人教版 高中數(shù)學【選修 21】 教學案：第一章1.2獨立檢驗的基本思想及其初步應用

《人教版 高中數(shù)學【選修 21】 教學案：第一章1.2獨立檢驗的基本思想及其初步應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教版 高中數(shù)學【選修 21】 教學案：第一章1.2獨立檢驗的基本思想及其初步應用（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019人教版精品教學資料高中選修數(shù)學 [核心必知] 1．預習教材，問題導入 根據(jù)以下提綱，預習教材P10～P15的內(nèi)容，回答下列問題． 閱讀教材P10“探究”的內(nèi)容，思考： (1)是否吸煙、是否患肺癌是什么變量？ 提示：分類變量． (2)吸煙與患肺癌之間的關(guān)系還是前面我們研究的線性相關(guān)關(guān)系嗎？ 提示：不是． (3)如何研究吸煙是否對患肺癌有影響？ 提示：獨立性檢驗． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)分類變量 變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量． (2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表． ②22列聯(lián)表

2、 一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (3)等高條形圖 ①圖形與表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征． ②通過直接計算或觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系． (4)獨立性檢驗 定義 利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗 公式 K2＝， 其中n＝a＋b＋c

3、＋d 具體 步驟 ①確定α，根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. ②計算K2，利用公式計算隨機變量K2的觀測值k. ③下結(jié)論，如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系” [問題思考] (1)有人說：“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙和患肺癌有關(guān)，是指每100個吸煙者中就會有99個患肺癌的．”你認為這種觀點正確嗎？為什么？ 提示：觀點不正確．犯錯誤的概率不超過0

4、.01說明的是吸煙與患肺癌有關(guān)的程度，不是患肺癌的百分數(shù)． (2)應用獨立性檢驗的基本思想對兩個變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的嗎？ 提示：不一定．所有的推斷只代表一種可能性，不代表具體情況． (3)下面是22列聯(lián)表. y1 y2 總計 x1 33 21 54 x2 a 13 46 總計 b 34 則表中a，b處的值應為多少？ 提示：a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66. [課前反思] (1)分類變量的定義是什么？ 　 (2)列聯(lián)表的定義是什么？22列聯(lián)表中的各個數(shù)據(jù)有什么意義？ 　 (3)什么是等高條形圖

5、，有什么作用？ 　 (4)獨立性檢驗的內(nèi)容是什么？ 　 講一講 1．在對人們飲食習慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習慣與年齡的列聯(lián)表，并利用與判斷二者是否有關(guān)系． [嘗試解答]　22列聯(lián)表如下： 年齡在六 十歲以上 年齡在六 十歲以下 總計 飲食以蔬菜為主 43 21 64 飲食以肉類為主 27 33 60 總計 70 54 1

6、24 將表中數(shù)據(jù)代入公式得 ＝＝0.671 875.＝＝0.45. 顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認為飲食習慣與年齡有關(guān)系． (1)作22列聯(lián)表時，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別．計算時要準確無誤． (2)利用22列聯(lián)表分析兩個分類變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得22列聯(lián)表，然后根據(jù)頻率特征，即將與的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣． 練一練 1．假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其22列聯(lián)表為： y1 y2 x1 10 18 x2 m 26 則當m

7、取下面何值時，X與Y的關(guān)系最弱(　　) A．8　　　　B．9　　　　C．14　　　　D．19 解析：選C　由1026≈18m，解得m≈14.4，所以當m＝14時，X與Y的關(guān)系最弱． 講一講 2．某學校對高三學生作了一項調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的學生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系． [嘗試解答]　作列聯(lián)表如下： 性格內(nèi)向 性格外向 總計 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 總計

8、426 594 1 020 相應的等高條形圖如圖所示： 圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認為考前緊張與性格類型有關(guān)． 利用等高條形圖判斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟： 練一練 2．在調(diào)查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，試利用圖形來判斷色盲與性別是否有關(guān)？ 解：根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表： 色盲 不色盲 總計 男 38 442 480 女 6 514 5

9、20 總計 44 956 1000 根據(jù)列聯(lián)表作出相應的等高條形圖： 從等高條形圖來看，在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多，因此，我們認為患色盲與性別是有關(guān)系的． 講一講 3．研究人員選取170名青年男女大學生為樣本，對他們進行一種心理測驗．發(fā)現(xiàn)有60名女生對該心理測驗中的最后一個題目的反應是：作肯定的有22名，否定的有38名；110名男生在相同的項目上作肯定的有22名，否定的有88名．問：性別與態(tài)度之間是否存在某種關(guān)系？用獨立性檢驗的方法判斷．(鏈接教材P13－例1) 附： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.7

10、06 3.841 5.024 [嘗試解答]　根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)建立如下22列聯(lián)表： 肯定 否定 總計 男生 22 88 110 女生 22 38 60 總計 44 126 170 根據(jù)22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到： k＝≈5.622>5.024. 所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認為“性別與態(tài)度有關(guān)系”． 根據(jù)題意列出22列聯(lián)表，計算K2的觀測值，如果K2的觀測值很大，說明兩個分類變量有關(guān)系的可能性很大；如果K2的觀測值比較小，則認為沒有充分的證據(jù)顯示兩個分類變量有關(guān)系． 練一練 3．在一次天氣惡劣的飛機航程中，調(diào)查

11、了男女乘客在飛機上暈機的情況：男乘客暈機的有24人，不暈機的有31人；女乘客暈機的有8人，不暈機的有26人．請你根據(jù)所給數(shù)據(jù)判定：在天氣惡劣的飛機航程中，男乘客是否比女乘客更容易暈機？ 附： P(K2≥k0) 0.10 0.05 k0 2.706 3.848 解：根據(jù)題意，列出22列聯(lián)表如下： 暈機 不暈機 總計 男乘客 24 31 55 女乘客 8 26 34 總計 32 57 89 假設在天氣惡劣的飛機航程中男乘客不比女乘客更容易暈機． 由公式可得K2的觀測值 k＝ ＝≈3.689>2.706， 故在犯錯誤的概率不超過0.10的前

12、提下，認為“在天氣惡劣的飛機航程中男乘客比女乘客更容易暈機”． ——————————————[課堂歸納感悟提升]—————————— 1．本節(jié)課的重點是用22列聯(lián)表、等高條形圖分析兩個分類變量間的關(guān)系以及獨立性檢驗． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)用22列聯(lián)表分析兩分類變量間的關(guān)系，見講1； (2)用等高條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系，見講2； (3)獨立性檢驗，見講3. 3．解決一般的獨立性檢驗問題的步驟： (1)通過列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值k0； (2)利用K2＝求出K2的觀測值k； (3)如果k≥k0，就推斷“兩

13、個分類變量有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“兩個分類變量有關(guān)系”． 其中第(2)步易算錯K2的值，是本節(jié)課的易錯點． 課下能力提升(二) [學業(yè)水平達標練] 題組1　用22列聯(lián)表分析兩分類變量間的關(guān)系 1．分類變量X和Y的列聯(lián)表如下： y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 則下列說法正確的是(　　) A．a(chǎn)d－bc越小，說明X與Y關(guān)系越弱 B．a(chǎn)d－bc越大，說明X與Y關(guān)系越強 C．(ad－bc)2越大，說明

14、X與Y關(guān)系越強 D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y關(guān)系越強 解析：選C　|ad－bc|越小，說明X與Y關(guān)系越弱，|ad－bc|越大，說明X與Y關(guān)系越強． 2．假設有兩個變量X與Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其列聯(lián)表為： y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 以下各組數(shù)據(jù)中，對于同一樣本能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為(　　) A．a(chǎn)＝50，b＝40，c＝30，d＝20 B．a(chǎn)＝50，b＝30，c＝40，d＝20 C．a(chǎn)＝20，b＝30，c＝40，d＝50

15、D．a(chǎn)＝20，b＝30，c＝50，d＝40 解析：選D　當(ad－bc)2的值越大，隨機變量K2＝的值越大，可知X與Y有關(guān)系的可能性就越大．顯然選項D中，(ad－bc)2的值最大． 3．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示： 文藝節(jié)目 新聞節(jié)目 總計 20至40歲 40 18 58 大于40歲 15 27 42 總計 55 45 100 由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)：________(填“是”或“否”)． 解析：因為在20至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新

16、聞節(jié)目，而大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目，即＝，＝，兩者相差較大，所以經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的． 答案：是 題組2　用等高條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系 4．如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖中可以看出(　　) A．性別與喜歡理科無關(guān) B．女生中喜歡理科的百分比為80% C．男生比女生喜歡理科的可能性大些 D．男生不喜歡理科的比為60% 解析：選C　從圖中可以分析，男生喜歡理科的可能性比女生大一些． 5．觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強的是(　　) 解析：選D　在四幅

17、圖中，D圖中兩個深色條的高相差最明顯，說明兩個分類變量之間關(guān)系最強． 6．為了研究子女吸煙與父母吸煙的關(guān)系，調(diào)查了一千多名青少年及其家長，數(shù)據(jù)如下： 父母吸煙 父母不吸煙 總計 子女吸煙 237 83 320 子女不吸煙 678 522 1 200 總計 915 605 1 520 利用等高條形圖判斷父母吸煙對子女吸煙是否有影響？ 解：等高條形圖如圖所示： 由圖形觀察可以看出父母吸煙者中子女吸煙的比例要比父母不吸煙者中子女吸煙的比例高，因此可以在某種程度上認為“子女吸煙與父母吸煙有關(guān)系”． 題組3　獨立性檢驗 7．在一項中學生近視情況的調(diào)查中，

18、某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關(guān)時用什么方法最有說服力(　　) A．平均數(shù)與方差 B．回歸分析 C．獨立性檢驗 D．概率 解析：選C　判斷兩個分類變量是否有關(guān)的最有效方法是進行獨立性檢驗． 8．對于分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k，下列說法正確的是(　　) A．k越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 B．k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 C．k越接近于0，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小 D．k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越大 解析：選B　k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程

19、度越小，則“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大，即k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越?。? 9．在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中，有下面的說法： ①若K2的觀測值k>6.635，則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺??； ②從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關(guān)系時，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺?。? ③從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為吸煙與患肺病有關(guān)系時，是指有5%的可能性使得推斷錯誤．其中說法正確的是________． 解析：K2是檢驗吸煙與患肺病相關(guān)程度

20、的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率，故說法①不正確；說法②中對“確定容許推斷犯錯誤概率的上界”理解錯誤；說法③正確． 答案：③ 10．為了解決高二年級統(tǒng)計案例入門難的問題，某校在高一年級的數(shù)學教學中設有試驗班，著重加強統(tǒng)計思想的滲透，下面是高二年級統(tǒng)計案例的測驗成績統(tǒng)計表(單位：分)的一部分，試分析試驗效果. 70及70分以下 70分以上 總計 對照班 32 18 50 試驗班 12 38 50 總計 44 56 100 附： P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 k0 5.024 6.635 7.8

21、79 解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，由公式得K2的觀測值 k＝ ＝≈16.234. 因為16.234>6.635， 所以，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為高二年級統(tǒng)計案例的測試成績與高一年級數(shù)學教學中增加統(tǒng)計思想的滲透有聯(lián)系． [能力提升綜合練] 1．利用獨立性檢驗對兩個分類變量是否有關(guān)系進行研究時，若有99.5%的把握認為事件A和B有關(guān)系，則具體計算出的數(shù)據(jù)應該是(　　) A．k≥6.635 B．k<6.635 C．k≥7.879 D．k<7.879 解析：選C　有99.5%的把握認為事件A和B有關(guān)系，即犯錯誤的概率為0.5%，對應的k0的值為7.879

22、，由獨立性檢驗的思想可知應為k≥7.879. 2．通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表： 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由K2＝算得，觀測值k＝≈7.8. 附表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結(jié)論是(　　) A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)” B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)” C．在犯錯誤的概率不超過0.1% 的

23、前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)” D．在犯錯誤的概率不超過0.1% 的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)” 解析：選A　由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”，也就是有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”． 3．某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機抽查了52名中學生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是(　　) 表1　　　　　　　　　　 成績性別 不及格 及格 總計 男 6 14 20 女 10 22 32 總

24、計 16 36 52 表2 視力性別 好 差 總計 男 4 16 20 女 12 20 32 總計 16 36 52 表3　　　　　　　　　　 智商性別 偏高 正常 總計 男 8 12 20 女 8 24 32 總計 16 36 52 表4 閱讀量性別 豐富 不豐富 總計 男 14 6 20 女 2 30 32 總計 16 36 52 A．成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量 解析：選D　因為K＝ ＝， K＝＝， k＝＝， K＝＝， 則有K>K

25、>K>K， 所以閱讀量與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大． 4．下列關(guān)于K2的說法中，正確的有________． ①K2的值越大，兩個分類變量的相關(guān)性越大； ②K2的計算公式是K2＝； ③若求出K2＝4>3.841，則有95%的把握認為兩個分類變量有關(guān)系，即有5%的可能性使得“兩個分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯誤； ④獨立性檢驗就是選取一個假設H0條件下的小概率事件，若在一次試驗中該事件發(fā)生了，這是與實際推斷相抵觸的“不合理”現(xiàn)象，則作出拒絕H0的推斷． 解析：對于①，K2的值越大，只能說明我們有更大的把握認為二者有關(guān)系，卻不能判斷相關(guān)性大小，故①錯；對于②，(ad－bc)應為(ad－bc)

26、2，故②錯；③④對． 答案：③④ 5．某班主任對全班50名學生作了一次調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 總計 喜歡玩電腦游戲 18 9 27 不喜歡玩電腦游戲 8 15 23 總計 26 24 50 由表中數(shù)據(jù)計算得到K2的觀測值k≈5.059，于是________(填“能”或“不能”)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多有關(guān)． 解析：查表知若要在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多有關(guān)，則臨界值k0＝6.635，本題中，k≈5.059<6.635，所以不能在犯錯誤的概率不超過0.

27、01的前提下認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多有關(guān)． 答案：不能 6．隨著生活水平的提高，人們患肝病的越來越多，為了解中年人患肝病與經(jīng)常飲酒是否有關(guān)，現(xiàn)對30名中年人進行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表： 常飲酒 不常飲酒 合計 患肝病2 不患肝病18 合計30 已知在全部30人中隨機抽取1人，抽到肝病患者的概率為. (1)請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為患肝病與常飲酒有關(guān)？說明你的理由； (2)現(xiàn)從常飲酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？ 參考數(shù)據(jù)： P(K

28、2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)設患肝病中常飲酒的人有x人，＝，x＝6. 常飲酒 不常飲酒 合計 患肝病 6 2 8 不患肝病 4 18 22 合計 10 20 30 由已知數(shù)據(jù)可求得K2＝≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握認為患肝病與常飲酒有關(guān)． (2)設常飲酒且患肝病的男性為A，B，C，D，女性為E，F(xiàn)，則任取兩人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，B

29、D，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8種． 故抽出一男一女的概率是P＝. 7．某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量值落在(495,510]的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本頻率分布直方圖． 表1　甲流水線樣本頻數(shù)分布表 產(chǎn)品質(zhì)量/克 頻數(shù) (490,495] 6 (495,500] 8 (500,505] 14 (505,510] 8 (510

30、,515] 4 (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)作出甲流水線樣本頻率分布直方圖； (2)若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少； (3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出22列聯(lián)表，并回答在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條要自動包裝流水線的選擇有關(guān)”． 解：(1)甲流水線樣本頻率分布直方圖如下： (2)由表1知甲樣本合格品數(shù)為8＋14＋8＝30， 由圖1知乙樣本中合格品數(shù)為(0.06＋0.09＋0.03)540＝36， 故甲樣本合格品的頻率為＝0.75， 乙樣本合格品的頻率為＝0.9， 據(jù)此可估計從甲流水線任取1件產(chǎn)品， 該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.75. 從乙流水線任取1件產(chǎn)品， 該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9. (3)22列聯(lián)表如下： 甲流水線 乙流水線 總計 合格品 a＝30 b＝36 66 不合格品 c＝10 d＝4 14 總計 40 40 n＝80 因為K2的觀測值k＝＝≈3.117>2.706，所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)．