全國各地中考數(shù)學(xué)分類解析 專題52 平面幾何的綜合
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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題) 專題52:平面幾何的綜合 一、選擇題 1. (2012湖北鄂州3分)如圖,四邊形OABC為菱形,點(diǎn)A、B在以O(shè)為圓心的弧上,若OA=2,∠1=∠2,則扇形ODE的面積為【 】 A. B. C. D. 【答案】A。 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),扇形面積的計(jì)算。 【分析】如圖,連接OB. ∵OA=OB=OC=AB=BC,∴∠AOB+∠BOC=120°。 又∵∠1=∠2,∴∠DOE=120°。 又∵OA=2, ∴扇形ODE的面積為。
2、故選A。 2. (2012湖南岳陽3分)如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對(duì)于下列結(jié)論:①OD2=DE?CD; ②AD+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=CD?OA;⑤∠DOC=90°,其中正確的是【 】 A.①②⑤ B.②③④ C.③④⑤ D.①④⑤ 【答案】A。 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì),切線長定理,相似三角形的判定與性質(zhì)。1052629 【分析】如圖,連接OE, ∵AD與圓O相切,DC與圓O相切,BC與圓O相切, ∴∠D
3、AO=∠DEO=∠OBC=90°, ∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC。 ∴CD=DE+EC=AD+BC。結(jié)論②正確。 在Rt△ADO和Rt△EDO中,OD=OD,DA=DE,∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL) ∴∠AOD=∠EOD。 同理Rt△CEO≌Rt△CBO,∴∠EOC=∠BOC。 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°, ∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°。結(jié)論⑤正確。 ∴∠DOC=∠DEO=90°。 又∠EDO=∠ODC,∴△EDO∽△ODC。 ∴,即OD2=DC?DE。結(jié)論
4、①正確。 而,結(jié)論④錯(cuò)誤。 由OD不一定等于OC,結(jié)論③錯(cuò)誤。 ∴正確的選項(xiàng)有①②⑤。故選A。 3. (2012四川樂山3分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中,有下列結(jié)論: ①△DFE是等腰直角三角形; ②四邊形CEDF不可能為正方形; ③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化; ④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【 】 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【答案
5、】B。 【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理,勾股定理。 【分析】①連接CD(如圖1)。 ∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB。 ∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。 ∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。 ∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。 ∴△DFE是等腰直角三角形。 故此結(jié)論正確。 ②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí),∵由三角形中位線定理,DE平行且等于BC。 ∴四邊形CEDF是平行四邊形。 又∵E、F分別為AC、BC中點(diǎn),AC=BC,
6、∴四邊形CEDF是菱形。 又∵∠C=90°,∴四邊形CEDF是正方形。 故此結(jié)論錯(cuò)誤。 ③如圖2,分別過點(diǎn)D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于點(diǎn)M,N, 由②,知四邊形CMDN是正方形,∴DM=DN。 由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。 ∴由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 ∴四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯(cuò)誤。 ④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF。 當(dāng)DF與BC垂直,即DF最小時(shí), EF取最小值2。此時(shí)點(diǎn)C到線段E
7、F的最大距離為。 故此結(jié)論正確。 故正確的有2個(gè):①④。故選B。 4. (2012四川廣元3分) 如圖,A,B是⊙O上兩點(diǎn),若四邊形ACBO是菱形,⊙O的半徑為r,則點(diǎn)A 與點(diǎn)B之間的距離為【 】 A. B. C. r D. 2r 【答案】B。 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì),垂徑定理,等邊三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】如圖,連接AB,與OC交于點(diǎn)D, ∵四邊形ACBO為菱形,∴OA=OB=AC=BC,OC⊥AB。 又∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都為等邊三角形,
8、AD=BD。 在Rt△AOD中,OA=r,∠AOD=60°,∴AD=OAsin60°=。 ∴AB=2AD=。故選B。 5. (2012遼寧錦州3分)下列說法正確的是【 】 A.同位角相等 B.梯形對(duì)角線相等 C.等腰三角形兩腰上的高相等 D.對(duì)角線相等且垂直的四邊形是正方形 【答案】C。 【考點(diǎn)】同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì),正方形的判定。 【分析】根據(jù)同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì)和正方形的判定逐一作出判斷: A.兩直線平行,被第三條直線所截,同位角才相等,說法錯(cuò)誤;
9、 B.等腰梯形的對(duì)角線才相等,說法錯(cuò)誤; C.根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì),兩腰上的高與底邊構(gòu)成的兩直角三角形全等(用AAS),從而得出等腰三角形兩腰上的高相等的結(jié)論 ,說法正確; D.對(duì)角線相等且垂直的四邊形是不一定是正方形,還要對(duì)角線互相平分,說法錯(cuò)誤。 故選C。 二、填空題 1. (2012寧夏區(qū)3分)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相較于O,DE⊥AC于E,∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10,則DE的長度是 ▲ . 【答案】。 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值。
10、 【分析】∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=AC=5,OB=OD= BD=5。 ∴OC=OD,∴∠ODC=∠OCD。 ∵∠EDC:∠EDA=1:2,∠EDC+∠EDA=90°,∴∠EDC=30°,∠EDA=60°。 ∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°?!唷螪CE=90°-∠EDC=60°?!唷螼DC=∠OCD=60°。 ∴∠COD=60°?!郉E= OD ? sin 60°== 。 2. (2012浙江、舟山嘉興5分)如圖,在Rt△ABC中,∠A
11、BC=90°,BA=BC.點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接CD,過點(diǎn)B作BG丄CD,分別交GD、CA于點(diǎn)E、F,與過點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G,連接DF.給出以下四個(gè)結(jié)論: ①;②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn);③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正確的結(jié)論序號(hào)是 ▲ ?。? 【答案】①③。 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)。 【分析】∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∴AB⊥BC。 又∵AG⊥AB,∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB?!唷? ∵BA=BC,∴。故①正確。 ∵∠ABC=90°,BG⊥CD,∴∠DBE+∠BDE=
12、∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。 ∵AB=CB,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),∴BD=AB=CB?!?。 又∵BG丄CD,∴∠DBE=∠BCD?!嘣赗t△ABG中,。 ∵,∴FG=FB。故②錯(cuò)誤。 ∵△AFG∽△CFB,∴AF:CF=AG:BC=1:2?!郃F=AC。 ∵AC=AB,∴AF=AB。故③正確。 設(shè)BD= a,則AB=BC=2 a,△BDF中BD邊上的高=。 ∴S△ABC=, S△BDF ∴S△ABC=6S△BDF,故④錯(cuò)誤。 因此,正確的結(jié)論為①③。 3. (2012浙江麗水、金華4分)如圖,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=1
13、20°,AD=,AB=6.在底邊AB上取點(diǎn)E,在射線DC上取點(diǎn)F,使得∠DEF=120°. (1)當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí),線段DF的長度是 ▲ ; (2)若射線EF經(jīng)過點(diǎn)C,則AE的長是 ▲ . 【答案】6;2或5。 【考點(diǎn)】直角梯形的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形。 【分析】(1)如圖1,過E點(diǎn)作EG⊥DF,∴EG=AD=。 ∵E是AB的中點(diǎn),AB=6,∴DG=AE=3。 ∴∠DEG=60°(由三角函數(shù)定義可得)。 ∵∠DEF=120°,∴∠FEG=60°。 ∴tan60°=,解得,GF=3。 ∵EG⊥D
14、F,∠DEG=∠FEG,∴EG是DF的中垂線?!郉F=2 GF=6。 (2)如圖2,過點(diǎn)B作BH⊥DC,延長AB至點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CF⊥AB于F,則BH=AD=。 ∵∠ABC=120°,AB∥CD,∴∠BCH=60°。 ∴CH=,BC=。 設(shè)AE=x,則BE=6-x, 在Rt△ADE中,DE=, 在Rt△EFM中,EF=, ∵AB∥CD,∴∠EFD=∠BEC。 ∵∠DEF=∠B=120°,∴△EDF∽△BCE。 ∴,即,解得x=2或5。 4. (2012浙江寧波3分)如圖,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=
15、2,D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AD為直徑畫⊙O分別交AB,AC于E,F(xiàn),連接EF,則線段EF長度的最小值為 ▲ . 【答案】。 【考點(diǎn)】垂線段的性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形,銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】由垂線段的性質(zhì)可知,當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí),直徑AD最短,此時(shí)線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°,當(dāng)半徑OE最短時(shí),EF最短。如圖,連接OE,OF,過O點(diǎn)作OH⊥EF,垂足為H。 ∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2, ∴AD=BD=2,即此時(shí)圓的直徑為2。 由圓周
16、角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°, ∴在Rt△EOH中,EH=OE?sin∠EOH=1×。 由垂徑定理可知EF=2EH=。 5. (2012湖北十堰3分)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=12cm,以AC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),CE交半圓O于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積為 ▲ cm2. 【答案】。 【考點(diǎn)】含30度角直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),圓周角定理,銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值,扇形面積的計(jì)算。 【分析】連接OD,
17、OF。 ∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=12cm, ∴AC=AB=6cm,∠BAC=60°。 ∵E是AB的中點(diǎn),∴CE=AB=AE?!唷鰽CE是等邊三角形。 ∴∠ECA=60°。 又∵OA=OD,∴△AOD是等邊三角形。∴∠DOA=60°?!唷螩OD=120°。 同理,∠COF=60°?!唷螪OA=∠COE=60°?!?,AD=CF。 ∴與弦AD圍成的弓形的面積等于與弦CF圍成的弓形的面積相等。 ∴。 ∵AC是直徑,∴∠CDA=90°。 又∵∠BAC=60
18、6;,AC =6cm,∴。 又∵△OCD中CD邊上的高=, ∴. 又∵,∴。 6. (2012四川宜賓3分)如圖,在⊙O中,AB是直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C是的中點(diǎn),弦CE⊥AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)D的切線交EC的延長線于點(diǎn)G,連接AD,分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q,連接AC.給出下列結(jié)論: ①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點(diǎn)P是△ACQ的外心;④AP?AD=CQ?CB. 其中正確的是 ▲ (寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)). 【答案】②③④。 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì),圓周角定理,三角形的外接圓與外心,等腰三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】①如圖,連接BD,
19、 ∵點(diǎn)C是的中點(diǎn),∴∠ABC =∠CBD,即∠ABD=2∠ABC。 又∵AB為圓O的直徑,∴∠ADB=90°。 ∴∠BAD+∠ABD=900,即∠BAD+2∠ABC =900。 ∴當(dāng)∠ABC =300時(shí),∠BAD=∠ABC;當(dāng)∠ABC ≠300時(shí),∠BAD≠∠ABC。 ∴∠BAD與∠ABC不一定相等。所以結(jié)論①錯(cuò)誤。 ②∵GD為圓O的切線,∴∠GDP=∠ABD。 又∵AB為圓O的直徑,∴∠ADB=90°。 ∵CE⊥AB,∴∠AFP=90°。∴∠ADB=∠AFP。 又∵∠PAF=∠BAD, ∴∠ABD=∠APF。 又∵∠APF=∠
20、GPD,∴∠GDP=∠GPD?!郍P=GD。所以結(jié)論②正確。 ∵直徑AB⊥CE, ∴A為的中點(diǎn),即。 又∵點(diǎn)C是的中點(diǎn),∴?!??!唷螩AP=∠ACP?!郃P=CP。 又∵AB為圓O的直徑,∴∠ACQ=90°?!唷螾CQ=∠PQC?!郟C=PQ。 ∴AP=PQ,即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)。 ∴P為Rt△ACQ的外心。所以結(jié)論③正確。 ④如圖,連接CD, ∵,∴∠B=∠CAD。又∠ACQ=∠BCA,∴△ACQ∽△BCA。 ∴,即AC2=CQ?CB。 ∵,∴∠ACP=∠ADC。又∠CAP=∠DAC,∴△ACP∽△ADC。 ∴,即AC2=AP?AD。 ∴AP?A
21、D=CQ?CB。所以結(jié)論④正確。 則正確的選項(xiàng)序號(hào)有②③④。 7. (2012山東日照4分)如圖1,正方形OCDE的邊長為1,陰影部分的面積記作S1;如圖2,最大圓半徑r=1,陰影部分的面積記作S2,則S1 ▲ S2(用“>”、“<”或“=”填空). 【答案】<。 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì),正方形和圓的性質(zhì),勾股定理,實(shí)數(shù)的大小比較, 【分析】結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn):圖1陰影部分的面積等于等于矩形ACDF的面積,圖2每個(gè)陰影部分正好是它所在的圓的四分之一,則陰影部分的面積大圓面積的四分之一。計(jì)算出結(jié)果后再比較S1與S2的大小即可: ∵正方形OCDE的邊長為1,∴根據(jù)勾
22、股定理得OD=, ∴AO=。 ∴AC=AO-CO= -1?!?。 ∵大圓面積=πr2=π∴。 ∵ <,∴S1<S2。 三、解答題 1. (2012北京市5分)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),OD⊥BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作 ⊙O的切線,交OD 的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)BE. (1)求證:BE與⊙O相切; (2)連結(jié)AD并延長交BE于點(diǎn)F,若OB=9,,求BF的長. 【答案】證明:(1)連接OC, ∵OD⊥BC,∴OC=OB,CD=BD(垂徑定理)。 ∴△CDO≌△BDO(HL)?!唷螩OD=∠BOD。 在△OCE和△OBE中, ∵OC=OB,∠COE=∠BOE,O
23、E=OE, ∴△OCE≌△OBE(SAS)?!唷螼BE=∠OCE=90°,即OB⊥BE。∴BE與⊙O相切。 (2)過點(diǎn)D作DH⊥AB, ∵OD⊥BC,∴△ODH∽△OBD,∴。 又∵ ,OB=9,∴OD=6。 ∴OH=4,HB=5,DH=2。 又∵△ADH∽△AFB,∴,即,解得FB=。 【考點(diǎn)】垂徑定理,全等三角形的判定和性質(zhì),切線的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義。 【分析】(1)連接OC,先證明△OCE≌△OBE,得出EB⊥OB,從而可證得結(jié)論。 (2)過點(diǎn)D作DH⊥AB,根據(jù) ,可求出OD=6,OH=4,HB=5,然后由△ADH∽△AFB
24、,利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長。 2. (2012陜西省12分)如圖,正三角形ABC的邊長為. (1)如圖①,正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上,頂點(diǎn)N在邊AC上.在正三角形ABC及其內(nèi)部,以A為位似中心,作正方形EFPN的位似正方形,且使正方形的面積最大(不要求寫作法); (2)求(1)中作出的正方形的邊長; (3)如圖②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得D、EF在邊AB上,點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上,求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值,并說明理由. 【答案】解:(1)如圖①,正方形即為所求。 (2)設(shè)
25、正方形的邊長為x. ∵△ABC為正三角形,∴。 ∴?!啵?。 (3)如圖②,連接NE,EP,PN,則。 設(shè)正方形DEMN和正方形EFPH的邊長分別為m、n(m≥n), 它們的面積和為S,則,。 ∴. ∴。 延長PH交ND于點(diǎn)G,則PG⊥ND。 在中,。 ∵,即. ∴。
26、 ∴①當(dāng)時(shí),即時(shí),S最小。 ∴。 ②當(dāng)最大時(shí),S最大,即當(dāng)m最大且n最小時(shí),S最大。 ∵,由(2)知,。 ∴。 ∴。 【考點(diǎn)】位似變換,等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)。 【分析】(1)利用位似圖形的性質(zhì),作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,如答圖①所示。 (2)根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系,利用等式E′F′+AE′+BF′=AB,列方程求得正方形E′F′
27、P′N′的邊長 (3)設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n(m≥n),求得面積和的表達(dá)式為:,可見S的大小只與m、n的差有關(guān):①當(dāng)m=n時(shí),S取得最小值;②當(dāng)m最大而n最小時(shí),S取得最大值.m最大n最小的情形見第(1)(2)問。 3. (2012廣東肇慶8分) 如圖,四邊形ABCD是矩形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E. (1)求證:BD=BE; (2)若ÐDBC=30°,BO=4,求四邊形ABED的面積. 【答案】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD, ∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行
28、四邊形。 ∴AC=BE?!郆D=BE。 (2)解:∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8。 ∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,BC=BD·cos∠DBC=8×。 ∵BD=BE,BC⊥DE,∴CE=CD=4,∴DE=8 ∴四邊形ABED的面積=(AB+DE)·BC=×(4+8)×。 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】(1)根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得AC=BD,然后證明四邊形ABEC是平行四邊形,再根據(jù)平行
29、四邊形的對(duì)邊相等可得AC=BE,從而得證。 (2)根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分求出BD的長度,根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度,根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC的長(或用勾股定理求),并根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出DE的長,最后利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解。 4. (2012廣東梅州8分)如圖,AC是⊙O的直徑,弦BD交AC于點(diǎn)E. (1)求證:△ADE∽△BCE; (2)如果AD2=AE?AC,求證:CD=CB. 【答案】證明:(1)∵∠A與∠B都是弧所對(duì)的圓周角, ∴∠A=∠B, 又∵∠AED =∠BEC,∴△ADE∽△BCE。 (
30、2)∵AD2=AE?AC,∴。 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD?!唷螦ED=∠ADC。 又∵AC是⊙O的直徑,∴∠ADC=90°。∴∠AED=90°。 ∴直徑AC⊥BD,∴CD=CB。 【考點(diǎn)】圓周角定理,對(duì)頂角的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)。 【分析】(1)由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,即可得∠A=∠B,又由對(duì)頂角相等,可證得:△ADE∽△BCE。 (2)由AD2=AE?AC,可得,又由∠A是公共角,可證得△ADE∽△ACD,又由AC是⊙O的直徑,可求得AC⊥BD,由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可
31、證得CD=CB。 5. (2012廣東肇慶10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P. 求證: (1)D是BC的中點(diǎn); (2)△BEC ∽△ADC; (3)AB× CE=2DP×AD. 【答案】證明:(1)∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC。 ∵AB=AC,∴D是BC的中點(diǎn)。 (2)∵AB是⊙O的直徑,∴∠AEB=∠ADB=90°,即∠CEB=∠CDA=90°, ∵∠C是公共角,∴△BEC∽△ADC。 (3)∵△BEC∽△ADC,∴∠CBE=
32、∠CAD。 ∵AB=AC,AD=CD,∴∠BAD=∠CAD?!唷螧AD=∠CBE。 ∵∠ADB=∠BEC=90°,∴△ABD∽△BCE。 ∴?!?。 ∵BC=2BD,∴,即。 ∵∠BDP=∠BEC=90°,∠PBD=∠CBE,∴△BPD∽△BCE。∴。 ∴,即AB?CE=2DP?AD。 【考點(diǎn)】圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】(1)由AB是⊙O的直徑,可得AD⊥BC,又由AB=AC,由三線合一,即可證得D是BC的中點(diǎn)。 (2)由AB是⊙O的直徑,∠AEB=∠ADB=90°,又由∠C是公共角,即可證得△BEC∽△ADC
33、。 (3)易證得△ABD∽△BCE與△BPD∽△BCE,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與BC=2BD,即可證得AB?CE=2DP?AD。 6. (2012浙江臺(tái)州12分)已知,如圖1,△ABC中,BA=BC,D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點(diǎn),∠ABC=∠DBE,BD=BE. (1)求證:△ABD≌△CBE; (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時(shí),請(qǐng)判斷四邊形BDCE的形狀,并證明你的結(jié)論. 7. (2012浙江杭州12分)如圖,AE切⊙O于點(diǎn)E,AT交⊙O于點(diǎn)M,N,線段OE交AT于點(diǎn)C,OB⊥AT于點(diǎn)B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2. (1)
34、求∠COB的度數(shù); (2)求⊙O的半徑R; (3)點(diǎn)F在⊙O上(是劣?。?,且EF=5,把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E,F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個(gè)?你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上的三角形嗎?請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形,并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長之比. 【答案】解:(1)∵AE切⊙O于點(diǎn)E,∴AE⊥CE。 又∵OB⊥AT,∴∠AEC=∠CBO=90°, 又∵∠BCO=∠ACE,∴△AEC∽△OBC。 又∵∠A=30°,∴∠COB=∠A=30°。 (2)∵AE=3,∠A=30°, ∴在
35、Rt△AEC中,tanA=tan30°=,即EC=AEtan30°=3。 ∵OB⊥MN,∴B為MN的中點(diǎn)。 又∵M(jìn)N=2,∴MB=MN=。 連接OM,在△MOB中,OM=R,MB=, ∴。 在△COB中,∠BOC=30°, ∵cos∠BOC=cos30°=,∴BO=OC。 ∴。 又∵OC+EC=OM=R, ∴。 整理得:R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0,解得:R=﹣23(舍去)或R=5。 ∴R=5。 (3)在EF同一側(cè),△COB經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,這樣的三角形有6個(gè), 如圖,每小圖2個(gè),頂點(diǎn)在圓上
36、的三角形,如圖所示: 延長EO交圓O于點(diǎn)D,連接DF,如圖所示, △FDE即為所求。 ∵EF=5,直徑ED=10,可得出∠FDE=30°, ∴FD=5。 則C△EFD=5+10+5=15+5, 由(2)可得C△COB=3+, ∴C△EFD:C△COB=(15+5):(3+)=5:1。 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,勾股定理,垂徑定理,平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】(1)由AE與圓O相切,根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE⊥CE,又OB⊥AT,可得出兩直角相等,再由一對(duì)對(duì)頂角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得
37、出△AEC∽△OBC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出所求的角與∠A相等,由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。 (2)在Rt△AEC中,由AE及tanA的值,利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長,再由OB⊥MN,根據(jù)垂徑定理得到B為MN的中點(diǎn),根據(jù)MN的長求出MB的長,在Rt△OBM中,由半徑OM=R,及MB的長,利用勾股定理表示出OB的長,在Rt△OBC中,由表示出OB及cos30°的值,利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC,用OE﹣OC=EC列出關(guān)于R的方程,求出方程的解得到半徑R的值。 (3)把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E,F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè),這樣的
38、三角形共有6個(gè)。 頂點(diǎn)在圓上的三角形,延長EO與圓交于點(diǎn)D,連接DF,△FDE即為所求。 根據(jù)ED為直徑,利用直徑所對(duì)的圓周角為直角,得到△FDE為直角三角形,由∠FDE為30°,利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長,表示出△EFD的周長,再由(2)求出的△OBC的三邊表示出△BOC的周長,即可求出兩三角形的周長之比。 8. (2012浙江湖州10分)已知,如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,DA=DC,以點(diǎn)D為圓心,DA長為半徑的⊙D與AB相切于A,與BC交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E. (1)求證:四邊形ABED為矩形; (2)若AB=4, ,求CF的長. 【
39、答案】(1)證明:∵⊙D與AB相切于點(diǎn)A,∴AB⊥AD。 ∵AD∥BC,DE⊥BC,∴DE⊥AD。 ∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。 ∴四邊形ABED為矩形。 (2)解:∵四邊形ABED為矩形,∴DE=AB=4。 ∵DC=DA,∴點(diǎn)C在⊙D上。 ∵D為圓心,DE⊥BC,∴CF=2EC。 ∵,設(shè)AD=3k(k>0)則BC=4k?!郆E=3k,EC=BC-BE=4k-3k=k,DC=AD=3k。 由勾股定理得DE2+EC2=DC2,即42+k2=(3k)2,∴k2=2。 ∵k>0,∴k=?!郈F=2EC=2。 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),勾股定理,待定
40、系數(shù)法,垂徑定理。 【分析】(1)根據(jù)AD∥BC和AB切圓D于A,求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°,即可推出結(jié)論。 (2)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AD=BE=AB=DE=4,根據(jù)垂徑定理求出CF=2CE,設(shè)AD=3k,則BC=4k,BE=3k,EC=k,DC=AD=3k,在△DEC中由勾股定理得出一個(gè)關(guān)于k的方程,求出k的值,即可求出答案。 9. (2012江蘇南京8分)如圖,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D在BC的延長線上,且BD=AB,過B作BEAC,與BD的垂線DE交于點(diǎn)E, (1)求證:△ABC≌△BDE (2)三角形BDE可由三角形ABC旋轉(zhuǎn)
41、得到,利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心O(保留作圖痕跡,不寫作法) 【答案】(1)證明:在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,∴∠ABE+∠DBE=90°。 ∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠A=90°?!唷螦=∠DBE。 ∵DE是BD的垂線,∴∠D=90°。 在△ABC和△BDE中,∵ ∠A=∠DBE ,AB=DB ,∠ABC=∠D, ∴△ABC≌△BDE(ASA)。 (2)如圖,點(diǎn)O就是所求的旋轉(zhuǎn)中心。 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理,全等三角形的判定,作圖(旋轉(zhuǎn)變換),線段垂直平分線的性質(zhì)。 【分析】(1)利用已知得出∠A=∠DBE,從而利用ASA得
42、出△ABC≌△BDE即可。 (2)利用垂直平分線的性質(zhì)可以作出,或者利用正方形性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心也可。 10. (2012江蘇揚(yáng)州10分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD,垂足為E.求證:BE=DE. 【答案】證明:作CF⊥BE,垂足為F, ∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°。 ∴∠FED=∠D=∠CFE=90°,∠CBE+∠ABE=90°, ∠BAE+∠ABE=90°。 ∴∠BAE=∠CBF。∴四邊形EFCD為矩形?!郉E=CF。 ∵在△BAE和△CBF中,∠CBE=∠BAE,∠BF
43、C=∠BEA=90°,AB=BC, ∴△BAE≌△CBF(AAS)。∴BE=CF。 又∵CF=DE,∴BE=DE。 【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì)。 【分析】作CF⊥BE,垂足為F,得出矩形CFED,求出∠CBF=∠A,根據(jù)AAS證△BAE≌△CBF,推出BE=CF即可。 11. (2012廣東河源7分)如圖,AC是⊙O的直徑,弦BD交AC于點(diǎn)E. (1)求證:△ADE∽△BCE; (2)若AD2=AC·AE,求證:BC=CD. 【答案】證明:(1)∵∠A與∠B都是弧所對(duì)的圓周角, ∴∠A=∠B, 又∵∠AED =∠BEC
44、,∴△ADE∽△BCE。 (2)∵AD2=AE?AC,∴。 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。 又∵AC是⊙O的直徑,∴∠ADC=90°?!唷螦ED=90°。 ∴直徑AC⊥BD,∴CD=CB。 【考點(diǎn)】圓周角定理,對(duì)頂角的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)。 【分析】(1)由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,即可得∠A=∠B,又由對(duì)頂角相等,可證得:△ADE∽△BCE。 (2)由AD2=AE?AC,可得,又由∠A是公共角,可證得△ADE∽△ACD,又由AC是⊙O的直徑,可求得AC⊥BD,由線段垂直平分線上
45、的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可證得CD=CB。 12. (2012湖北隨州10分)如圖,已知直角梯形ABCD ,∠B=900。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O為AB的中點(diǎn). (1)求證:以AB為直徑的⊙O與斜腰CD相切; (2)若OC=8 cm,OD=6 cm,求CD的長. 【答案】解:(1)在CD上取中點(diǎn)F,連接OF, ∵O為AB的中點(diǎn),∴由梯形中位線可知OF=(AD+BC),OF∥AD∥BC。 又∵AD+BC=CD,∴OF=CD=CF?!唷螰OC=∠FCO。 又由OF∥BC得∠FOC=∠OCB,∴∠OCF=
46、∠OCB。 在CD上取點(diǎn)E,使DE=DA,則CE=CB。 在△OBC和△OEC中,∵CE=CB,∠OCB=∠OCE,OC=OC, ∴△OBC≌△OEC(SAS)?!唷螧=∠OEC,OE=OD。 ∵∠B=900, ∴∠OEC=90°。∴OE⊥CD。 又∵O為AB的中點(diǎn),∴OE=OD=OA為⊙O的半徑。 ∴以AB為直徑的⊙O與CD相切于E。 (2)由(1)知,OF=CF=DF,∴O點(diǎn)在以CD為直徑的⊙F上。 ∴∠COD=90°。 在Rt△COD中,OD=6cm,OC=8cm, ∴根據(jù)勾股定理得:。 【考點(diǎn)】直角梯形的性質(zhì),梯形中位線定理,平行的性
47、質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),切線的判定和性質(zhì),圓周角定理,勾股定理。 【分析】(1)在CD上取中點(diǎn)F,連接OF,由已知,根據(jù)梯形中位線定理和平行的性質(zhì),可由SAS得出△OBC≌△OEC,從而由∠B=900,證得OE⊥CD。由OE=OD=OA為⊙O的半徑得出以AB為直徑的⊙O與CD相切于E。 (2)由(1)可知O點(diǎn)在以CD為直徑的⊙F上,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠DOC為直角,在直角三角形COD中,由OD與OC的長,利用勾股定理即可求出CD的長。 13. (2012湖北武漢8分)在銳角△ABC中,BC=5,sinA=. (1)如圖1,求△ABC外接圓的直徑; (2)如圖2,點(diǎn)I
48、為△ABC的內(nèi)心,BA=B C,求AI的長。 【答案】解:(1)作△ABC的外接圓的直徑CD,連接BD。 則∠CBD=900,∠D=∠A。 ∴。 ∵BC=5,∴。 ∴△ABC外接圓的直徑為。 (2)連接BI并延長交AC于點(diǎn)H,作IE⊥AB于點(diǎn)E。 ∵BA=BC,∴BH⊥AC?!郔H=IE。 在Rt△ABH中,BH=AB·sin∠BDH=4,
49、。 ∵,∴ ,即。 ∵IH=IE,∴。 在Rt△AIH中,。 【考點(diǎn)】三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì),圓周角定理,銳角三角函數(shù)定義,等腰三角形的性質(zhì),角平分線的判定和性質(zhì),勾股定理。 【分析】(1)作△ABC的外接圓的直徑CD,連接BD,由直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)得∠CBD=900,由同圓中同弧所對(duì)圓周角相等得∠D=∠A,從而由已知,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得△ABC外接圓的直徑。 (2)連接BI并延長交AC于點(diǎn)H,作IE⊥AB于點(diǎn)E,由三角形內(nèi)心的性質(zhì)和角平分線的判定
50、 和性質(zhì),知IH=IE。在Rt△ABH中,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求出BH=4和AH=3,從而由求得。在Rt△AIH中,應(yīng)用勾股定理求得AI的長。 14. (2012湖北荊門10分)如圖所示為圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在U型槽上的橫截面圖.已知圖中ABCD為等腰梯形(AB∥DC),支點(diǎn)A與B相距8m,罐底最低點(diǎn)到地面CD距離為1m.設(shè)油罐橫截面圓心為O,半徑為5m,∠D=56°,求:U型槽的橫截面(陰影部分)的面積.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,結(jié)果保留整數(shù)) 【答案】解:如圖,連接AO、BO.過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E
51、,過點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N,ON交⊙O于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)F.則OF⊥AB. ∵OA=OB=5m,AB=8m, ∴AF=BF=AB=4(m),∠AOB=2∠AOF, 在Rt△AOF中,, ∴∠AOF=53°,∴∠AOB=106°。 ∵(m),由題意得:MN=1m,∴FN=OM-OF+MN=3(m)。 ∵四邊形ABCD是等腰梯形,AE⊥DC,F(xiàn)N⊥AB,∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE。 在Rt△ADE中,,∴DE=2m,DC=12m。 ∴(m2)。 答:U型槽的橫截面積約為20m2。 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用,垂徑定理,勾股定理,等腰梯形的性質(zhì),銳
52、角三角函數(shù)定義。 【分析】連接AO、BO.過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N,ON交⊙O于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)F,則OF⊥AB。根據(jù)垂徑定理求出AF,再在Rt△AOF中利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠AOB,由勾股定理求出OF,根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形求出AE的長,再由即可得出結(jié)果。 15. (2012湖北宜昌8分)如圖,△ABC和△ABD都是⊙O的內(nèi)接三角形,圓心O在邊AB上,邊AD分別與BC,OC交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)C為的中點(diǎn). (1)求證:OF∥BD; (2)若,且⊙O的半徑R=6cm. ①求證:點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn); ②求圖中陰影部分(弓形)的
53、面積. 【答案】(1)證明:∵OC為半徑,點(diǎn)C為的中點(diǎn),∴OC⊥AD。 ∵AB為直徑,∴∠BDA=90°,BD⊥AD?!郞F∥BD。 (2)①證明:∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),∴OF=BD。 ∵FC∥BD,∴∠FCE=∠DBE。 ∵∠FEC=∠DEB,∴△ECF∽△EBD, ∴,∴FC=BD。 ∴FC=FO,即點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)。 ②解:∵FC=FO,OC⊥AD,∴AC=AO, 又∵AO=CO,∴△AOC為等邊三角形。 ∴根據(jù)銳角三角函數(shù)定義,得△AOC的高為。 ∴(cm2)。 答:圖中陰影部分(弓形)的面積為cm2。 【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦
54、的關(guān)系,垂徑定理,圓周角定理,相似三角形的判定和性質(zhì),三角形中位線的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),扇形面積的計(jì)算。 【分析】(1)由垂徑定理可知OC⊥AD,由圓周角定理可知BD⊥AD,從而證明OF∥BD。 (2)①由OF∥BD可證△ECF∽△EBD,利用相似比證明BD=2CF,再證OF為△ABD的中位線,得出BD=2OF,即CF=OF,證明點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn); ②根據(jù)S陰=S扇形AOC﹣S△AOC,求面積。 16. (2012湖北黃岡8分)如圖,在△ABC 中,BA=BC,以AB 為直徑作半圓⊙O,交AC 于點(diǎn)D.連結(jié)DB, 過點(diǎn)D 作DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E. (1)求證:DE
55、 為⊙O 的切線; (2)求證:DB2=AB·BE. 【答案】證明:(1)連接OD、BD,則∠ADB=90°(圓周角定理), ∵BA=BC,∴CD=AD(三線合一)。 又∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位線。 ∴OD∥BC。 ∵∠DEB=90°,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE。 ∴DE為⊙O的切線。 (2)∵∠BED=∠BDC =900,∠EBD=∠DBC, ∴△BED∽△BDC,∴。 又∵AB=BC,∴。∴BD2=AB?BE。 【考點(diǎn)】切線的判定和性質(zhì),圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),三角形中位線的性質(zhì),相似三角形的判定和性
56、質(zhì)。 【分析】(1)連接OD、BD,根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°,從而得出點(diǎn)D是AC中點(diǎn),判斷出OD是△ABC的中位線,利用中位線的性質(zhì)得出∠ODE=90°,這樣可判斷出結(jié)論。 (2)根據(jù)題意可判斷△BED∽△BDC,從而可得BD2=BC?BE,將BC替換成AB即可得出結(jié)論。 17. (2012湖北鄂州10分)如圖,梯形ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,O是腰CD的中點(diǎn),以CD長 為直徑作圓,交BC于E,過E作EH⊥AB于H。 (1)求證:OE∥AB; (2)若EH=CD,求證:AB是⊙O的切線; (3)若BE=4BH,求的值。
57、【答案】解:(1)證明:在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∴∠B=∠C。 ∵OE=OC,∴∠OEC=∠C,∴∠B=∠OEC?!郞E∥AB。 (2)證明:過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)O作OG∥BC交AB于點(diǎn)G。 ∵AB=DC,∴∠B=∠C。 ∴OC=OE,∴∠OEC=∠C?!唷螼EC=∠B?!郞E∥GB。 又∵EH⊥AB,∴FO∥HE?!嗨倪呅蜲EHF是平行四邊形?!郞F=EH。 又∵EH=CD,∴OF=CD,即OF是⊙O的半徑。 ∴AB是⊙O的切線。 (3)連接DE。 ∵CD是直徑,∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。 又∵∠B=∠C,∴△EHB∽△DEC
58、。∴。 ∵BE=4BH,設(shè)BH=k,則BE=4k, , ∴CD=2EH=2。∴。 【考點(diǎn)】等腰梯形(三角形)的性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),切線的判定,相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理。 【分析】(1)判斷出∠B=∠OEC,根據(jù)同位角相等得出OE∥AB。 (2)過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)O作OG∥BC交AB于點(diǎn)G,證明OF是⊙O的半徑即可。 (3)求出△EHB∽△DEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答。 18. (2012湖南長沙8分)如圖,A,P,B,C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn),且滿足∠BAC=∠APC=60°, (1)求證:△ABC
59、是等邊三角形; (2)求圓心O到BC的距離OD. 19. (2012湖南懷化10分)如圖,已知AB是⊙O的弦,OB=4,,點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)D,連接AD、DB. (1)當(dāng)=時(shí),求的度數(shù); (2)若AC=,求證△ACD∽△OCB. 【答案】解:(1)連接OA, ∵OA=OB=OD,,=, ∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°。 ∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°。 由圓周角定理得:∠DOB=2∠DAB=96°。 (2)證明:過O作OE⊥AB于E, 由
60、垂徑定理得:AE=BE。 ∵在Rt△OEB中,OB=4,∠OBC=30°,∴OE=OB=2。 由勾股定理得:BE==AE,即AB=2AE=。 ∵AC=,∴BC=,即C、E兩點(diǎn)重合。∴DC⊥AB。 ∴∠DCA=∠OCB=90°。 ∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=。 ∴。 ∴△ACD∽△OCB(兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩三角形相似)。 【考點(diǎn)】圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理,相似三角形的判定。 【分析】(1)連接OA,根據(jù)OA=OB=OD,求出∠DAO、∠OAB的度數(shù),求出∠DAB,根據(jù)圓周角定理求出即可。 (2)
61、過O作OE⊥AB于E,根據(jù)垂徑定理求出AE和BE,求出AB,推出C、E重合,得出 ∠ACD=∠OCB=90°,求出DC長得出 ,根據(jù)相似三角形的判定推出即可。 20. (2012湖南衡陽8分)如圖,AB是⊙O的直徑,動(dòng)弦CD垂直AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作直線BF∥CD交AD的延長線于點(diǎn)F,若AB=10cm. (1)求證:BF是⊙O的切線. (2)若AD=8cm,求BE的長. (3)若四邊形CBFD為平行四邊形,則四邊形ACBD為何種四邊形?并說明理由. 【答案】解:(1)證明:∵CD⊥AB,BF∥CD,∴BF⊥AB。 又∵AB是⊙O的直徑,∴BF是⊙O的切線。 (2
62、)如圖1,連接BD。 ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角)。 又∵DE⊥AB,∴△ADE∽△ABD。 ∴?!郃D2=AE?AB。 ∵AD=8cm,AB=10cm,∴AE=6.4cm。∴BE=AB﹣AE=3.6cm。 (3)若四邊形CBFD為平行四邊形,則四邊形ACBD是正方形。理由如下: 連接BC。 ∵四邊形CBFD為平行四邊形, ∴BC∥FD,即BC∥AD。 ∴∠BCD=∠ADC(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)。 ∵∠BCD=∠BAD,∠CAB=∠CDB,(同弧所對(duì)的圓周角相等), ∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC,即∠CAD
63、=∠BDA, 又∵∠BDA=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角),∴∠CAD=∠BDA=90°。 ∴CD是⊙O的直徑,即點(diǎn)E與點(diǎn)O重合(或線段CD過圓心O)。 在△OBC和△ODA中,∵OC=OD,∠COB=∠DOA=90°,OB=OA, ∴△OBC≌△ODA(SAS)?!郆C=DA(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。 ∴四邊形ACBD是平行四邊形(對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形), ∵∠ACB=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角),AC=AD,∴四邊形ACBD是正方形。 【考點(diǎn)】平行的判定,切線的判定,圓周角定理,相似和全等三角形的判定和性質(zhì),平行四
64、邊形的性質(zhì),正方形的判定。 【分析】(1)欲證明BF是⊙O的切線,只需證明AB⊥BF即可。 (2)連接BD,在直角三角形ABD中,利用△ADE∽△ABD【學(xué)過投影定理的直接應(yīng)用】可以求得AE的長度,最后結(jié)合圖形知BE=AB﹣AE。 (3)連接BC,四邊形CBFD為平行四邊形,則四邊形ACBD是正方形。根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行、平行線的性質(zhì)、圓周角定理以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°,即CD是⊙O的直徑,然后由全等三角形的判定與性質(zhì)推知AC=BD,根據(jù)正方形的判定定理證得四邊形ACBD是正方形。 21. (2012湖南株洲8分)如圖,已知AD為⊙O的
65、直徑,B為AD延長線上一點(diǎn),BC與⊙O切于C點(diǎn),∠A=30°. 求證:(1)BD=CD; (2)△AOC≌△CDB. 【答案】證明:(1)∵AD為⊙O的直徑,∴∠ACD=90°。 又∵∠A=30°,OA=OC=OD,∴∠ACO=30°,∠ODC=∠OCD=60°。 又∵BC與⊙O切于C,∴∠OCB=90°,∴∠BCD=30°?!唷螧=30°。 ∴∠BCD=∠B。∴BD=CD。 (2)∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°,∴AC=BC。 在△AOC和△BDC中,∵∠A =∠B,AC
66、=BC,∠ACO=∠BCD, ∴△AOC≌△BDC(ASA)。 【考點(diǎn)】圓周角定理,三角形內(nèi)角和定理,切線的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定。 【分析】(1)由AD為⊙O的直徑,根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角,即可得∠ACD=90°,又由∠A=30°,OA=OC=OD,利用等邊對(duì)等角與三角形外角的性質(zhì),即可求得∠ACO=30°,∠ODC=∠OCD=60°,又由BC與⊙O切于C點(diǎn),根據(jù)切線的性質(zhì),即可求得∠B=∠BCD=30°,由等角對(duì)等邊,即可證得BD=CD。 (2)由(1)可知∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°,
67、即可得AC=BC,然后由ASA,即可證得△AOC≌△CDB。 22. (2012四川瀘州7分)“五一”節(jié)期間,小明和同學(xué)一起到游樂場(chǎng)游玩。如圖為某游樂場(chǎng)大型摩天輪的 示意圖,其半徑是20m,它勻速旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘,最底部點(diǎn)B離地面1m。小明乘坐的車廂經(jīng)過點(diǎn)B 時(shí)開始計(jì)時(shí)。 (1)計(jì)時(shí)4分鐘后小明離地面的高度是多少? (2)的旋轉(zhuǎn)一周的過程中,小明將有多長時(shí)間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中? 【答案】解:(1)設(shè)4分鐘后小明到達(dá)點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D,DA即為小明離地的高度, ∵∠COD=,∴OD=OC=×20=10。 ∴DA=20-10+1=11(m
68、)。 答:計(jì)時(shí)4分鐘后小明離地面的高度是11m。 (2)設(shè)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E處時(shí),小明離地面高度為31m。 作弦EF⊥AO交AO的延長線于點(diǎn)H,連接OE,OF,此時(shí)EF離地面高度為HA。 ∵HA=31,∴OH=31-1-20=10。∴OH=OE?!唷螲OE=60°?!唷螰OE=120°。 ∵每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為:,∴由點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到F所用的時(shí)間為:(分鐘)。 答:在旋轉(zhuǎn)一周的過程中,小明將有8分鐘的時(shí)間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中。 【考點(diǎn)】圓的綜合題,垂徑定理,銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】(1)設(shè)4分鐘后小明到達(dá)點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D,根
69、據(jù)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間可以求得旋轉(zhuǎn)角∠COD,利用三角函數(shù)即可求得OD的長,從而求解。 (2)設(shè)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E處時(shí),小明離地面高度為31m。作弦EF⊥AO交AO的延長線于點(diǎn)H,連接OE,OF,此時(shí)EF離地面高度為HA,在直角△OEH中,利用三角函數(shù)求得∠HOE的度數(shù),則∠EOF的度數(shù)即可求得,則旋轉(zhuǎn)的時(shí)間即可求得。 23. (2012四川成都10分)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F.切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K. (1)求證:KE=GE; (2)若=KD·GE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說明理由; (3) 在(2)的條件下,若sinE=,AK=,求FG的長. 【答案】解:(1)證明:如答圖1,連接OG。 ∵EG為切線,∴∠KGE+∠OGA=90°。 ∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°。 又OA=
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