《《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第8章完備度量空間》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第8章完備度量空間（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第8章完備度量空間(簡(jiǎn)介)
§ 8.1 度量空間的完備化
定義8.1.1 設(shè)(X, p )是一個(gè)度量空間.X中的一個(gè)序列如果對(duì)于任意給定
的實(shí)數(shù)& >0,存在整數(shù)N>0,使得當(dāng)i,j>N時(shí)，有 ,則稱序列；；■：■ 是一 一個(gè)
Cauchy 序列.
如果X中的每一個(gè)Cauchy序列都收斂，則稱度量空間(X, p )是一個(gè)完備的度量空間
易見(jiàn)度量空間中的每一個(gè)收斂序列都是 Cauchy序列,但反之不然.
例8.1.1 實(shí)數(shù)空間R是一個(gè)完備的度量空間.(證略)
有理數(shù)集Q作為實(shí)數(shù)空間R的度量子空間卻不是完備度量空間，因?yàn)槿魏我粋€(gè)在R中收
斂于無(wú)
2、理數(shù)的有理數(shù)序列在這個(gè)子空間中均不收斂. (完備性不可遺傳)
完備性也不是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).
例我們?cè)赗中引入一個(gè)新的度量 d,其定義為：
容易驗(yàn)證d確實(shí)是R中的一個(gè)度量，并且與R的通常度量P等價(jià).因此實(shí)數(shù)集合R在這 兩個(gè)不同的度量之下，恒同映射是一個(gè)同胚.(即(R, p )與(R,d)是同胚空間).然而(R, p )
是一個(gè)完備度量空間，而(R,d)卻不是.因?yàn)槠渲械男蛄?''■■'''I是一個(gè)Cauchy序列，然而卻
不收斂.
v “ N丄
驗(yàn)證如下
時(shí).（設(shè) i<j）,
丫" u,取 s ,則當(dāng) i,j
3、>N
J _ J
i _ J
1訃丨1+丨川
1" 1 + j
所以，* ；二是個(gè)Cauchy序列?但對(duì)于任意取定的
x,取 i=x+p,p>x 時(shí)
(1 + x)(l + x + p)
> (\ + x) 2p
是個(gè)確定的數(shù)?即不論你取定怎樣的 x,當(dāng)i比2x大時(shí),x、i的距離總是大于固定的數(shù)
]
[ + 這說(shuō)明■ 是不收斂于x的.
定理8.1.1 完備度量空間中的每一個(gè)閉的度量子空間都是完備度量空間. (閉遺
傳)
引理8.1.2 設(shè)(X, p )是一個(gè)度量空間 鳥—二?如果Y中的每一個(gè)Cauchy序列都
在X
4、中收斂，則Y的閉包J中的每一個(gè)Cauchy序列也都在X中收斂.
推論8.1.3 設(shè)(X, p )是一個(gè)度量空間.Y是X的一個(gè)稠密子集?如果 Y中的每一 個(gè)Cauchy序列都在X中收斂，則X是一個(gè)完備度量空間.
定理8.1.4 n維歐氏空間^和Hilbert空間H都是完備度量空間.
定義8.1.2 設(shè)(X, p )和(Y,d)是兩個(gè)度量空間,f: X t Y.如果對(duì)于任意 x,y €X有
d(f(x),f(y))= p (x,y),則稱映射f是一個(gè)保距映射，如果存在一個(gè)從 X到Y(jié)的滿的保距映射 則稱度量空間(X, p )與度量空間(Y,d)同距.
定義8.1.3
設(shè)X是一個(gè)度量空間，
5、X*是一個(gè)完備度量空間. 如果X與X*的一個(gè)稠密的 度量子空間同距，則稱完備度量空間 X*是度量空間X的一個(gè)完備化.
定理8.1.5 每一個(gè)度量空間都有完備化.
定理8.1.6 每一個(gè)度量空間的任意兩個(gè)完備化同距.
§ 8.2 度量空間的完備性與緊致性
定義8.2.1 設(shè)(X, p )是一個(gè)度量空間，£ >0是一個(gè)實(shí)數(shù).X的有限子集A稱為一個(gè)&
網(wǎng),如果對(duì)于任何x€X有p (x,A)< £ .如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) & >0,X有一個(gè)£網(wǎng),則稱度量空
間 (X, p ) 是完全有界的．
一個(gè)度量空間是完全有界明顯蘊(yùn)涵著它是有界的．反之不然 , 例如包含著無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的 離散度量空間是有界的但不是完全有界的
定理8.2.1 設(shè)(X, p )是一個(gè)度量空間,則(X, p )是緊致的當(dāng)且僅當(dāng)(X, p )是一個(gè) 完全有界的完備度量空間．
《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第8章完備度量空間
