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第七節(jié) 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入
考點一
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 [來源:]
[例1] (1)(2013安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)(2013山東高考)復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
[自主解答] (1)∵a－＝a－
＝(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝
2、0，即a＝3.
(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝＋3＝＋3＝5＋i，
∴＝5－i.
[答案] (1)D (2)D
【互動探究】
若將本例(2)中的“z－3”改為“z－i”，則為何值？
解：∵(z－i)(2－i)＝5，則z－i＝，∴z＝i＋＝i＋(2＋i)＝2＋2i，
∴＝2－2i.
【方法規(guī)律】
解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)
3、的形式，以確定實部和虛部．
1．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為＝a－bi，則z－為 ( )
A．實數(shù) B．純虛數(shù) C．零 D．零或純虛數(shù)[來源:]
解析：選D 由題意知z－＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，
當(dāng)b＝0時，z－為0；當(dāng)b≠0時，z－為純虛數(shù)．
2．若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋2的虛部為( )
A．0 B．－1 C．1 D．－2[來源:
解析：選A ∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虛部為
4、0.
考點二
復(fù)數(shù)的幾何意義
[例2] (1)(2013江西高考)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)(2013四川高考)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是( )
A．A B．B C．C D．D
(3)(2013遼寧高考)復(fù)數(shù)z＝的模為( )
A. B. C.
5、 D．2
[自主解答] (1)由共軛復(fù)數(shù)的定義知：z＝1－2i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1，－2)，位于第四象限．
(2)設(shè)z＝－a＋bi(a>0，b>0)，則z的共軛復(fù)數(shù)＝－a－bi.它對應(yīng)的點為(－a，－b)，是第三象限的點，即圖中的B點．
(3)∵z＝＝＝＝－－i，
∴|z|＝ ＝.
[答案] (1)D (2)B (3)B
【方法規(guī)律】
判斷復(fù)數(shù)在平面內(nèi)的點的位置的方法
首先將復(fù)數(shù)化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根據(jù)實部a和虛部b的符號來確定點所在的象限．
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i、－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B，若C為線段AB的中點，則
6、點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
解析：選C 由題意得A(6,5)，B(－2,3)，所以AB中點C的坐標(biāo)為(2,4)，所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.
2．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應(yīng)的點分別為A，B，C.O為坐標(biāo)原點，若＝x＋y，則x＋y的值是________．
解析：由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵＝x＋y，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，[來源:]
∴解得故x＋y＝5.
答案：5
高頻考點
7、
考點三 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算
1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算是每年高考的必考內(nèi)容，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題．
2．高考對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)復(fù)數(shù)的乘法運算；
(2)復(fù)數(shù)的除法運算；
(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)．
[例3] (1)(2013浙江高考)已知i是虛數(shù)單位，則(2＋i)(3＋i)＝( )
A．5－5i B．7－5i
C．5＋5i D．7＋5i
(2)(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i
8、 D．1－i
(3)(2013廣東高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi的模是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[自主解答] (1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.
(2)＝＝＝＝－1＋i.
(3)由已知得x＋yi＝＝4－3i，
故|x＋yi|＝＝5.
[答案] (1)C (2)B (3)D
復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略
(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(2)
9、復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．
(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)．a(chǎn)＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
1．若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
解析：選A 由題意知z＝＝＝＝3＋5i.
2．i為虛數(shù)單位，則2 014＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
解析：選B 2
10、014＝i2 014＝i2＝－1.
3．設(shè)a，b∈R，a＋bi＝(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．
解析：∵＝＝＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.
答案：8
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個分類——復(fù)數(shù)的分類
對復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，
當(dāng)b＝0時，z為實數(shù)；
當(dāng)b≠0時，z為虛數(shù)；
當(dāng)a＝0，b≠0時，z為純虛數(shù)．
2個技巧——復(fù)數(shù)的運算技巧
(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法．
(2)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數(shù)化．
3個結(jié)論——復(fù)數(shù)代數(shù)運算中常用的三個結(jié)論
(1)(1i)2＝2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
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