陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破四 壓軸題 二次函數(shù)
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陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破四 壓軸題 二次函數(shù)
+數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編+壓軸題 二次函數(shù)1(2015遂寧)如圖,已知拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A(2,0),B(4,0),C(0,3)三點(diǎn)(1)求該拋物線的解析式;(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使ACM為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:(1)把A(2,0),B(4,0),C(0,3)代入拋物線yax2bxc得解得則拋物線的解析式是:yx2x3(2)如圖,作線段CA的垂直平分線,交y軸于M1,交AC于N,連接AM1,則AM1C是等腰三角形,AC,CN,CNM1COA,CM1,OM1OCCM13,M1的坐標(biāo)是(0,),當(dāng)CACM2時(shí),AM2C是等腰三角形,則OM23,M2的坐標(biāo)是(0,3),當(dāng)CAAM3時(shí),AM3C是等腰三角形,則OM33,M3的坐標(biāo)是(0,3),當(dāng)CACM4時(shí),AM4C是等腰三角形,則OM43,M4的坐標(biāo)是(0,3)2(2015益陽(yáng))已知拋物線E1:yx2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,m),以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,2),點(diǎn)A,B關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B.(1)求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)如圖,在第一象限內(nèi),拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)Q,B,B為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 解:(1)拋物線E1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,m),m121.拋物線E2的頂點(diǎn)在原點(diǎn),可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yax2(a0),又點(diǎn)B(2,2)在拋物線E2上,2a22,解得:a,拋物線E2所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為yx2(2)如圖,假設(shè)在第一象限內(nèi),拋物線E1上存在點(diǎn)Q,使得QBB為直角三角形,由圖象可知直角頂點(diǎn)只能為點(diǎn)B或點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)B作Q1BBB交拋物線E1于Q1,則點(diǎn)Q1與B的橫坐標(biāo)相等且為2,將x2代入yx2得y4,點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(2,4) 當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí),則有Q2B2Q2B2BB2,過(guò)點(diǎn)Q2作GQ2BB于G,設(shè)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(t,t2)(t0),則有(t2)2(t22)2(2t)2(t22)242,整理得:t43t20,t0,t230,解得t1,t2(舍去),點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(,3),綜合,存在符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2,4)與(,3)3(2015貴陽(yáng)模擬)如圖所示,拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,3)(1)求拋物線的函數(shù)解析式;(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn),且DCDE,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C,D,P為頂點(diǎn)的三角形與DOC相似,請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)解:(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A(1,0),B(0,3),解得故拋物線的函數(shù)解析式為yx22x3(2)令x22x30,解得x11,x23,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),yx22x3(x1)24,點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,4),設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m),作EFy軸于點(diǎn)F,DC2OD2OC2m232,DE2DF2EF2(m4)212,DCDE,m29m28m161,解得m1,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1)(3)點(diǎn)C(3,0),D(0,1),E(1,4),CODF3,DOEF1,根據(jù)勾股定理,CD,在COD和DFE中,CODDFE(SAS),EDFDCO,又DCOCDO90,EDFCDO90,CDE1809090,CDDE,OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),DOCPDC,即,解得DP,過(guò)點(diǎn)P作PGy軸于點(diǎn)G,則,即,解得DG1,PG,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OGDGDO110,所以點(diǎn)P(,0),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OGDODG112,所以,點(diǎn)P(,2);OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí),DOCCDP,即,解得DP3,過(guò)點(diǎn)P作PGy軸于點(diǎn)G,則,即,解得DG9,PG3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OGDGOD918,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,8),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OGODDG1910,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,10),綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè),其坐標(biāo)分別為(,0),(,2),(3,8),(3,10)4(2015重慶)如圖,拋物線yx22x3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,直線AD與y軸交于點(diǎn)E.(1)求直線AD的解析式;(2)如圖,直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FGAD于點(diǎn)G,作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H,求FGH周長(zhǎng)的最大值;(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),以A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形若點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱,求點(diǎn)T的坐標(biāo)解:(1)當(dāng)x0時(shí),yx22x33,則C(0,3),當(dāng)y0時(shí),x22x30,解得x11,x23,則A(1,0),B(3,0),yx22x3(x1)24,拋物線對(duì)稱軸為直線x1,而點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線x1對(duì)稱,D(2,3),設(shè)直線AD的解析式為ykxb,把A(1,0),D(2,3)分別代入得解得直線AD的解析式為yx1(2)當(dāng)x0時(shí),yx11,則E(0,1),OAOE,OAE為等腰直角三角形,EAO45,F(xiàn)HOA,F(xiàn)GH為等腰直角三角形,過(guò)點(diǎn)F作FNFH交AD于N,如圖,F(xiàn)NH為等腰直角三角形,而FGHN,GHNG,F(xiàn)GH的周長(zhǎng)等于FGN的周長(zhǎng),F(xiàn)GGNFN,F(xiàn)GN周長(zhǎng)(1)FN,當(dāng)FN最大時(shí),F(xiàn)GN的周長(zhǎng)最大,設(shè)F(x,x22x3),則N(x,x1),F(xiàn)Nx22x3x1(x)2,當(dāng)x時(shí),F(xiàn)N有最大值,F(xiàn)GN周長(zhǎng)的最大值為(1),即FGH周長(zhǎng)的最大值為(3)直線AM交y軸于R,yx22x3(x1)24,則M(1,4),設(shè)直線AM的解析式為ymxn,把A(1,0),M(1,4)分別代入得解得直線AM的解析式為y2x2,當(dāng)x0時(shí),y2x22,則R(0,2),當(dāng)AQ為矩形APQM的對(duì)角線,如圖1,RAP90,而AOPR,RtAORRtPOA,AOOPOROA,即1OP21,解得OP,P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)A(1,0)向上平移4個(gè)單位,向右平移2個(gè)單位得到M(1,4),點(diǎn)P(0,)向上平移4個(gè)單位,向右平移2個(gè)單位得到Q(2,),點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于AM所在直線對(duì)稱,T點(diǎn)坐標(biāo)為(0,);當(dāng)AP為矩形AQPM的對(duì)角線,反向延長(zhǎng)QA交y軸于S,如圖2,同理可得S點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),R點(diǎn)為AM的中點(diǎn),R點(diǎn)為PS的中點(diǎn),PMSA,P(0,),PMAQ,AQAS,點(diǎn)Q關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)為S,即T點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)綜上所述,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0,)或(0,)