人教版 高中數(shù)學【選修 21】 課時作業(yè)：2.2.2反證法

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1、2019人教版精品教學資料·高中選修數(shù)學 課時作業(yè)37 一、選擇題 1．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是(　　) A．有一個解 B．有兩個解 C．至少有三個解　 D．至少有兩個解 解析：在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C. 答案：C 2．設a，b，c為正實數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是“P，Q，R同時大于零”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：首先若P，Q，R同時大

2、于零，則必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，則P，Q，R同時大于零或其中兩個負數(shù)一個正數(shù)，不妨假設P<0，Q<0，∴a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0與b為正實數(shù)矛盾，故P，Q，R都大于0.故選C. 答案：C 3．已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，b∈R，下列四個命題： ①若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； ②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0； ③若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)； ④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b

3、<0. 其中真命題的個數(shù)為(　　) A. 1　 B. 2 C. 3　 D. 4 解析：易知①③正確．②用反證法：假設a＋b<0，則a<－b，b<－a，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)與條件矛盾，故a＋b≥0，從而②為真命題，④類似于②用反證法．故選D. 答案：D 4．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則(　　) A. △A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B. △A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C. △A1B1C1

4、是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形 D. △A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形 解析：因為正弦值在(0°，180°)內(nèi)是正值，所以△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形． 假設△A2B2C2也是銳角三角形，并設cosA1＝sinA2，則cosA1＝cos(90°－∠A2)， 所以∠A1＝90°－∠A2. 同理設cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2， 則有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2. 又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°， ∴

5、(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°， 即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°. 這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾， 所以原假設不成立．故選D. 答案：D 二、填空題 5．用反證法證明“f(x)＝x2＋px＋q，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于”時的假設為________． 解析：“至少有一個”的反設詞為“一個也沒有”． 答案：假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 6．用反證法證明“一個三角形不能有兩個鈍角”有三個步驟： ①∠A＋∠B＋∠C&g

6、t;180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設錯誤． ②所以一個三角形不能有兩個鈍角． ③假設△ABC中有兩個鈍角，不妨設∠A>90°，∠B>90°. 上述步驟的正確順序為__________． 解析：根據(jù)反證法知，上述步驟的正確順序應為③①②. 答案：③①② 7．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是______． 解析：假設兩個一元二次方程均無實根，則有即解得{a|－2<a<－1}，所以其補集{a|a≤－2或a≥ －1}即為所求的a的

7、取值范圍． 答案：{a|a≤－2或a≥－1} 三、解答題 8．設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列． 證明：假設數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比數(shù)列的條件推出矛盾，即知假設不成立． 假設數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．① ∵{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，設公比分別為p，q，∴a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1. 代入①并整理，得 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(＋)， 即2＝＋

8、.② 當p，q異號時，＋<0，與②相矛盾； 當p，q同號時，由于p≠q，∴＋>2，與②相矛盾．故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列． 9．已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點． 證明：假設題設中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點． 由y＝ax2＋2bx＋c， y＝bx2＋2cx＋a， y＝cx2＋2ax＋b， 得Δ1＝(2b)2－4ac≤0， 且Δ2＝(2c)2－4ab≤0， 且Δ3＝(2a)2－4bc≤0. 同向不等式求和得 4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0， ∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0. ∴a＝b＝c. 這與題設a，b，c互不相等矛盾， 因此假設不成立，從而命題得證．