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第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【考綱下載】
1．能畫(huà)出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．
2．借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]，正切函數(shù)在上的性質(zhì)．
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)[來(lái)源:]
函數(shù)[來(lái)源:]
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖
象
定義域
R
R
k∈Z }[來(lái)源:]
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
單調(diào)性
遞增區(qū)間：
(k∈Z)；
遞減區(qū)間：
(k∈Z)[來(lái)源:
2、]
遞增區(qū)間：
[2kπ－π，2kπ]
(k∈Z)；
遞減區(qū)間：
[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
遞增區(qū)間：
(k∈Z)
最 值
x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，
ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z) 時(shí)，
ymin＝－1
無(wú)最值
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)中心：(kπ，0)(k∈Z)
對(duì)稱(chēng)軸：x＝kπ＋，k∈Z
對(duì)稱(chēng)中心：(k∈Z)
對(duì)稱(chēng)軸：x＝kπ，k∈Z
對(duì)稱(chēng)中心：(k∈Z)
無(wú)對(duì)稱(chēng)軸
周期
2π
2π
π
1．正切
3、函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？
提示：不是．正切函數(shù)y＝tan x在每一個(gè)區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù)．
2．當(dāng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)時(shí)，φ的取值是什么？對(duì)于函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)呢？
提示：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)是偶函數(shù)；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)是奇函數(shù)．
1．函數(shù)y＝tan 3x的定義域?yàn)? )
A.
B.
C.
D.
解析：選D 由3x≠＋kπ，得x≠
4、＋，k∈Z.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin，x∈R，則f(x)是( )
A．最小正周期為π的奇函數(shù)
B．最小正周期為π的偶函數(shù)
C．最小正周期為的奇函數(shù)
D．最小正周期為的偶函數(shù)
解析：選B ∵f(x)＝sin＝－cos 2x，
∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)．
3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖象( )
A．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于直線x＝－對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
解析：選B ∵f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期為π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.
經(jīng)驗(yàn)證可知f＝sin＝sin π＝0，
5、
即是函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
4．下列函數(shù)中，周期為π，且在上為減函數(shù)的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：選A 由函數(shù)的周期為π，可排除C，D.又函數(shù)在上為減函數(shù)，排除B，故選A.
5．函數(shù)y＝3－2cos的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)x＝________.
解析：函數(shù)y＝3－2cos的最大值為3＋2＝5，此時(shí)x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
方法博覽(三)
利用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的四種方法
1．根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
[典例1]
6、已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ)為偶函數(shù)，則φ的值為_(kāi)_______．
[解題指導(dǎo)] 先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解．
[解析] ∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
∴f(x＋φ)＝2sin.
∵函數(shù)f(x＋φ)為偶函數(shù)，∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝＋kπ(k∈Z)．
又∵|φ|≤，∴φ＝.
[答案]
[點(diǎn)評(píng)] 求解三角函數(shù)奇偶性的參數(shù)問(wèn)題常用下列結(jié)論進(jìn)行解答：函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)為奇函數(shù)?φ＝kπ＋(k∈Z)且B＝0；為偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．
2．根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
[典例2]
7、 已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為 ( )
A. B.
C. D.∪
[解題指導(dǎo)] 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求出已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，使為其子區(qū)間即可求得φ的范圍．
[解析] 因?yàn)?kπ＋≤2x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z，又因?yàn)槭莊(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，|φ|＜π，所以≤kπ＋－，k∈Z，解得φ≤，同理由≥kπ＋－，k∈Z，可得φ≥，所以≤φ≤.
[答案] C
[點(diǎn)評(píng)] 解答此類(lèi)題要注意單調(diào)區(qū)間的給出方式，如：“函數(shù)f(x)在
8、(k∈Z)上單調(diào)遞增”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)”，二者是不相同的．
3．根據(jù)三角函數(shù)的周期性求參數(shù)
[典例3] 函數(shù)f(x)＝sin＋sin ωx(ω＞0)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為2，則ω＝________.
[解題指導(dǎo)] 相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為2，即T＝4.
[解析] f(x)＝sin＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，又因?yàn)閒(x)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為2，所以T＝4，所以＝4，即ω＝.
[答案]
[點(diǎn)評(píng)] 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)圖象上一個(gè)最高點(diǎn)和它鄰
9、近的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值是函數(shù)的半周期，縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值是2A.在解決由三角函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式的問(wèn)題時(shí)，要注意使用好函數(shù)圖象顯示出來(lái)的函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及兩個(gè)坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)等．
4．根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)
[典例4] 若函數(shù)f(x)＝asin x－bcos x在x＝處有最小值－2，則常數(shù)a，b的值是( )
A．a(chǎn)＝－1，b＝ B．a(chǎn)＝1，b＝－
C．a(chǎn)＝，b＝－1 D．a(chǎn)＝－，b＝1
[解題指導(dǎo)] 函數(shù)f(x)＝asin x－bcos x的最小值為－.
[解析] f(x)＝sin(x－φ)其中cos φ＝，sin φ＝，
則解得
[答案] D
[點(diǎn)評(píng)] 解答本題的兩個(gè)關(guān)鍵：(1)引進(jìn)輔助角，將原式化為三角函數(shù)的基本形式；(2)利用正弦函數(shù)取最值的方法建立方程組．
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