人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 教學(xué)案：第二章2．22.2.2反證法

2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 22.2 反證法 預(yù)習(xí)課本預(yù)習(xí)課本 P4243，思考并完成下列問(wèn)題思考并完成下列問(wèn)題 (1)反證法的定義是什么？有什么特點(diǎn)？反證法的定義是什么？有什么特點(diǎn)？ (2)利用反證法證題的關(guān)鍵是什么？步驟是什么？利用反證法證題的關(guān)鍵是什么？步驟是什么？ 新知初探新知初探 反證法的定義及證題的關(guān)鍵反證法的定義及證題的關(guān)鍵 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 對(duì)反證法概念的理解對(duì)反證法概念的理解 (1)反證法的原理是反證法的原理是“否定之否定等于肯定否定之否定等于肯定” 第一個(gè)否定是指第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論否定結(jié)論(假設(shè)假設(shè))”； 第； 第二個(gè)否定是指二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定邏輯推理結(jié)果否定” (2)反證法屬反證法屬“間接解題方法間接解題方法” 2“反證法反證法”和和“證逆否命題證逆否命題”的區(qū)別與聯(lián)系的區(qū)別與聯(lián)系 (1)聯(lián)系：通聯(lián)系：通過(guò)證明逆否命題成立來(lái)證明原命題成立和通過(guò)反證法說(shuō)明原命題成立屬于過(guò)證明逆否命題成立來(lái)證明原命題成立和通過(guò)反證法說(shuō)明原命題成立屬于間接證明，都是很好的證明方法間接證明，都是很好的證明方法 (2)區(qū)別：證明逆否命題實(shí)際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立而反證區(qū)別：證明逆否命題實(shí)際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立而反證法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后通過(guò)推理導(dǎo)出矛盾法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后通過(guò)推理導(dǎo)出矛盾 小試身手小試身手 1判斷判斷(正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”“”) (1)反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法( ) (2)反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理( ) (3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用( ) 結(jié)論的否定即假設(shè)；結(jié)論的否定即假設(shè)；原命題的條件；原命題的條件；公理、定理、定義等；公理、定理、定義等；原命題的結(jié)論原命題的結(jié)論 A B C D 答案：答案：C 3如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)( ) A一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù) B兩個(gè)都是正數(shù)兩個(gè)都是正數(shù) C至少有一個(gè)正數(shù)至少有一個(gè)正數(shù) D兩個(gè)都是負(fù)數(shù)兩個(gè)都是負(fù)數(shù) 答案：答案：C 4用反證法證明用反證法證明“如果如果 ab，那么，那么3a3b ”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是_ 答案：答案：3a3b 用反證法證明否定性命題用反證法證明否定性命題 典例典例 已知三個(gè)正數(shù)已知三個(gè)正數(shù) a，b，c 成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證：成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證： a， b， c不不成等差數(shù)列成等差數(shù)列 證明證明 假設(shè)假設(shè) a， b， c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則 a c2 b， 即即 ac2 ac4b. a，b，c 成等比數(shù)列成等比數(shù)列，b2ac，即即 b ac， ac2 ac4 ac，( a c)20，即即 a c. 從而從而 abc，與，與 a，b，c 不成等差數(shù)列矛盾，不成等差數(shù)列矛盾， 故故 a， b， c不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列 1用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型 結(jié)論中含有結(jié)論中含有“不不”“”“不是不是”“”“不可能不可能”“”“不存在不存在”等詞語(yǔ)的命題稱(chēng)為否定性命題，此等詞語(yǔ)的命題稱(chēng)為否定性命題，此類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法 2用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 活活學(xué)活用學(xué)活用 已知已知 f(x)axx2x1(a1)，證明方程，證明方程 f(x)0 沒(méi)有負(fù)數(shù)根沒(méi)有負(fù)數(shù)根 證明：證明：假設(shè)假設(shè) x0是是 f(x)0 的負(fù)數(shù)根，的負(fù)數(shù)根， 則則 x00 且且 x01，且，且 ax0 x02x01， 由由 0ax010 x02x011， 解得解得12x02，這與，這與 x00 矛盾，所以假設(shè)不成立，矛盾，所以假設(shè)不成立， 故方程故方程 f(x)0 沒(méi)有負(fù)數(shù)根沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 用反證法證明用反證法證明“至至多多”“”“至少至少”問(wèn)題問(wèn)題 典例典例 已知已知 a1，求證三個(gè)方程：，求證三個(gè)方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解 證明證明 假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的判別式都小于假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的判別式都小于 0，即：，即： (4a)24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a0 32a12，a13或或a1，32a1，2a0. 這這與已知與已知 a1 矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解 一題多變一題多變 1變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)將本題改為：已知下列三個(gè)方程將本題改為：已知下列三個(gè)方程 x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù)至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù) a 的取值范圍？的取值范圍？ 解：解：若方程沒(méi)有一個(gè)有實(shí)根，則若方程沒(méi)有一個(gè)有實(shí)根，則 16a24(34a)0，(a1)24a20，4a28a0， 解得解得 32a12，a13或或a1，即，即32a1，2a0. 故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 a a1或或a32. 2變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)將本題條件改為三個(gè)方程中至多有將本題條件改為三個(gè)方程中至多有 2 個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) a的取值范圍的取值范圍 解：解：假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則 (4a)24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a0， 即即 4a24a30，3a22a10，a22a0， 解得解得 a32或或a12，1a13，a2或或a0. 即即 a . 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù) R. 3變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)已知已知 a，b，c，dR，且，且 abcd1，acbd1，求證：，求證：a，b，c，d 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù) 證明：證明：假設(shè)假設(shè) a0，b0，c0，d0. abcd1， (ab)(cd)1， acbdbcad1. 而而 acbdbcadacbd1，與上式矛盾，與上式矛盾， 假設(shè)不成立，假設(shè)不成立， a，b，c，d 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù) 用反證法證明用反證法證明“至多至多”“”“至少至少”等問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)等問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)反設(shè)情況要全面，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺反設(shè)情況要全面，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的少任何一種可能，反證法都是不完全的 (2)常用題型：對(duì)于否定性命題常用題型：對(duì)于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)或結(jié)論中出現(xiàn)“至多至多”“”“至少至少”“”“不可能不可能”等字樣時(shí)，等字樣時(shí)，常用反證法常用反證法 用反證法證明唯一性命題用反證法證明唯一性命題 典例典例 求證：兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)求證：兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn) 證明證明 假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無(wú)交點(diǎn)或不止一個(gè)交點(diǎn)假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無(wú)交點(diǎn)或不止一個(gè)交點(diǎn) 若直線(xiàn)若直線(xiàn) a，b 無(wú)交點(diǎn)，則無(wú)交點(diǎn)，則 ab 或或 a，b 是異面直線(xiàn)，與已知矛盾是異面直線(xiàn)，與已知矛盾 若直線(xiàn)若直線(xiàn) a，b 不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn) A 和和 B， 這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，B 就有兩條直線(xiàn)，這與就有兩條直線(xiàn)，這與“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)”相矛盾相矛盾 綜上所述，兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)綜上所述，兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn) 巧用反證法證明唯一性命題巧用反證法證明唯一性命題 (1)當(dāng)證明結(jié)論有以當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)”“”“唯一存在唯一存在”“”“只有一個(gè)只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明 (2)用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立成立 (3)證明證明“有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性 活學(xué)活用活學(xué)活用 求證：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)只有一條直線(xiàn)與它平行求證：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)只有一條直線(xiàn)與它平行 證明：證明：已知：直線(xiàn)已知：直線(xiàn) ba，A a，Ab， 求證：直線(xiàn)求證：直線(xiàn) b 唯一唯一 假設(shè)過(guò)點(diǎn)假設(shè)過(guò)點(diǎn) A 還有一條直線(xiàn)還有一條直線(xiàn) ba. 根據(jù)平行公理，根據(jù)平行公理，ba，bb， 與與 bbA 矛盾，矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立假設(shè)不成立，原命題成立 層級(jí)一層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1用反證法證明命題：用反證法證明命題：“若直線(xiàn)若直線(xiàn) AB，CD 是異面直線(xiàn)，則直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則直線(xiàn) AC，BD 也是異面直也是異面直線(xiàn)線(xiàn)”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟： 則則 A，B，C，D 四點(diǎn)共面，所以四點(diǎn)共面，所以 AB，CD 共面，這與共面，這與 AB，CD 是異面直線(xiàn)矛盾；是異面直線(xiàn)矛盾；所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線(xiàn)所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線(xiàn) AC，BD 也是異面直線(xiàn)；也是異面直線(xiàn)；假設(shè)直線(xiàn)假設(shè)直線(xiàn) AC，BD 是共面直線(xiàn)是共面直線(xiàn) 則正確的序號(hào)順序?yàn)閯t正確的序號(hào)順序?yàn)? ) A B C D 解析：解析：選選 B 根據(jù)反證法的三個(gè)基本步驟根據(jù)反證法的三個(gè)基本步驟“反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論”可可知順序應(yīng)為知順序應(yīng)為. 2用反證法證明命題用反證法證明命題“如果如果 a，bN，ab 可被可被 5 整除，那么整除，那么 a，b 中至少有一個(gè)能被中至少有一個(gè)能被5 整除整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為( ) Aa，b 都能被都能被 5 整除整除 Ba，b 都不能被都不能被 5 整除整除 Ca，b 不都能被不都能被 5 整除整除 Da 不能被不能被 5 整除整除 解析：解析：選選 B “至少有一個(gè)至少有一個(gè)”的否定是的否定是“一個(gè)也沒(méi)有一個(gè)也沒(méi)有”，即，即“a，b 都不能被都不能被 5 整除整除”，故選故選 B. 3用反證法證明命題用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是時(shí)，反設(shè)正確的是( ) A三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角 B三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角 C三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角 D三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角兩個(gè)鈍角 解析：解析：選選 B “至多有一個(gè)至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩至少有兩個(gè)個(gè)” 4已知已知 a，b 是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，直線(xiàn) c 平行于直線(xiàn)平行于直線(xiàn) a，那么，那么 c 與與 b 的位置關(guān)系為的位置關(guān)系為( ) A一定是異面直線(xiàn)一定是異面直線(xiàn) B一定是相交直線(xiàn)一定是相交直線(xiàn) C不可能是平行直線(xiàn)不可能是平行直線(xiàn) D不可能是相交直線(xiàn)不可能是相交直線(xiàn) 解析：解析：選選 C 假設(shè)假設(shè) cb，而由，而由 ca，可得，可得 ab，這與，這與 a，b 異面矛盾，故異面矛盾，故 c 與與 b 不可不可能是平行直線(xiàn)，故應(yīng)選能是平行直線(xiàn)，故應(yīng)選 C. 5已知已知 a，b，c，d 為實(shí)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，且 cd，則，則“ab”是是“acbd”的的( ) A充分而不必要條件充分而不必要條件 B必要而不充分條件必要而不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選 B cd，cd，ab，ac 與與 bd 的大小無(wú)法比較可采用反的大小無(wú)法比較可采用反證法，當(dāng)證法，當(dāng) acbd 成立時(shí)，假設(shè)成立時(shí)，假設(shè) ab，cd，acbd，與題設(shè)矛盾，與題設(shè)矛盾，ab.綜上可知，綜上可知，“ab”是是“acbd”的必要不充分條件的必要不充分條件 6否定否定“自然數(shù)自然數(shù) a，b，c 中恰有一個(gè)偶數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)是時(shí)，正確的反設(shè)是_ 答案：答案：自然數(shù)自然數(shù) a，b，c 中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 7命題命題“a，bR，若，若|a1|b1|0，則，則 ab1”用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為_(kāi) 解析：解析：“ab1”的反面是的反面是“a1 或或 b1”，所以設(shè)為，所以設(shè)為 a1 或或 b1. 答案：答案：a1 或或 b1 8和兩條異面直線(xiàn)和兩條異面直線(xiàn) AB，CD 都相交的兩條直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn) AC，BD 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_ 解析：解析：假設(shè)假設(shè) AC 與與 BD 共面于平面共面于平面 ，則，則 A，C，B，D 都在平面都在平面 內(nèi)，內(nèi)，AB，CD，這與，這與 AB，CD 異面相矛盾，故異面相矛盾，故 AC 與與 BD 異面異面 答案：答案：異面異面 9求證：求證：1， 3，2 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng) 證明：證明：假設(shè)假設(shè) 1， 3，2 是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為 d， 則則 1 3md,2 3nd，其中，其中 m，n 為兩個(gè)正整數(shù)，為兩個(gè)正整數(shù)， 由上面兩式消去由上面兩式消去 d，得，得 n2m 3(nm) 因?yàn)橐驗(yàn)?n2m 為有理數(shù)，而為有理數(shù)，而 3(nm)為無(wú)理數(shù)，為無(wú)理數(shù)， 所以所以 n2m 3(nm)，矛盾，因此假設(shè)不成立，矛盾，因此假設(shè)不成立， 即即 1， 3，2 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng) 10已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)在在 R 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，a，bR. (1)求證：如果求證：如果 ab0，那么，那么 f(a)f(b)f(a)f(b)； (2)判斷判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論你的結(jié)論 解：解：(1)證明：當(dāng)證明：當(dāng) ab0 時(shí)，時(shí)，ab 且且 ba. f(x)在在 R 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b) (2)(1)中命題的逆命題為中命題的逆命題為“如果如果 f(a)f(b)f(a)f(b)，那么，那么 ab0”，此命題成，此命題成立立 用反證法證明如下：用反證法證明如下： 假設(shè)假設(shè) ab0，則，則 ab，f(a)f(b) 同理可得同理可得 f(b)f(a) f(a)f(b)f(a)f(b)，這與，這與 f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假設(shè)不矛盾，故假設(shè)不成立，成立， ab0 成立，即成立，即(1)中命題的逆命題成立中命題的逆命題成立 層級(jí)二層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1用反證法證明命題用反證法證明命題“關(guān)于關(guān)于 x 的方程的方程 axb(a0)有且只有一個(gè)解有且只有一個(gè)解”時(shí)，反設(shè)是關(guān)于時(shí)，反設(shè)是關(guān)于 x的方程的方程 axb(a0)( ) A無(wú)解無(wú)解 B有兩解有兩解 C至少有兩解至少有兩解 D無(wú)解或至少有兩解無(wú)解或至少有兩解 解析：解析：選選 D “唯一唯一”的否定是的否定是“至少兩解或無(wú)解至少兩解或無(wú)解” 2下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是( ) A在在ABC 中，若中，若A90，則，則B 一定是銳角一定是銳角 B. 17， 13， 11不可能成等差數(shù)列不可能成等差數(shù)列 C在在ABC 中，若中，若 abc，則，則C60 D若若 n 為整數(shù)且為整數(shù)且 n2為偶數(shù)，則為偶數(shù)，則 n 是偶數(shù)是偶數(shù) 解析：解析：選選 C 顯然顯然 A、B、D 命題均真，命題均真，C 項(xiàng)中若項(xiàng)中若 abc，則，則ABC，若，若C60，則，則A60，B60，ABC180與與ABC180矛盾，故選矛盾，故選 C. 3設(shè)設(shè) a，b，c(，0)，則，則 a1b，b1c，c1a( ) A都不大于都不大于2 B都不小于都不小于2 C至少有一個(gè)不大于至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于至少有一個(gè)不小于2 解解析：析：選選 C 假設(shè)都大于假設(shè)都大于2，則，則 a1bb1cc1a6，但，但 a1b b1c c1a a1a b1b c1c2(2)(2)6，矛盾，矛盾 4若若ABC 能被一條直線(xiàn)分成兩個(gè)與自身相似的三角形，那么這個(gè)三角形的形狀是能被一條直線(xiàn)分成兩個(gè)與自身相似的三角形，那么這個(gè)三角形的形狀是( ) A鈍角三角形鈍角三角形 B直角三角形直角三角形 C銳角三角形銳角三角形 D不能確定不能確定 解析：解析：選選 B 分分ABC 的直線(xiàn)只能過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)且與對(duì)邊相交，如直線(xiàn)的直線(xiàn)只能過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)且與對(duì)邊相交，如直線(xiàn) AD(點(diǎn)點(diǎn) D 在在 BC上上)， 則， 則ADBADC， 若， 若ADB 為鈍角， 則為鈍角， 則ADC 為銳角 而為銳角 而ADCBAD， ADCABD，ABD 與與ACD 不可能相似，與已知不符，只有當(dāng)不可能相似，與已知不符，只有當(dāng)ADBADCBAC2時(shí)，才符合題意時(shí)，才符合題意 5已知數(shù)列已知數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式分別為的通項(xiàng)公式分別為 anan2，bnbn1(a，b 是常數(shù)，且是常數(shù)，且 ab)，那么這兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均對(duì)應(yīng)相同的項(xiàng)有，那么這兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均對(duì)應(yīng)相同的項(xiàng)有_個(gè)個(gè) 解析：解析：假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在 n 使得使得 anbn，由題意，由題意 ab，nN*，則恒有則恒有 anbn，從而，從而 an2bn1 恒成立，所以不存在恒成立，所以不存在 n 使使 anbn. 答案：答案：0 6完成反證法證題的全完成反證法證題的全過(guò)程設(shè)過(guò)程設(shè) a1，a2，a7是是 1,2，7 的一個(gè)排列，求證：乘的一個(gè)排列，求證：乘積積 p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)為偶數(shù) 證明：證明：假設(shè)假設(shè) p 為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 a11，a22，a77 均為奇數(shù)因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇均為奇數(shù)因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有數(shù)，故有 奇數(shù)奇數(shù)_0. 但但 0奇數(shù)，這一矛盾說(shuō)明奇數(shù)，這一矛盾說(shuō)明 p 為偶數(shù)為偶數(shù) 解析：解析：據(jù)題目要求及解題步驟，據(jù)題目要求及解題步驟， a11，a22，a77 均為奇數(shù)，均為奇數(shù)， (a11)(a22)(a77)也為奇數(shù)也為奇數(shù) 即即(a1a2a7)(127)為奇數(shù)為奇數(shù) 又又a1，a2，a7是是 1,2，7 的一個(gè)排列，的一個(gè)排列， a1a2a7127，故上式為，故上式為 0， 所以奇數(shù)所以奇數(shù)(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127)0. 答案答案：(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127) 7已知已知 a，b，c(0,1)，求證求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14. 證明：證明：假設(shè)假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a 都大于都大于14. 因?yàn)橐驗(yàn)?0a1,0b1,0c1， 所以所以 1a0.由基本不等式，由基本不等式， 得得(1a)b2 (1a)b1412. 同理，同理，(1b)c212，(1c)a212. 將這三個(gè)不等式兩邊分別相加，得將這三個(gè)不等式兩邊分別相加，得 (1a)b2(1b)c2(1c)a2121212， 即即3232，這是不成立的，這是不成立的， 故故(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14. 8已知數(shù)列已知數(shù)列an滿(mǎn)足：滿(mǎn)足：a112，3(1an1)1an2(1an)1an1，anan10(n1)；數(shù)列；數(shù)列bn滿(mǎn)足：滿(mǎn)足：bna2n1a2n(n1) (1)求數(shù)列求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)證明：數(shù)列證明：數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列 解：解：(1)由題意可知，由題意可知，1a2n123(1a2n) 令令 cn1a2n，則，則 cn123cn. 又又 c11a2134，則數(shù)列，則數(shù)列cn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 c134，公比為，公比為23的等比數(shù)列，即的等比數(shù)列，即 cn34 23n1， 故故 1a2n34 23n1a2n134 23n1. 又又 a1120，anan10， 故故 an(1)n1 134 23n1. bna2n1a2n 134 23n134 23n114 23n1. (2)用反證法證明用反證法證明 假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列bn存在三項(xiàng)存在三項(xiàng) br，bs，bt(rst)按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列bn是首項(xiàng)是首項(xiàng)為為14，公比為，公比為23的等比數(shù)列，于是有的等比數(shù)列，于是有 brbsbt，則只可能有，則只可能有 2bsbrbt成立成立 214 23s114 23r114 23t1， 兩邊同乘以?xún)蛇呁艘?3t121r，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得 3tr2tr2 2sr3ts. 由于由于 rst，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾故數(shù)上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾故數(shù)列列bn中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列 (時(shí)間：時(shí)間： 120 分鐘分鐘 滿(mǎn)分：滿(mǎn)分：150 分分) 一一、選擇題選擇題(本大題本大題共共 12 小題小題，每小題每小題 5 分分，共共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)函數(shù) f(x)x2在在 R 上是偶函數(shù)上是偶函數(shù)”的推理過(guò)程是的推理過(guò)程是( ) A歸納推理歸納推理 B類(lèi)比推理類(lèi)比推理 C演繹推理演繹推理 D非以上答案非以上答案 解析：解析：選選 C 根據(jù)演繹推理的定義知根據(jù)演繹推理的定義知，推理過(guò)程是演繹推理推理過(guò)程是演繹推理，故選故選 C. 2自然數(shù)是整數(shù)自然數(shù)是整數(shù)，4 是自然數(shù)是自然數(shù)，所以所以 4 是整數(shù)以上三段論推理是整數(shù)以上三段論推理( ) A正確正確 B推理形式不正確推理形式不正確 C兩個(gè)兩個(gè)“自然數(shù)自然數(shù)”概念不一致概念不一致 D“兩個(gè)整數(shù)兩個(gè)整數(shù)”概念不一致概念不一致 解析：解析：選選 A 三段論中的大前提三段論中的大前提、小前提及推理形小前提及推理形式都是正確的式都是正確的 3設(shè)設(shè) a，b，c 都是非零實(shí)數(shù)都是非零實(shí)數(shù)，則關(guān)于則關(guān)于 a，bc，ac，b 四個(gè)數(shù)四個(gè)數(shù)，有以下說(shuō)法：有以下說(shuō)法： 四個(gè)數(shù)可能都是正數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是正數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是負(fù)數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是負(fù)數(shù)；四個(gè)數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)四個(gè)數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù) 則說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有則說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有( ) A0 B1 C2 D3 解析：解析：選選 B 可用反證法推出可用反證法推出，不正確不正確，因此因此正確正確 4下列推理正確的是下列推理正確的是( ) A把把 a(bc)與與 loga(xy)類(lèi)比類(lèi)比，則有則有 loga(xy)logaxlogay B把把 a(bc)與與 sin(xy)類(lèi)比類(lèi)比，則有則有 sin(xy)sin xsin y C把把 a(bc)與與 axy類(lèi)比類(lèi)比，則有則有 axyaxay D把把(ab)c 與與(xy)z 類(lèi)比類(lèi)比，則有則有(xy)zx(yz) 解析：解析：選選 D (xy)zx(yz)是乘法的結(jié)合律是乘法的結(jié)合律，正確正確 5 已知已知“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排列：按如下規(guī)律排列： (1,1)， (1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第則第 70 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”為為( ) A(3,9) B(4,8) C(3,10) D(4,9) 解析：解析：選選 D 因?yàn)橐驗(yàn)?121166，所以第所以第 67 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”是是(1,12)，第第 68 個(gè)個(gè)“整整數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)”是是(2,11)，第第 69 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”是是(3,10)，第第 70 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”是是(4,9)，故選故選 D. 6求證：求證： 2 3 5. 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?2 3和和 5都是正數(shù)都是正數(shù)， 所以為了證明所以為了證明 2 3 5， 只需證明只需證明( 2 3)2( 5)2，展開(kāi)得展開(kāi)得 52 65， 即即 2 60，此式顯然成立此式顯然成立，所以不等式所以不等式 2 3 5成立成立 上述證明過(guò)程應(yīng)用了上述證明過(guò)程應(yīng)用了( ) A綜合法綜合法 B分析法分析法 C綜合法綜合法、分析法配合使用分析法配合使用 D間接證法間接證法 解析：解析：選選 B 證明過(guò)程中的證明過(guò)程中的“為了證明為了證明”，“只需證明只需證明”這樣的語(yǔ)句是分析這樣的語(yǔ)句是分析法所特有的法所特有的，是分析法的證明模式是分析法的證明模式 7已知已知bn為等比數(shù)列為等比數(shù)列，b52，則則 b1b2b3b929.若若an為等差數(shù)列為等差數(shù)列，a52，則則an的類(lèi)似結(jié)論為的類(lèi)似結(jié)論為( ) Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a929 Da1a2a929 解析解析：選選 D 由等差數(shù)列性質(zhì)由等差數(shù)列性質(zhì)，有有 a1a9a2a82a5.易知易知 D 成立成立 8若數(shù)列若數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列則數(shù)列anan1( ) A一定是等比數(shù)列一定是等比數(shù)列 B一定是等差數(shù)列一定是等差數(shù)列 C可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列 D一定不是等比數(shù)列一定不是等比數(shù)列 解析：解析：選選 C 設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，則則 anan1an(1q)當(dāng)當(dāng) q1 時(shí)時(shí)，anan1一定是等比數(shù)列；一定是等比數(shù)列； 當(dāng)當(dāng) q1 時(shí)時(shí)，anan10，此時(shí)為等差數(shù)列此時(shí)為等差數(shù)列 9已知已知 abc0，則則 abbcca 的值的值( ) A大于大于 0 B小于小于 0 C不小于不小于 0 D不大于不大于 0 解析：解析：選選 D 法一：法一：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbca2b2c220. 法二：法二：令令 c0，若若 b0，則則 abbcac0，否則否則 a，b 異號(hào)異號(hào)，abbcacab0，排除排除 A、B、C，選選 D. 10已知已知 123332433n3n13n(nab)c 對(duì)一切對(duì)一切 nN*都成立都成立，那么那么 a，b，c 的值的值為為( ) Aa12，bc14 Babc14 Ca0，bc14 D不存在這樣的不存在這樣的 a，b，c 解析：解析：選選 A 令令 n1,2,3， 得得 3 ab c1，9 2ab c7，27 3ab c34. 所以所以 a12，bc14. 11已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn，且且 a11，Snn2an(nN*)，可歸納猜想出可歸納猜想出 Sn的表達(dá)的表達(dá)式為式為( ) ASn2nn1 BSn3n1n1 CSn2n1n2 DSn2nn2 解析：解析：選選 A 由由 a11，得得 a1a222a2，a213，S243；又；又 113a332a3，a316，S33264； 又又 11316a416a4，得得 a4110，S485. 由由 S122，S243，S364，S485可以猜想可以猜想 Sn2nn1. 12設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)定義如下表定義如下表，數(shù)列數(shù)列xn滿(mǎn)足滿(mǎn)足 x05，且對(duì)任意的自然數(shù)均有且對(duì)任意的自然數(shù)均有 xn1f(xn)，則則 x2 016( ) x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 A.1 B2 C4 D5 解析：解析： 選選 D x1f(x0)f(5)2， x2f(2)1， x3f(1)4， x4f(4)5， x5f(5)2， ，數(shù)列數(shù)列xn是周期為是周期為 4 的數(shù)列的數(shù)列，所以所以 x2 016x45，故應(yīng)選故應(yīng)選 D. 二二、填空題填空題(本大題共本大題共 4 小題小題，每小題每小題 5 分分，滿(mǎn)分滿(mǎn)分 20 分把答案填在題中的橫線(xiàn)上分把答案填在題中的橫線(xiàn)上) 13已知已知 x，yR，且且 xy0，b0，mlga b2，nlgab2，則則 m，n 的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_ 解析：解析：ab0 ab0ab2 abab ( a b)2( ab)2 a b ab a b2ab2lga b2lg ab2. 答案：答案：mn 15已知已知 223223， 338338， 4415 4415， 6ab6ab，a，b 均為正實(shí)數(shù)均為正實(shí)數(shù)，由以上規(guī)律可推測(cè)出由以上規(guī)律可推測(cè)出 a，b 的值的值，則則 ab_. 解析：解析：由題意歸納推理得由題意歸納推理得 6ab6ab，b621 35，a6.ab63541. 答案：答案：41 16現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是是 a 的正方形的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為部分的面積恒為a24.類(lèi)比到空間類(lèi)比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)為有兩個(gè)棱長(zhǎng)為 a 的正方體的正方體，其中一個(gè)的某其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為正方體重疊部分的體積恒為_(kāi) 解析：解析：解法的類(lèi)比解法的類(lèi)比(特殊化特殊化)，易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為a38. 答案：答案：a38 三三、解答題解答題(本大題共本大題共 6 小題小題，共共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟證明過(guò)程或演算步驟) 17(本小題滿(mǎn)分本小題滿(mǎn)分 10 分分)用綜合法或分析法證明：用綜合法或分析法證明： (1)如果如果 a，b0，則則 lg ab2lg alg b2； (2)6 102 32. 證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng) a，b0 時(shí)時(shí)，有有ab2 ab， lgab2lg ab， lgab212lg ablg alg b2. (2)要證要證 6 102 32， 只要證只要證( 6 10)2(2 32)2， 即即 2 602 48，這是顯然成立的這是顯然成立的， 所以所以，原不等式成立原不等式成立 18(本小題滿(mǎn)分本小題滿(mǎn)分 12 分分)若若 a10，a11，an12an1an(n1,2，) (1)求證：求證：an1an； (2)令令 a112，寫(xiě)出寫(xiě)出 a2，a3，a4，a5的值的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 an(不要求不要求證明證明) 解：解：(1)證明：若證明：若 an1an，即即2an1anan， 解得解得 an0 或或 1. 從而從而 anan1a2a10 或或 1， 這與題設(shè)這與題設(shè) a10，a11 相矛盾相矛盾， 所以所以 an1an不成立不成立 故故 an1an成立成立 (2)由題意得由題意得 a112，a223，a345，a489，a51617，由此猜想：由此猜想：an2n12n11. 19(本小題滿(mǎn)分本小題滿(mǎn)分 12 分分)下列推理是否正確？若不正確下列推理是否正確？若不正確，指出錯(cuò)誤之處指出錯(cuò)誤之處 (1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于求證：四邊形的內(nèi)角和等于 360 . 證明：設(shè)四邊形證明：設(shè)四邊形 ABCD 是矩形是矩形，則它的四個(gè)角都是直角則它的四個(gè)角都是直角，有有ABCD90 90 90 90 360 ，所以四邊所以四邊形的內(nèi)角和為形的內(nèi)角和為 360 . (2)已知已知 2 和和 3 都是無(wú)理數(shù)都是無(wú)理數(shù)，試證：試證： 2 3也是無(wú)理數(shù)也是無(wú)理數(shù) 證明：依題設(shè)證明：依題設(shè) 2和和 3都是無(wú)理數(shù)都是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)之和是無(wú)理數(shù)而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)之和是無(wú)理數(shù)，所以所以 2 3必是必是無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù) (3)已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù) m 滿(mǎn)足不等式滿(mǎn)足不等式(2m1)(m2)0，用反證法證明：關(guān)于用反證法證明：關(guān)于 x 的方程的方程 x22x5m20 無(wú)實(shí)根無(wú)實(shí)根 證明：假設(shè)方程證明：假設(shè)方程 x22x5m20 有實(shí)根由已知實(shí)數(shù)有實(shí)根由已知實(shí)數(shù) m 滿(mǎn)足不等式滿(mǎn)足不等式(2m1)(m2)0，解得解得2m12，而關(guān)于而關(guān)于 x 的方程的方程 x22x5m20 的判別式的判別式 4(m24)，2m12，14m24，0，即關(guān)于即關(guān)于 x 的方程的方程 x22x5m20 無(wú)實(shí)根無(wú)實(shí)根 解：解：(1)犯了偷換論題的錯(cuò)誤犯了偷換論題的錯(cuò)誤，在證明過(guò)程中在證明過(guò)程中，把論題中的四邊形改為矩形把論題中的四邊形改為矩形 (2)使用的論據(jù)是使用的論據(jù)是“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，因此原題的真實(shí)性仍無(wú)法判定因此原題的真實(shí)性仍無(wú)法判定 (3)利用反證法進(jìn)行證明時(shí)利用反證法進(jìn)行證明時(shí)，要把要把假設(shè)作為條件進(jìn)行推理假設(shè)作為條件進(jìn)行推理，得出矛盾得出矛盾，本題在證明過(guò)程本題在證明過(guò)程中并沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論中并沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論，也沒(méi)有推出矛盾也沒(méi)有推出矛盾，所以不是反證法所以不是反證法 20(本小題滿(mǎn)分本小題滿(mǎn)分 12 分分)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，a11 2，S393 2. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)的通項(xiàng) an與前與前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn； (2)設(shè)設(shè) bnSnn(nN*)， 求證：數(shù)列求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列 解：解：(1)由已知得由已知得 a1 21，3a13d93 2， d2. 故故 an2n1 2，Snn(n 2) (2)由由(1)得得 bnSnnn 2. 假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)中存在三項(xiàng) bp，bq，br(p，q，r 互不相等互不相等)成等比數(shù)列成等比數(shù)列，則則 b2qbpbr， 即即(q 2)2(p 2)(r 2)， (q2pr)(2qpr) 20， p，q，rN*， q2pr0，2qpr0， pr22pr，(pr)20. pr，與與 pr 矛盾矛盾 數(shù)列數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列 21(本小題滿(mǎn)分本小題滿(mǎn)分 12 分分)已知：已知：sin2 30 sin2 90 sin2 150 32，sin2 5 sin2 65 sin2 125 32，通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出對(duì)任意角度請(qǐng)你寫(xiě)出對(duì)任意角度 都成立的一般性的命題都成立的一般性的命題，并并給予證明給予證明 解：解：一般形式為：一般形式為： sin2sin2(60 )sin2(120 )32. 證明：左邊證明：左邊1cos 221cos 2120 2 1cos 2240 2 3212cos 2cos(2120 )cos(2240 ) 3212(cos 2cos 2cos 120 sin 2sin 120 cos 2cos 240 sin 2sin 240 ) 3212cos 212cos 232sin 212cos 232sin 232右邊右邊 將一般形式寫(xiě)成將一般形式寫(xiě)成 sin2(60 )sin2sin2(60 )32也正確也正確 22(本小題滿(mǎn)分本小題滿(mǎn)分 12 分分)根據(jù)要求證明下列各題：根據(jù)要求證明下列各題： (1)用分析法證明：已知非零向量用分析法證明：已知非零向量 a，b，且且 ab，求證：求證：|a|b|ab| 2； (2)用反證法證明：用反證法證明：1， 2，3 不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng) 證明：證明：(1)aba b0，要證要證|a|b|ab| 2. 只需證只需證|a|b| 2|ab|， 只需證只需證|a|22|a|b|b|22(a22a bb2)， 只需證只需證|a|22|a|b|b|22a22b2， 只需證只需證|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20， 上式顯然成立上式顯然成立，故原不等式得證故原不等式得證 (2)假設(shè)假設(shè) 1， 2，3 是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別是第且分別是第 m，n，k 項(xiàng)項(xiàng)(m，n，kN *)， 則數(shù)列的公差則數(shù)列的公差 d21nm31km，即即 212 nm km， 因?yàn)橐驗(yàn)?m，n，kN*，所以所以(nm)Z，(km)Z，所以所以2 nm km為有理數(shù)為有理數(shù)， 所以所以 21 是有理數(shù)是有理數(shù)，這與這與 21 是無(wú)理數(shù)相矛盾是無(wú)理數(shù)相矛盾 故假設(shè)不成立故假設(shè)不成立，所以所以 1， 2，3 不可能是一個(gè)等差數(shù)列的三項(xiàng)不可能是一個(gè)等差數(shù)列的三項(xiàng)