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第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)
[全盤鞏固]
1．二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋t圖象的頂點在x軸上，則t的值是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析：選A 二次函數(shù)圖象的頂點在x軸上，所以Δ＝42－4(－1)t＝0，解得t＝－4.
2．下面給出4個冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對應(yīng)的是 ( )
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1[來源:]
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝
2、x－1
解析：選B 函數(shù)y＝x2的定義域、值域分別為R和[0，＋∞)，且其圖象關(guān)于y軸對稱，故該函數(shù)應(yīng)與圖象②對應(yīng)；函數(shù)y＝x＝的定義域、值域都是[0，＋∞)，故該函數(shù)應(yīng)與圖象③對應(yīng)；函數(shù)y＝x－1＝，該函數(shù)應(yīng)與圖象④對應(yīng)，故排除選項C，D.對于函數(shù)y＝x，隨著x的增大，函數(shù)圖象向x軸彎曲；而對于函數(shù)y＝x3，隨著x的增大，函數(shù)圖象向y軸彎曲，故圖象①應(yīng)與函數(shù)y＝x3對應(yīng)．
3．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象是( )
A B C D
解析：選D ∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，
∴a＞0，c＜0，
∴y
3、＝ax2＋bx＋c的開口向上，且與y軸的交點(0，c)在負(fù)半軸上．
4．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象與x軸的交點為(1,0)和(3,0)，則函數(shù)f(x)( )
A．在(－∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增
B．在(－∞，3)上單調(diào)遞增
C．在[1,3]上單調(diào)遞增
D．單調(diào)性不能確定
解析：選A 由已知可得該函數(shù)的圖象的對稱軸為x＝2，又二次項系數(shù)為1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是單調(diào)遞減的，在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的．
5．方程x2＋ax－2＝0在區(qū)間[1,5]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B．(1，＋∞)
C.
4、 D.
解析：選C 令f(x)＝x2＋ax－2，
由題意，知f(x)圖象與x軸在[1,5]上有交點，[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
則解得－≤a≤1.
6．(2014衢州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則( )
A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)＜f(x2)
C．f(x1)＞f(x2)
D．f(x1)與f(x2)的大小不能確定
解析：選B 函數(shù)的對稱軸為x＝－1，
設(shè)x0＝，
由0＜a＜3，得到－1＜＜，
又x1＜x2，[來源:]
用單調(diào)性和離對稱軸的遠(yuǎn)近作判斷，故選B.
7．若y＝xa2－4a－9是
5、偶函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是________．
解析：∵函數(shù)在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，
∴a2－4a－9＜0.
∴2－＜a＜2＋，
又函數(shù)是偶函數(shù)，
∴a2－4a－9是偶數(shù)，
∴整數(shù)a的值可以是－1,1,3或5.
答案：－1,1,3或5
8．二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式為________．
解析：依題意可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－1，
又其圖象過點(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝.
∴f(x)＝(x－2)2－1.
答案：f(x)＝(x－2)2－1
9．(2014?？谀M)二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)
6、為正，且對任意x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，則x的取值范圍是________．
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知x＝2為對稱軸，由于二次項系數(shù)為正的二次函數(shù)中距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小，∴|1－2x2－2|＜|1＋2x－x2－2|，即|2x2＋1|＜|x2－2x＋1|，∴2x2＋1＜x2－2x＋1，∴－2＜x＜0.
答案：(－2,0)
10．設(shè)f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當(dāng)－1≤x＜1時，y＝f(x)的表達(dá)式是冪函數(shù)，且經(jīng)過點.求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達(dá)式．
解：設(shè)在[－1,1)上，f(x)
7、＝xn，由點在函數(shù)圖象上，求得n＝3.
令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期為2，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．
11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)當(dāng)a＝2，x∈[－2,3]時，求函數(shù)f(x)的值域；
(2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．
解：(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
對稱軸x＝－∈[－2,3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，
8、
∴函數(shù)f(x)的值域為.
(2)函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－.
①當(dāng)－≤1，即a≥－時，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－滿足題意；
②當(dāng)－＞1，即a＜－時，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1滿足題意．
綜上可知a＝－或－1.
12．(2014湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實數(shù)a的值；
(2)若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1
9、)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a＞1)，
∴f(x)在[1，a]上是減函數(shù)．
又定義域和值域均為[1，a]．
∴即解得a＝2.
(2)∵f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，
∴a≥2.
又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.
∵對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.
又a≥2，∴2≤a≤3.
故實數(shù)a的取值范圍是[2,3]．
[沖擊名校]
1．對于任意a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)
10、＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范圍是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(3，＋∞)
解析：選B f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，[來源:]
由題意知即[來源:]
解得x＞3或x＜1，故選B.
2．已知函數(shù)f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若對于任意實數(shù)x，f(x)與g(x)至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[0,3) B．[3,9) C．[1
11、,9) D．[0,9)
解析：選D 據(jù)題意只需轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≤0時，ax2－(3－a)x＋1>0恒成立即可．結(jié)合f(x)＝ax2－(3－a)x＋1的圖象，當(dāng)a＝0時驗證知符合條件；當(dāng)a≠0時必有a>0，當(dāng)x＝≥0時，函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故要使原不等式恒成立，只需f(0)>0即可，解得0＜a≤3；當(dāng)x＝<0時，只需f>0即可，解得3
12、f(x)為偶函數(shù)
C．f(x)＋1為奇函數(shù) D．f(x)＋1為偶函數(shù)
解析：選C 法一：根據(jù)題意，令x1＝x2＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，即f(x)＋1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1為奇函數(shù)．
法二：(特殊函數(shù)法)由條件f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1可取f(x)＝x－1，而f(x)＋1＝x是奇函數(shù)．
2．設(shè)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的三個命題：
①y＝f(x)是周期函數(shù)；
②y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；
③y＝f(x)在[0,1]上是增函數(shù)．
其中正確命題的序號是________．
解析：因偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，令x＝x－1，則f(x)＝－f(x－1)，故f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，①正確；又f(1－x)＝f(x－1)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，②正確；又函數(shù)f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，則f(x)在[0,1]是減函數(shù)，③錯誤．
答案：①②
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二章 ：第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)演練知能檢測
