人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 第二章推理與證明學(xué)業(yè)分層測評3

2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016·鄭州高二檢測)下列說法正確的是()A由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B合情推理必須有前提有結(jié)論C合情推理不能猜想D合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤【解析】合情推理得出的結(jié)論不一定正確，故A錯；合情推理必須有前提有結(jié)論，故B對；合情推理中類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，可進行猜想，故C錯；合情推理得出的結(jié)論可以進行判定正誤，故D錯【答案】B2下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A“若a·3b·3，則ab”類比推出“若a·0b·0，則ab”B“(ab)cacbc”類比推出“(a·b)cac·bc”C“(ab)cacbc”類比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”類比推出“(ab)nanbn”【解析】由實數(shù)運算的知識易得C項正確【答案】C3(2016·大連高二檢測)用火柴棒擺“金魚”，如圖2­1­7所示，圖2­1­7按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2B8n2C6n2D8n2【解析】從可以看出，從第個圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n2.【答案】C4對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A一條中線上的點，但不是中心B一條垂線上的點，但不是垂心C一條角平分線上的點，但不是內(nèi)心D中心【解析】由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個面的中心【答案】D5(2016·南昌調(diào)研)已知整數(shù)對的序列為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第57個數(shù)對是()A(2,10)B(10,2)C(3,5)D(5,3)【解析】由題意，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)對有如下規(guī)律：(1,1)的和為2，共1個；(1,2)，(2,1)的和為3，共2個；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和為4，共3個；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和為5，共4個；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和為6，共5個由此可知，當(dāng)數(shù)對中兩個數(shù)字之和為n時，有n1個數(shù)對易知第57個數(shù)對中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對中的第2個數(shù)對，故為(2,10)【答案】A二、填空題6把正數(shù)排列成如圖2­1­8甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖2­1­8乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列an，若an2 017，則n_.【導(dǎo)學(xué)號：19220014】12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16甲12 45 7 910 12 14 16乙圖2­1­8【解析】圖乙中第k行有k個數(shù)，第k行最后的一個數(shù)為k2，前k行共有個數(shù)，由44×441 936,45×452 025知an2 017出現(xiàn)在第45行，第45行第一個數(shù)為1 937，第141個數(shù)為2 017，所以n411 031.【答案】1 0317(2016·日照高二檢測)二維空間中圓的一維測度(周長)l2r，二維測度(面積)Sr2，觀察發(fā)現(xiàn)Sl；三維空間中球的二維測度(表面積)S4r2，三維測度(體積)Vr3，觀察發(fā)現(xiàn)VS.已知四維空間中“超球”的三維測度V8r3，猜想其四維測度W_.【解析】因為V8r3，所以W2r4，滿足WV.【答案】2r48已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為_【解析】結(jié)合等差數(shù)列的特點，類比等比數(shù)列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，則有a1a2a3a92×9.【答案】a1a2a3a92×9三、解答題9已知數(shù)列，Sn為其前n項和，計算S1，S2，S3，S4，觀察計算結(jié)果，并歸納出Sn的公式【解】S1，S2，S3，S4，由此歸納猜想Sn.10(2016·咸陽高二檢測)在平面幾何中，研究正三角形內(nèi)任意一點與三邊的關(guān)系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是定值a.類比上述命題，請你寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題，并給出簡要的證明【解】類比所得的真命題是：棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和是定值a.證明：設(shè)M是正四面體P­ABC內(nèi)任一點，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個面的面積相等，故有：VP­ABCVM­ABCVM­PABVM­PACVM­PBC·SABC·(d1d2d3d4)，而SABCa2，VP­ABCa3，故d1d2d3d4a(定值)能力提升1根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測123 456×97等于()1×9211；12×93111；123×941 111；1 234×9511 111；12 345×96111 111；A1 111 110B1 111 111C1 111 112D1 111 113【解析】由前5個等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個等式依次多1位，所以123 456×971 111 111，故選B.【答案】B2已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則2”若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等”，則()A1B2C3D4【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長為1，即易知其高AM，此時易知點O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4××r××r，故AOAMMO，故AOOM31.【答案】C3(2016·溫州高二檢測)如圖2­1­9所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_【導(dǎo)學(xué)號：19220015】圖2­1­9【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則F(c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以(c，b)，(a，b)又因為，所以·b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e(舍去)【答案】4某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論【解】(1)選擇式，計算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin (cos 30°·cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.