河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章方程組與不等式組第2節(jié)一元二次方程及應(yīng)用精講試題

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1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 第二節(jié)　一元二次方程及應(yīng)用 河北五年中考命題規(guī)律 年份 題號(hào) 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2017 19 一元二次方程的解法 綜合題，在新定義的背景下用直接開(kāi)平方法解一元二次方程 3 7 26(2) 一元二次方程及根的判別式 利用題中已知條件列出方程，并用判別式判斷根的情況 4 2016 14 一元二次方程根的判別式 利用已知條件判斷含字母系數(shù)的一元二次方程的根的情況 2 2 2015 12 一元二次方程根的判別式 考一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根求參數(shù)的取值范圍 2 2 2014 21 解一

2、元二次方程 (1)從推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的步驟中找錯(cuò)誤，并寫(xiě)出正確的求根公式； (2)用配方法解一元二次方程 10 10 2013年未考查 命題規(guī)律 縱觀河北近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的題型有選擇、填空、解答，題目難度一般，其中一元二次方程的配方法在選擇和解答題中各考查了1次，一元二次方程的應(yīng)用在選擇、填空中各考過(guò)1次，一元二次方程根的判別式考查了3次，屬基礎(chǔ)題. 河北五年中考真題及模擬　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　一元二次方程的解法 1．(2014河北中考

3、)嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式時(shí)，對(duì)于b2－4ac>0的情況，她是這樣做的： 由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0變形為： x2＋x＝－，第一步 x2＋x＋＝－＋，第二步 ＝，第三步 x＋＝(b2－4ac＞0)，第四步 x＝.第五步 (1)嘉淇的解法從第__四__步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；事實(shí)上，當(dāng)b2－4ac>0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式為_(kāi)_x＝__． (2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0. 解：x1＝6，x2＝－4. 2．(2017滄州中考模擬)在解方程(x＋2)(x－2)＝5時(shí)，甲同學(xué)說(shuō)：由于

4、5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根x1＝－1，x2＝7；乙同學(xué)說(shuō)：應(yīng)把方程右邊化為0，得x2－9＝0，再分解因式，即(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根x1＝－3，x2＝3.對(duì)于甲、乙兩名同學(xué)的說(shuō)法，下列判斷正確的是(　A　) A．甲錯(cuò)誤，乙正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯(cuò)誤 3．(2016石家莊二十八中一模)現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，則實(shí)數(shù)x的值是(　B　) A．－4或－1 B．4或－1 C．4或－2 D．－4或2 　一元二次方程

5、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 4．(2015河北中考)若關(guān)于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是(　B　) A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)≥1 5．(2016河北中考)a，b，c為常數(shù)，且(a－c)2>a2＋c2，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情況是(　B　) A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．有一根為0 6．(2016唐山十三中三模)已知關(guān)于x的方程2x2－mx－6＝0的一個(gè)根是2，則m＝__1__，另一個(gè)根為_(kāi)_－__． 7．(2017唐山二模)對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“

6、*”：a*b＝例如：4*2，因?yàn)?>2，所以4*2＝42－4×2＝8. (1)求(－5)*(－3)的值； (2)若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的兩個(gè)根，求x1*x2的值． 解：(1)∵－5<－3， ∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6； (2)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2或3； ①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3. 　一元二次方程的應(yīng)用 8．(2016邯鄲25中模擬)某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)元，三月份的營(yíng)業(yè)額為48萬(wàn)元，設(shè)每月的平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為(　D　)

7、 A．48(1－x)2＝36 B．48(1＋x)2＝36 C．36(1－x)2＝48 D．36(1＋x)2＝48 9．(2016石家莊十八縣重點(diǎn)中學(xué)一模)為落實(shí)“兩免一補(bǔ)”政策，某市2014年投入教育經(jīng)費(fèi)2 500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2016年要投入教育經(jīng)費(fèi)3 600萬(wàn)元．已知2014年至2016年的教育經(jīng)費(fèi)投入以相同的百分率逐年增長(zhǎng)，則2015年該市要投入的教育經(jīng)費(fèi)為_(kāi)_3__000__萬(wàn)元． 10．(2017河北中考)某廠按用戶(hù)的月需求量x(件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x＞0.每件的售價(jià)為18萬(wàn)元，每件的成本y(萬(wàn)元)是基礎(chǔ)價(jià)與浮動(dòng)價(jià)的和，其中基礎(chǔ)價(jià)保持不變，浮動(dòng)價(jià)與月需求量x(件)成反

8、比．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份n(n為整數(shù)，1≤n≤12)符合關(guān)系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k為常數(shù))，且得到了表中的數(shù)據(jù)． 月份n(月) 1 2 成本y(萬(wàn)元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100 (1)求y與x滿(mǎn)足的關(guān)系式，請(qǐng)說(shuō)明一件產(chǎn)品的利潤(rùn)能否是12萬(wàn)元； (2)求k，并推斷是否存在某個(gè)月既無(wú)盈利也不虧損； (3)在這一年12個(gè)月中，若第m個(gè)月和第(m＋1)個(gè)月的利潤(rùn)相差最大，求m. 解：(1)由題意，設(shè)y＝a＋， 由表中數(shù)據(jù)得 解得 ∴y＝6＋， 由題意，若12＝18－，則＝0， ∵x＞0， ∴＞0， ∴

9、不可能； (2)將n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得120＝2－2k＋9k＋27， 解得k＝13， ∴x＝2n2－26n＋144， 將n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也符合， ∴k＝13； 由題意，得18＝6＋， 解得x＝50， ∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0， ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0， ∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根， ∴不存在； (3)設(shè)第m個(gè)月的利潤(rùn)為W， W＝x(18－y)＝18x－x ＝12(x－50) ＝24(m2－13m＋47)， ∴第(m＋1)個(gè)月的利潤(rùn)為W′＝2

10、4[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]＝24(m2－11m＋35)， 若W≥W′，W－W′＝48(6－m)，m取最小值1時(shí)，W－W′取得最大值240； 若W＜W′，W′－W＝48(m－6)，由m＋1≤12知m取最大值11時(shí)，W′－W取得最大值240； ∴m＝1或11. ,中考考點(diǎn)清單 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　一元二次方程的概念 1．只含有__1__個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是__2__，像這樣的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋

11、bx＋c＝0(a≠0)__． 【易錯(cuò)警示】判斷一個(gè)方程是一元二次方程的條件：①是整式方程；②二次項(xiàng)系數(shù)不為零；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且只含有一個(gè)未知數(shù)． 　一元二次方程的解法 2. 直接開(kāi) 平方法 這種方法適合于左邊是一個(gè)完全平方式，而右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法 配方法一般適用于解二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的這類(lèi)一元二次方程，配方的關(guān)鍵是把方程左邊化為含有未知數(shù)的__完全平方__式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)． 公式法 求根公式為_(kāi)_x＝(b2－4ac≥0)__，適用于所有的一元二次方程. 因式分 解法

12、 因式分解法的步驟：(1)將方程右邊化為_(kāi)_0__；(2)將方程左邊分解為一次因式的乘積；(3)令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解. 【溫馨提示】關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法： (1)當(dāng)b＝0，c≠0時(shí)，x2＝－，考慮用直接開(kāi)平方法解； (2)當(dāng)c＝0，b≠0時(shí)，用因式分解法解； (3)當(dāng)a＝1，b為偶數(shù)時(shí)，用配方法解簡(jiǎn)便． 　一元二次方程根的判別式 3．根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由__b2－4ac__來(lái)判定，我們將__b2－4ac__稱(chēng)為根的判別式．

13、 4．判別式與根的關(guān)系： (1)b2－4ac>0?方程有__兩個(gè)不相等__的實(shí)數(shù)根； (2)b2－4ac<0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根； (3)b2－4ac＝0?方程有__兩個(gè)相等__的實(shí)數(shù)根． 【易錯(cuò)警示】(1)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是b2－4ac≥0；(2)當(dāng)a，c異號(hào)時(shí)，Δ>0. 　一元二次方程的應(yīng)用 5．列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟： (1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列方程；(4)解方程；(5)檢驗(yàn)；(6)做結(jié)論． 6．一元二次方程應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)的等量關(guān)系： (1)增長(zhǎng)率中的等量關(guān)系：增長(zhǎng)率＝增量÷基礎(chǔ)量； (2)利率中的等量關(guān)系：本息和

14、＝本金＋利息，利息＝本金×利率×時(shí)間； (3)利潤(rùn)中的等量關(guān)系：毛利潤(rùn)＝售出價(jià)－進(jìn)貨價(jià)，純利潤(rùn)＝售出價(jià)－進(jìn)貨價(jià)－其他費(fèi)用， 利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷進(jìn)貨價(jià)． ,中考重難點(diǎn)突破　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　一元二次方程的解法 【例1】(2016保定十七中二月調(diào)研)解下列方程： (1)(x－2)2＝；(2)x2－4x＋1＝0；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2＝2x. 【解析】(1)可以用直接開(kāi)平方法解；(2)因?yàn)閎＝－4是偶數(shù)，可以用配方法解；(3)因?yàn)閎＝－3是奇數(shù)，配方法解較復(fù)雜，可用公式法；(4)直接因式分解． 【

15、答案】解：(1)直接開(kāi)平方，得x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－； (2)配方，得(x－2)2＝3，直接開(kāi)平方，得x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－； (3)∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x＝，即x1＝，x2＝； (4)分解因式，得x(x－2)＝0.即x1＝2，x2＝0. 1．方程(x－3)(x＋1)＝0的解是(　C　) A．x＝3 B．x＝－1 C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－3，x2＝1 2．(2016唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方

16、程可變形為(　A　) A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1 3．用公式法解方程： (1)(廣東中考)x2－3x＋2＝0； 解：x1＝1，x2＝2； (2)(蘭州中考)x2－1＝2(x＋1)． 解：x1＝－1，x2＝3. 　一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 【例2】(2017包頭中考)若關(guān)于x的不等式x－＜1的解集為x＜1，則關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0根的情況是(　A　) A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定 【解析】解不等式x－＜1

17、得x＜1＋，而不等式x－＜1的解集為x＜1，所以1＋＝1，解得a＝0，又因?yàn)棣ぃ絘2－4＝－4，所以關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選C. 【答案】C 4．(2016唐山豐潤(rùn)二模)方程x2－x＋3＝0根的情況是(　D　) A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 5．(2016保定博野模擬)已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是(　C　) A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)<2 C．a(chǎn)<2且a≠1 D．a(chǎn)<－2 6．(2017咸寧中考)已知a，

18、b，c為常數(shù)，點(diǎn)P(a，c)在第二象限，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況是(　B　) A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷 　一元二次方程的應(yīng)用 【例3】(2017達(dá)州中考)某養(yǎng)殖戶(hù)每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬(wàn)元，可變成本逐年增長(zhǎng)，已知該養(yǎng)殖戶(hù)第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元，設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為x. (1)用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為_(kāi)_______萬(wàn)元； (2)如果該養(yǎng)殖戶(hù)第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬(wàn)元，求可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率． 【解析】(1)根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題由

19、第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元就可以表示出第二年的可變成本為2.6(1＋x)萬(wàn)元，則第三年的可變成本為2.6(1＋x)2萬(wàn)元；(2)根據(jù)養(yǎng)殖成本＝固定成本＋可變成本建立方程即可． 【答案】(1)2.6(1＋x)2； (2)由題意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146. 解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合題意，舍去)． 答：可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%. 【例4】有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有256人患了流感，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染(　A　) A．17人 B．16人 C．15人 D．10人 【解析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則第一輪傳染了x個(gè)人；患

20、流感的人把病毒傳染給別人，自己也包括在總數(shù)中，第二輪作為傳染源的是(x＋1)人，每人傳染x個(gè)人，則傳染x(x＋1)人．兩輪后得流感的總?cè)藬?shù)為：一開(kāi)始的1人＋第一輪傳染的x個(gè)人＋第二輪傳染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2＝－17.因?yàn)閤表示人數(shù)，所以x＝－17不合題意，應(yīng)舍去；取x＝15，故選C. 【答案】C 【例5】商場(chǎng)某種商品平均每天可銷(xiāo)售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價(jià)x元．據(jù)此規(guī)律，正常銷(xiāo)售情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可

21、達(dá)到2 100元？ 【解析】設(shè)降價(jià)x元，則每件盈利(50－x)元，數(shù)量增多2x件，再由單件利潤(rùn)×數(shù)量＝2 100即可． 【答案】解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，則商場(chǎng)日銷(xiāo)售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由題意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100. 整理，得x2－35x＋300＝0. 解得x1＝15，x2＝20. ∵要盡快減少庫(kù)存， ∴x＝15不合題意，舍去，只取x＝20. 答：每件商品降價(jià)20元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2 100元． 【例6】(2017南通中考)如圖，為美化校園環(huán)境，某校計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為60 m，寬為40 m的長(zhǎng)方形空地上修建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，并將花

22、圃四周余下的空地修建成同樣寬的甬道，設(shè)甬道寬為a m. (1)用含a的式子表示花圃的面積； (2)如果甬道所占面積是整個(gè)長(zhǎng)方形空地面積的，求出此時(shí)甬道的寬． 【解析】(1)用含a的式子先表示出花圃的長(zhǎng)和寬，再利用矩形面積公式列出式子即可；(2)甬道所占面積等于大長(zhǎng)方形空地面積減去中間小花圃的面積，再根據(jù)甬道所占面積是整個(gè)長(zhǎng)方形空地面積的，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可． 【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由題意，得 60×40－(60－2a)(40－2a)＝×60×40， 解得a1＝5，a2＝45(舍去)． 答：此時(shí)甬道的寬為5 m

23、. 7．(2017巴中中考)某地2014年外貿(mào)收入為2.5億元，2016年外貿(mào)收入達(dá)到了4億元，若平均每年的增長(zhǎng)率為x，則可以列出方程為(　A　) A．2.5(1＋x)2＝4 B．(2.5＋x%)2＝4 C．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4 D．2.5(1＋x%)2＝4 8．公園有一塊正方形的空地，后來(lái)從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花(如圖)，原空地一邊減少了1 m，另一邊減少了2 m，剩余空地的面積為18 m2，求原正方形空地的邊長(zhǎng)．設(shè)原正方形的空地的邊長(zhǎng)為x m，則可列方程為(　C　) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－

24、2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 9．(2017原創(chuàng))有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患了流感，問(wèn)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染__7__個(gè)人．如果不及時(shí)控制，第三輪又將有__448__人被傳染． 10．為了綠化校園環(huán)境，學(xué)校向某園林公司購(gòu)買(mǎi)了一批樹(shù)苗．園林公司規(guī)定；如果購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗不超過(guò)60棵，每棵售價(jià)120元；如果購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗超過(guò)60棵，每增加1棵，每棵所出售的這批樹(shù)苗售價(jià)均降低0.5元，但每棵樹(shù)苗最低售價(jià)不得少于100元．該校最終向園林公司支付樹(shù)苗款8 800元，那么該校共購(gòu)買(mǎi)了多少棵樹(shù)苗？ 解：設(shè)該校共買(mǎi)了x棵樹(shù)苗． 120×60＝7 200(元)． ∵7 200＜8 800， ∴購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗超過(guò)60棵； x[120－0.5(x－60)]＝8 800， x1＝220，x2＝80， 當(dāng)x＝220時(shí)，120－0.5×(220－60)＝40＜100， ∴x＝220舍去．∴x＝80. 答：該校共購(gòu)買(mǎi)了80棵樹(shù)苗．