陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破四 壓軸題 二次函數(shù)

+數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編+壓軸題 二次函數(shù)1(2015遂寧)如圖，已知拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)三點(diǎn)(1)求該拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使ACM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)把A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)代入拋物線yax2bxc得解得則拋物線的解析式是：yx2x3(2)如圖，作線段CA的垂直平分線，交y軸于M1，交AC于N，連接AM1，則AM1C是等腰三角形，AC，CN，CNM1COA，CM1，OM1OCCM13，M1的坐標(biāo)是(0，)，當(dāng)CACM2時(shí)，AM2C是等腰三角形，則OM23，M2的坐標(biāo)是(0，3)，當(dāng)CAAM3時(shí)，AM3C是等腰三角形，則OM33，M3的坐標(biāo)是(0，3)，當(dāng)CACM4時(shí)，AM4C是等腰三角形，則OM43，M4的坐標(biāo)是(0，3)2(2015益陽(yáng))已知拋物線E1：yx2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，m)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，2)，點(diǎn)A，B關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B.(1)求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q，B，B為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)拋物線E1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，m)，m121.拋物線E2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yax2(a0)，又點(diǎn)B(2，2)在拋物線E2上，2a22，解得：a，拋物線E2所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為yx2(2)如圖，假設(shè)在第一象限內(nèi)，拋物線E1上存在點(diǎn)Q，使得QBB為直角三角形，由圖象可知直角頂點(diǎn)只能為點(diǎn)B或點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作Q1BBB交拋物線E1于Q1，則點(diǎn)Q1與B的橫坐標(biāo)相等且為2，將x2代入yx2得y4，點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(2，4) 當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有Q2B2Q2B2BB2，過(guò)點(diǎn)Q2作GQ2BB于G，設(shè)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(t，t2)(t0)，則有(t2)2(t22)2(2t)2(t22)242，整理得：t43t20，t0，t230，解得t1，t2(舍去)，點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(，3)，綜合，存在符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2，4)與(，3)3(2015貴陽(yáng)模擬)如圖所示，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，3)(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，且DCDE，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在直線DE上存在點(diǎn)P，使得以C，D，P為頂點(diǎn)的三角形與DOC相似，請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(0，3)，解得故拋物線的函數(shù)解析式為yx22x3(2)令x22x30，解得x11，x23，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)，yx22x3(x1)24，點(diǎn)E坐標(biāo)為(1，4)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m)，作EFy軸于點(diǎn)F，DC2OD2OC2m232，DE2DF2EF2(m4)212，DCDE，m29m28m161，解得m1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)(3)點(diǎn)C(3，0)，D(0，1)，E(1，4)，CODF3，DOEF1，根據(jù)勾股定理，CD，在COD和DFE中，CODDFE(SAS)，EDFDCO，又DCOCDO90，EDFCDO90，CDE1809090，CDDE，OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，DOCPDC，即，解得DP，過(guò)點(diǎn)P作PGy軸于點(diǎn)G，則，即，解得DG1，PG，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OGDGDO110，所以點(diǎn)P(，0)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OGDODG112，所以，點(diǎn)P(，2)；OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，DOCCDP，即，解得DP3，過(guò)點(diǎn)P作PGy軸于點(diǎn)G，則，即，解得DG9，PG3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，OGDGOD918，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3，8)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，OGODDG1910，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3，10)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，其坐標(biāo)分別為(，0)，(，2)，(3，8)，(3，10)4(2015重慶)如圖，拋物線yx22x3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD與y軸交于點(diǎn)E.(1)求直線AD的解析式；(2)如圖，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGAD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求FGH周長(zhǎng)的最大值；(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，求點(diǎn)T的坐標(biāo)解：(1)當(dāng)x0時(shí)，yx22x33，則C(0，3)，當(dāng)y0時(shí)，x22x30，解得x11，x23，則A(1，0)，B(3，0)，yx22x3(x1)24，拋物線對(duì)稱軸為直線x1，而點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線x1對(duì)稱，D(2，3)，設(shè)直線AD的解析式為ykxb，把A(1，0)，D(2，3)分別代入得解得直線AD的解析式為yx1(2)當(dāng)x0時(shí)，yx11，則E(0，1)，OAOE，OAE為等腰直角三角形，EAO45，F(xiàn)HOA，F(xiàn)GH為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)F作FNFH交AD于N，如圖，F(xiàn)NH為等腰直角三角形，而FGHN，GHNG，F(xiàn)GH的周長(zhǎng)等于FGN的周長(zhǎng)，F(xiàn)GGNFN，F(xiàn)GN周長(zhǎng)(1)FN，當(dāng)FN最大時(shí)，F(xiàn)GN的周長(zhǎng)最大，設(shè)F(x，x22x3)，則N(x，x1)，F(xiàn)Nx22x3x1(x)2，當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)N有最大值，F(xiàn)GN周長(zhǎng)的最大值為(1)，即FGH周長(zhǎng)的最大值為(3)直線AM交y軸于R，yx22x3(x1)24，則M(1，4)，設(shè)直線AM的解析式為ymxn，把A(1，0)，M(1，4)分別代入得解得直線AM的解析式為y2x2，當(dāng)x0時(shí)，y2x22，則R(0，2)，當(dāng)AQ為矩形APQM的對(duì)角線，如圖1，RAP90，而AOPR，RtAORRtPOA，AOOPOROA，即1OP21，解得OP，P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)A(1，0)向上平移4個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位得到M(1，4)，點(diǎn)P(0，)向上平移4個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位得到Q(2，)，點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，T點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；當(dāng)AP為矩形AQPM的對(duì)角線，反向延長(zhǎng)QA交y軸于S，如圖2，同理可得S點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，R點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，R點(diǎn)為PS的中點(diǎn)，PMSA，P(0，)，PMAQ，AQAS，點(diǎn)Q關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)為S，即T點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)綜上所述，點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0，)或(0，)