高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第五節(jié)　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 高頻考點[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 考點一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)　　 1．直線與平面垂直的判定與性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的考查常有以下幾個命題角度： (1)同真假命題的判斷相結(jié)合考查； (2)以多面體為載體，證明線面垂直問題； (3)以多面體為載體，考查與線面垂直有關(guān)的探索性問題． [例1]　(1)(2013浙江高考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面(　　) A．

2、若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β[來源:] (2)(2013廣東高考)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐ABCF，其中BC＝. ①證明：DE∥平面BCF； ②證明：CF⊥平面ABF； ③當AD＝時，求三棱錐FDEG的體積VFDEG. [自主解答]　(1)設(shè)直線a?α，b?α，a∩b＝A， ∵m⊥α，∴m⊥a，m⊥b. 又n∥m，∴n⊥a，n⊥b， ∴

3、n⊥α. (2)①證明：在等邊三角形ABC中，AB＝AC. ∵AD＝AE，∴＝，∴DE∥BC， ∴DG∥BF，又BF?平面BCF，DG?平面BCF， ∴DG∥平面BCF. 同理可證GE∥平面BCF. ∵DG∩GE＝G， ∴平面GDE∥平面BCF， 又DE?平面GDE， ∴DE∥平面BCF. ②證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點， ∴AF⊥CF， ∴BF＝FC＝BC＝. 在圖2中，∵BC＝，∴BC2＝BF2＋FC2， ∴∠BFC＝90， ∴CF⊥BF. ∵BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF， ∴CF⊥平面ABF. ③∵AD＝，∴BD＝，

4、AD∶DB＝2∶1， 在圖2中，AF⊥FC，AF⊥BF，又BF∩FC＝F，∴AF⊥平面BCF， 由①知平面GDE∥平面BCF，∴AF⊥平面GDE. 在等邊三角形ABC中，AF＝AB＝， ∴FG＝AF＝，DG＝BF＝＝＝GE， ∴S△DGE＝DGEG＝， ∴VFDGE＝S△DGEFG＝. [答案]　(1)C 線面垂直問題的常見類型及解題策略 (1)與命題真假判斷有關(guān)的問題．解決此類問題的方法是結(jié)合圖形進行推理，或者依據(jù)條件舉出反例否定． (2)線面垂直的證明．證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面

5、垂直的基本思想． (3)線面垂直的探索性問題．此類問題的解決方法同“線面平行的探索性問題”的求解方法(見本章第四節(jié)的[通關(guān)錦囊])． 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2所示． (1)求證：DE∥平面A1CB； (2)求證：A1F⊥BE； (3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．[來源:] 解：(1)證明：因為D，E分別為AC，AB的中點， 所以DE∥BC. 又因為DE?平面A1CB，BC?平面A1CB， 所以DE∥平面A1

6、CB. (2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 又A1D∩CD＝D，A1D?平面A1DC，CD?平面A1DC， 所以DE⊥平面A1DC. 因為A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD?平面BCDE，DE?平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE， 又BE?平面BCDE， 所以A1F⊥BE. (3)線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ. 理由如下： 如圖所示，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC. 又因為DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即

7、為平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點， 所以A1C⊥DP. 又DP∩DE＝D，DP?平面DEP，DE?平面DEP， 所以A1C⊥平面DEP. 從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ. 考點二 面面垂直的判定與性質(zhì) 　 [例2]　(2014濟南模擬) 如圖，四棱錐PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證： (1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面E

8、MN. [自主解答]　(1)法一： 取PA的中點H，連接EH，DH. 因為E為PB的中點， 所以EH∥AB，EH＝AB. 又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四邊形DCEH是平行四邊形． 所以CE∥DH. 又DH?平面PAD，CE?平面PAD， 所以CE∥平面PAD. 法二：連接CF. 因為F為AB的中點， 所以AF＝AB. 又CD＝AB， 所以AF＝CD. 又AF∥CD， 所以四邊形AFCD為平行四邊形． 因此CF∥AD. 又CF?平面PAD，AD?平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中

9、點， 所以EF∥PA. 又EF?平面PAD，PA?平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因為CF∩EF＝F， 故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF， 所以CE∥平面PAD. (2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點， 所以EF∥PA. 又AB⊥PA，所以AB⊥EF. 同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG， 因此AB⊥平面EFG. 又M，N分別為PD，PC的中點， 所以MN∥CD. 又AB∥CD， 所以MN∥AB， 所以MN⊥平面EFG. 又MN?平面EMN， 所以平面EFG⊥平面EMN. 【互動探究】 在

10、本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC. 證明：因為AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A， 所以AB⊥平面PAC. 又MN∥CD，CD∥AB， 所以MN∥AB， 所以MN⊥平面PAC. 又MN?平面EMN， 所以平面EMN⊥平面PAC.　　　 【方法規(guī)律】 面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧 (1)兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”． (2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面，此性質(zhì)是在課本習(xí)題中出現(xiàn)的，在不是很復(fù)雜的題目中，要對此進行證明．

11、 如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中， 側(cè)棱A1A⊥底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點．求證： (1)EF∥平面A1CD； (2)平面A1CD⊥平面A1ABB1. 證明：(1)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中， AC∥A1C1，且AC＝A1C1，連接ED， 在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點， 所以DE＝AC，且DE∥AC. 又F為A1C1的中點，所以A1F＝A1C＝AC，且A1F∥A1C1∥AC，所以A1F＝DE，且A1F∥DE， 即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EF∥DA1. 又EF?平面A1CD，DA1?

12、平面A1CD，所以EF∥平面A1CD. (2)由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點，[來源: 故CD⊥AB，又側(cè)棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC， 所以AA1⊥CD， 又AA1∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1， 而CD?平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1. 考點三 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 　 [例3]　如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點且DF＝AB，PH為△PAD中AD邊上的高． (1)證明：PH⊥平面ABCD； (2)若PH＝1，AD＝，F(xiàn)C＝1，求三棱錐EBCF的

13、體積； (3)證明：EF⊥平面PAB. [自主解答]　(1)證明：由于AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，故AB⊥PH. 又∵PH為△PAD中AD邊上的高，∴AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴PH⊥平面ABCD. (2)由于PH⊥平面ABCD，E為PB的中點，PH＝1，故E到平面ABCD的距離h＝PH＝. 又∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD， 故S△BCF＝FCAD＝1＝. 因此VEBCF＝S△BCFh＝＝. (3)證明： 過E作EG∥AB交PA于G，連接DG. 由于E為PB的中點，所以G為PA的中點． ∵AD＝PD

14、， ∴DG⊥PA. ∵AB⊥平面PAD，DG?平面PAD， ∴AB⊥DG. 又∵AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB， ∴DG⊥平面PAB. 又∵GE∥AB，GE=AB，DF∥AB，DF=AB ∴GE∥DF. GE=DF. ∴四邊形DFEG為平行四邊形，故DG∥EF. ∴EF⊥平面PAB. 【方法規(guī)律】 垂直關(guān)系綜合題的類型及解法 (1)三種垂直的綜合問題．一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化． (2)垂直與平行結(jié)合問題．求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用． (3)垂直與體積結(jié)合問題．在求體積時，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進

15、而求得體積． 如圖所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點．求證： (1)B1C∥平面A1BD； (2)B1C1⊥平面ABB1A1. 證明： (1)如圖所示，連接AB1，交A1B于點O， 則O為AB1的中點．連接OD， ∵D為AC的中點， ∴在△ACB1中，有OD∥B1C. 又∵OD?平面A1BD，B1C?平面A1BD. ∴B1C∥平面A1BD. (2)∵AB＝B1B，三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱， ∴四邊形ABB1A1為正方形． ∴A1B⊥AB1. 又∵AC1⊥

16、平面A1BD，A1B?平面A1BD， ∴AC1⊥A1B. 又∵AC1?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，AC1∩AB1＝A， ∴A1B⊥平面AB1C1. 又∵B1C1?平面AB1C1， ∴A1B⊥B1C1. 又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1， ∴A1A⊥B1C1. 又∵A1A?平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，A1A∩A1B＝A1， ∴B1C1⊥平面ABB1A1. 考點四 線面角、二面角的求法 [例4]　 (2014杭州模擬)在幾何體中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，CC1∥AA1，AB＝BC＝AA1＝2，

17、CC1＝1，D，E分別是AB，AA1的中點． (1)求證：BC1∥平面CDE； (2)求二面角EDCA的平面角的正切值． [自主解答]　 (1)證明：連接AC1交EC于點F，連接EC1，由題意知四邊形ACC1E是矩形，則F是AC1的中點，連接DF， ∵D是AB的中點， ∴DF是△ABC1的中位線， ∴BC1∥DF， ∵BC1?平面CDE，DF?平面CDE， ∴BC1∥平面CDE. (2)過點A作AH⊥直線CD，垂足為H，連接HE， ∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD， 又AH∩AA1＝A，AH，AA1?平面AHE， ∴CD⊥平面AHE， ∴CD⊥EH， ∴

18、∠AHE是二面角EDCA的平面角． ∵D是AB的中點， ∴AH等于點B到CD的距離， 在△BCD中，求得點B到CD的距離為，則AH＝. 在△AEH中，tan ∠AHE＝＝， 即所求二面角的正切值為. 【方法規(guī)律】 1．求斜線與平面所成的角的步驟 (1)作圖：作(或找)出斜線在平面上的射影，將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角)，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足(有時可以是兩垂足)作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算． (2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角． (3)計算：通常在垂線段

19、、斜線和射影所組成的直角三角形中計算． 2．求二面角的步驟 (1)作出二面角的平面角； (2)證明該角就是二面角的平面角； (3)計算該角的大?。? 以上3步簡記為作、證、算． 3．作二面角平面角的方法 法一：(定義法)在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線． 如圖①，∠AOB為二面角αaβ的平面角． 法二：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角． 如圖②，∠AOB為二面角αlβ的平面角． 法三：(垂線法)過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面

20、垂直可找到二面角的平面角或其補角． 如圖③，∠AFE為二面角ABCD的平面角． 　(2012廣東高考)如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE. (1)證明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B PCA的正切值． 解：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可證得PC⊥BD. 又∵PA∩PC＝P，PA、PC?平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. (2)如圖，設(shè)BD與AC交于點O，連接OE. ∵PC⊥平面BDE，BE、OE?平面B

21、DE， ∴PC⊥BE，PC⊥OE. ∴∠BEO即為二面角BPCA的平面角． 由(1)知BD⊥平面PAC. 又∵OE、AC?平面PAC， ∴BD⊥OE，BD⊥AC. 故矩形ABCD為正方形， ∴BD＝AC＝2， BO＝BD＝. 由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PA⊥BC. 又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. 而PB?平面PAB，∴BC⊥PB. 在Rt△PAB中，PB＝＝， 在Rt△PAC中，PC＝＝3， 在Rt△PBC中，由PBBC＝PCBE，得BE＝. 在Rt△BOE中，OE＝＝. ∴tan ∠B

22、EO＝＝3， 即二面角BPCA的正切值為3. ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個轉(zhuǎn)化——三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 　在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 3種方法——三種垂直關(guān)系的證明[來源:] 　(1)判定線線垂直的方法 ①定義：兩條直線所成的角為90； ②平面幾何中證明線線垂直的方法； ③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b； ④線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b. (2)判定線面垂直的常用方法 ①利用線面垂直的判定定理； ②利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”； ③利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個也垂直”； ④利用面面垂直的性質(zhì)． (3)判定面面垂直的方法 ①利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品