項的等差數(shù)列，其各項和為其各項和為 Sn(2n1)n 2n1 2n2 2 (2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2， 令令(2n1)22 0152，得，得 2n12 015，解得，解得 n1 008. 答案：答案：1 008 三三、解答題、解答題(本大題共本大題共 4 小題，共小題，共 50 分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的公差為的公差為 d，前，前 n 項和為項和為 Sn，an有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)：(m，n，p，qN*) 通項通項 anam(nm)d； 若若 mnpq，則，則 amanapaq； 若若 mn2p，則，則 aman2ap； Sn，S2nSn，S3nS2n構(gòu)成等差數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列 類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，寫出相類似的性質(zhì)中，寫出相類似的性質(zhì) 解：解：在等比數(shù)列在等比數(shù)列bn中，公比為中，公比為 (0)，前，前 n 項和為項和為 Sn，bn有如下性有如下性質(zhì)：質(zhì)：(m，n，p，qN*) 通項通項 bnbmnm； 若若 mnpq，則，則 bm bnbp bq； 若若 mn2p，則，則 bm bnb2p； Sn，S2nSn，S3nS2n(Sn0)構(gòu)成等比數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列 16(本小題滿分本小題滿分 12 分分)觀察：觀察： sin210cos240sin 10cos 4034； sin26cos236sin 6cos 3634. 由上面兩式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想由上面兩式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想？并證明你的猜想 解：解：猜想：猜想： sin2cos2(30)sin cos(30)34. 證明如下：證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30) 1cos 221cos 602 212sin(302)sin(30) 1cos 60 2 cos 2212sin(230)14 3412cos 60cos 2sin 60sin 2cos 212sin(230) 3412 12cos 232sin 2 12sin(230) 3412sin(230)12sin(230)34， 即即 sin2cos2(30)sin cos(30)34. 17(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知已知ABC 的三邊長分別為的三邊長分別為 a，b，c，且其中任意兩邊長均不相，且其中任意兩邊長均不相等，若等，若1a，1b，1c成等差數(shù)列成等差數(shù)列 (1)比較比較 ba與與 cb的大小，并證明你的結(jié)論；的大小，并證明你的結(jié)論； (2)求證：角求證：角 B 不可能是鈍角不可能是鈍角 解：解：(1) ba cb.證明如下：證明如下： 要證要證 ba cb，只需證，只需證bacb. a，b，c0，只需證只需證 b2ac. 1a，1b，1c成等差數(shù)列，成等差數(shù)列， 2b1a1c2 1ac， b2ac. 又又a，b，c 均不相等，均不相等， b2ac. 故所得大小關(guān)系正確故所得大小關(guān)系正確 (2)證明：證明：法一法一：假設(shè)角假設(shè)角 B 是鈍角，則是鈍角，則 cos B0. 由余弦定理得，由余弦定理得， cos Ba2c2b22ac2acb22acacb22ac0， 這與這與 cos B0 矛盾，故假設(shè)不成立矛盾，故假設(shè)不成立 所以角所以角 B 不可能是鈍角不可能是鈍角 法二：法二：假設(shè)角假設(shè)角 B 是鈍角，則角是鈍角，則角 B 的對邊的對邊 b 為最大邊，即為最大邊，即 ba，bc，所以，所以1a1b0，1c1b0，則，則1a1c1b1b2b，這與，這與1a1c2b矛盾，故假設(shè)不成立矛盾，故假設(shè)不成立 所以角所以角 B 不可能是鈍角不可能是鈍角 18(本小題滿分本小題滿分 14 分分)我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？ (1)類比類比“等比數(shù)列等比數(shù)列”，請你給出，請你給出“等積數(shù)列等積數(shù)列”的定義的定義 (2)若若an是等積數(shù)列，且首項是等積數(shù)列，且首項 a12，公積為，公積為 6，試寫出，試寫出an的通項公式及前的通項公式及前 n 項和公式項和公式 解：解：(1)如果一個數(shù)列從第如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它前一項的乘積是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)項起，每一項與它前一項的乘積是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個常數(shù)叫做公積列叫做等積數(shù)列，其中，這個常數(shù)叫做公積 (2)由于由于an是等積數(shù)列，且首項是等積數(shù)列，且首項 a12，公積為，公積為 6，所以，所以 a23，a32，a43，a52，a63，即，即an的所有奇數(shù)項都等于的所有奇數(shù)項都等于 2，偶數(shù)項都等于，偶數(shù)項都等于 3，因此，因此an的通項公式為的通項公式為 an 2，n為奇數(shù)，為奇數(shù)，3，n為偶數(shù)為偶數(shù). 其前其前 n 項和公式項和公式 Sn 5n2，n為偶數(shù)，為偶數(shù)，5 n1 225n12，n為奇數(shù)為奇數(shù). (時間時間 90 分鐘，滿分分鐘，滿分 120 分分) 一、選擇題一、選擇題(本大題共本大題共 10 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 50 分分) 1命題命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假是假命題，推理錯誤的原因是命題，推理錯誤的原因是( ) A使用了歸納推理使用了歸納推理 B使用了類比推理使用了類比推理 C使用了三段論，但大前提使用錯誤使用了三段論，但大前提使用錯誤 D使用了三段論，但小前提使用錯誤使用了三段論，但小前提使用錯誤 解析：解析：選選 D 應(yīng)用了三段論推理，小前提與大前提不對應(yīng)，小前提使用錯誤導(dǎo)致應(yīng)用了三段論推理，小前提與大前提不對應(yīng)，小前提使用錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯結(jié)論錯誤誤 2用演繹推理證明函數(shù)用演繹推理證明函數(shù) yx3是增函數(shù)時的小前提是是增函數(shù)時的小前提是( ) A增函數(shù)的定義增函數(shù)的定義 B函數(shù)函數(shù) yx3滿足增函數(shù)的定義滿足增函數(shù)的定義 (B 卷卷 能力素養(yǎng)提升能力素養(yǎng)提升) C若若 x1x2，則，則 f(x1)x2，則，則 f(x1)f(x2) 解析：解析：選選 B 三段論中，根據(jù)其特征，大前提是增函數(shù)的定義，小前提是函數(shù)三段論中，根據(jù)其特征，大前提是增函數(shù)的定義，小前提是函數(shù) yx3滿足滿足增函數(shù)的定義，結(jié)論是增函數(shù)的定義，結(jié)論是 yx3是增函數(shù)，故選是增函數(shù)，故選 B. 3下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是( ) A由由 an2n1，求出，求出 S112，S222，S332，推斷：數(shù)列，推斷：數(shù)列an的前的前 n 項和項和 Snn2 B由由 f(x)xcos x 滿足滿足 f(x)f(x)對對xR 都成立，推斷：都成立，推斷：f(x)xcos x 為奇函數(shù)為奇函數(shù) C由半徑為由半徑為 r 的圓的面積的圓的面積 Sr2，推斷單位圓的面積，推斷單位圓的面積 S D由由(11)221，(21)222，(31)223，推斷：對一切，推斷：對一切 nN*，(n1)22n 解析：解析：選選 A 選項選項 A：為歸納推理，且：為歸納推理，且an2n1，an是等差數(shù)列，首項是等差數(shù)列，首項 a11，公，公差差 d2，則，則 Snnn n1 22n2，故，故 A 正確；選項正確；選項 B：為演繹推理；選項：為演繹推理；選項 C：為類比推理；：為類比推理；選項選項 D：為歸納推理，當(dāng)：為歸納推理，當(dāng) n7 時，時，(n1)282640)的面積為的面積為 Sr2，由此類比橢圓，由此類比橢圓x2a2y2b21(ab0)的面積最有可的面積最有可能是能是( ) Aa2 Bb2 Cab D(ab)2 解析：解析：選選 C 圓的方程可以看作是橢圓的極端情況，即圓的方程可以看作是橢圓的極端情況，即 ab 時的情形，因為時的情形，因為 S圓圓r2，可以類比出橢圓的面積最有可能是可以類比出橢圓的面積最有可能是 Sab. 7若若 P a a7，Q a3 a4(a0)，則，則 P，Q 的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是( ) APQ BPQ CPQ D由由 a 的取值確定的取值確定 解析：解析：選選 C P2( a a7)22a72 a27a， Q2( a3 a4)22a72 a27a12， P20，Q0，PQ. 8已知已知 a，bR，若，若 ab，且，且 ab2，則，則( ) A1aba2b22 Bab1a2b22 Caba2b221 D.a2b22ab1 解析：解析：選選 B b2a， aba(2a)(a22a)(a1)211，故選，故選 B. 9已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 Sn，且，且 a11，Snn2an(nN*)，可歸納猜想出，可歸納猜想出 Sn的表達(dá)的表達(dá)式為式為( ) A.2nn1 B.3n1n1 C.2n1n2 D.2nn2 解析：解析：選選 A 由由 a11，得，得 a1a222a2， a213，S243； 又又 113a332a3， a316，S33264； 又又 11316a416a4， 得得 a4110，S485. 由由 S122，S243，S364，S485可以猜想可以猜想 Sn2nn1. 10記記 Sk1k2k3knk，當(dāng)，當(dāng) k1,2,3，時，觀察下列等式：時，觀察下列等式： S112n212n，S213n312n216n，S314n412n314n2，S415n512n413n3130n， S516n612n5512n4An2， 由此可以推測由此可以推測 A( ) A112 B.114 C116 D.118 解析：解析：選選 A 根據(jù)所給等式可知，各等式右邊的各項系數(shù)之和為根據(jù)所給等式可知，各等式右邊的各項系數(shù)之和為 1，所以，所以1612512A1，解得，解得 A112. 二、填空題二、填空題(本大題共本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分分) 11已知已知 x，yR，且，且 xy2，則，則 x，y 中至少有一個大于中至少有一個大于 1，在用反證法證明時，假設(shè)，在用反證法證明時，假設(shè)應(yīng)為應(yīng)為_ 解析：解析：“至少有一個至少有一個”的反面為的反面為“一個也沒有一個也沒有”，即，即“x，y 均不大于均不大于 1”，亦即，亦即“x1且且 y1” 答案：答案：x，y 均不大于均不大于 1(或者或者 x1 且且 y1) 12函數(shù)函數(shù) ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點的圖象恒過定點 A，若點，若點 A 在直線在直線 mxny10(mn0)上，上，則則1m1n的最小值為的最小值為_ 解析：解析：因為函數(shù)因為函數(shù) ya1x的圖象所過的定點為的圖象所過的定點為 A(1，1)， 且點且點 A 在直線在直線 mxny10 上，所以上，所以 mn1. 又因為又因為 mn0，所以必有，所以必有 m0，n0， 于是于是1m1n(mn) 1m1n 2nmmn22 nmmn4. 答案：答案：4 13給出以下數(shù)對序列：給出以下數(shù)對序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 記第記第 i 行的第行的第 j 個數(shù)對為個數(shù)對為 aij，如，如 a43(3,2)，則，則 (1)a54_；(2)anm_. 解析：解析：由前由前 4 行的特點，歸納可得：行的特點，歸納可得： 若若 anm(a，b)，則，則 am，bnm1， a54(4,541)(4,2)， anm(m，nm1) 答案：答案：(1)(4,2) (2)(m，nm1) 14請閱讀下面材料：請閱讀下面材料： 若若兩個正實數(shù)兩個正實數(shù) a1，a2滿足滿足 a21a221，求證：，求證：a1a2 2. 證明：構(gòu)造函數(shù)證明：構(gòu)造函數(shù) f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因為對一切實數(shù)，因為對一切實數(shù) x，恒有，恒有f(x)0，所以，所以 0，從而得，從而得 4(a1a2)280，所以，所以 a1a2 2. 根據(jù)上述證明方法，若根據(jù)上述證明方法，若 n 個正實數(shù)滿足個正實數(shù)滿足 a21a22a2n1 時，你能時，你能得到的結(jié)論是得到的結(jié)論是_ 解析：解析：類比給出的材料，構(gòu)造函數(shù)類比給出的材料，構(gòu)造函數(shù) f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2 nx22(a1a2an)x1， 由對一切實數(shù)由對一切實數(shù) x，恒有，恒有 f(x)0， 所以所以 0，即可得到結(jié)論，即可得到結(jié)論 故答案為故答案為 a1a2an n. 答案：答案：a1a2an n 三、解答題三、解答題(本大題共本大題共 4 小題，共小題，共 50 分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15(本小題滿分本小題滿分 12 分分)若若 x，yR，且滿足，且滿足(x2y22) (x2y21)180. (1)求求 x2y2的取值范圍；的取值范圍； (2)求證：求證：xy2. 解：解：(1)由由(x2y2)2(x2y2)200 得得 (x2y25)(x2y24)0. 因為因為 x2y250，所以有，所以有 0 x2y24， 即即 x2y2的取值范圍為的取值范圍為0,4 (2)證明：由證明：由(1)知知 x2y24， 由基本不等式得由基本不等式得 xyx2y22422， 所以所以 xy2. 16(本小題滿分本小題滿分 12 分分)把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立是否成立 (1)如果一如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交；條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交； (2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行 解：解：(1)類比為：如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交，則必和另一個相交類比為：如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交，則必和另一個相交 結(jié)論是正確的證明如下：設(shè)結(jié)論是正確的證明如下：設(shè) ，且，且 a， 則必有則必有 b，若，若 與與 不相交，則必有不相交，則必有 . 又又，與，與 a 矛盾，矛盾，必有必有 b. (2)類比為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行結(jié)論是錯誤類比為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行結(jié)論是錯誤的，這兩個平面也可能相交的，這兩個平面也可能相交 17(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知：已知：sin2 30sin2 90sin2 15032，sin2 5sin2 65sin2 12532，通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出對任意角度，通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出對任意角度 都成立的一般性的命題，都成立的一般性的命題，并給予證明并給予證明 解：解：一般形式為：一般形式為： sin2sin2(60)sin2(120)32. 證明：左邊證明：左邊1cos 221cos 2120 2 1cos 2240 2 3212cos 2cos(2120)cos(2240) 3212(cos 2cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 240sin 2sin 240) 3212cos 212cos 232sin 212cos 232sin 232右邊右邊 將一般形式寫成將一般形式寫成 sin2(60)sin2sin2(60)32也正確也正確 18(本小題滿分本小題滿分 14 分分)如右圖，設(shè)拋物線如右圖，設(shè)拋物線 y22px(p0)的焦的焦點點為為 F，經(jīng)過點，經(jīng)過點 F 的直線交拋物線于的直線交拋物線于 A，B 兩點，點兩點，點 C 在拋物線的在拋物線的準(zhǔn)準(zhǔn)線上，且線上，且 BCx 軸軸 求證：直線求證：直線 AC 經(jīng)過原點經(jīng)過原點 O. 證明：證明： 因為拋物線因為拋物線 y22px(p0)的焦點為的焦點為 F p2，0 ， 所以， 所以經(jīng)過經(jīng)過點點F 的直線的直線 AB 的方程可設(shè)為的方程可設(shè)為 xmyp2， 代入拋物線方程，可得代入拋物線方程，可得 y22pmyp20. 設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，則 y1，y2是該方程的兩個根，是該方程的兩個根， 所以所以 y1y2p2. 因為因為 BCx 軸，且點軸，且點 C 在準(zhǔn)線在準(zhǔn)線 xp2上，上， 所以點所以點 C 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 p2，y2， 故直線故直線 CO 的斜率為的斜率為 ky2p22py1y1x1， 即即 k 也是直線也是直線 OA 的斜率，的斜率， 所以直線所以直線 AC 經(jīng)過原點經(jīng)過原點 O.