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1、2019人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué)
空間向量與立體幾何解答題精選（選修2--1）
1．已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)。
（Ⅰ）證明：面面；
（Ⅱ）求與所成的角；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的大小。
證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為
.
（Ⅰ）證明：因
由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一點(diǎn)，則存在使
要使
為
所求二面角的平面角.
2．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形,
平面底面．
（Ⅰ）證明：
2、平面；
（Ⅱ）求面與面所成的二面角的大?。?
證明：
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系.
（Ⅰ）證明：不防設(shè)作，
則， ，
由得，又，因而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直. ∴平面.
（Ⅱ）解：設(shè)為中點(diǎn)，則，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小為
3．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，
側(cè)棱底面，，，，
為的中點(diǎn).
（Ⅰ）求直線與所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，
并求出點(diǎn)到和的距離.
解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則的坐標(biāo)為、
、、、
、，
從而
設(shè)的夾角為
3、，則
∴與所成角的余弦值為.
（Ⅱ）由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則
，由面可得，
∴
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到和的距離分別為.
4．如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截面而得到的，其中
.
（Ⅰ）求的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.
解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè).
∵為平行四邊形，
（II）設(shè)為平面的法向量，
的夾角為，則
∴到平面的距離為
5．如圖，在長(zhǎng)方體，中，，點(diǎn)在棱上移動(dòng).（1）證明：；
（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；
4、 （3）等于何值時(shí)，二面角的大小為.
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則
（1）
（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，從而，
，設(shè)平面的法向量為，則
也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為
（3）設(shè)平面的法向量，∴
由 令，
∴
依題意
∴（不合，舍去）， .
∴時(shí)，二面角的大小為.
6．如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于的一點(diǎn)，，已知，求：
（Ⅰ）異面直線與的距離；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.
解：（I）以為原點(diǎn)，、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由于，
在三棱柱中有
,
設(shè)
又側(cè)面，故. 因此是異面直線的公垂線，
則，故異面直線的距離為.
（II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角.
7．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是上
一點(diǎn)，. 已知
求（Ⅰ）異面直線與的距離；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以為原點(diǎn)，、、分別為
軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由已知可得
設(shè)
由，
即 由，
又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線
,的距離為.
（Ⅱ）作，可設(shè).由得
即作于，設(shè)，
則
由，
又由在上得
因故的平面角的大小為向量的夾角.
故 即二面角的大小為
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