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第七節(jié) 拋 物 線
[全盤鞏固]
1．拋物線x2＝(2a－1)y的準線方程是y＝1，則實數(shù)a＝( )
A. B. C．－ D．－
解析：選D 把拋物線方程化為x2＝－2y，則p＝－a，故拋物線的準線方程是y＝＝，則＝1，解得a＝－.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
2．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于( )
A. B．2 C. D．4
解析：選C 直線4kx－4y－k＝0，即y＝k
2、，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，則弦AB的中點的橫坐標是，所以弦AB的中點到直線x＋＝0的距離是＋＝.
3．(2013江西高考)已知點A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3
解析：選C FA：y＝－x＋1，與x2＝4y聯(lián)立，得xM＝－1，F(xiàn)A：y＝－x＋1，與y＝－1聯(lián)立，得N(4，－1)，由三角形相似知＝＝.
4．設F為拋物線y2＝4x的焦點
3、，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝( )
A．9 B．6 C．4 D．3
解析：選B 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又F(1,0)，由＋＋＝0知，
(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
5．已知點M(1,0)，直線l：x＝－1，點B是l上的動點，過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P，則點P的軌跡是( )
A．拋物線 B．橢圓
C．雙曲線的一支
4、 D．直線
解析：選A 由點P在BM的垂直平分線上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而點P到直線l的距離等于點P到點M的距離，所以點P的軌跡是拋物線．
6．(2013新課標全國卷Ⅰ)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為( )
A．2 B．2 C．2 D．4
解析：選C 設P(x0，y0)，根據(jù)拋物線定義得|PF|＝x0＋，所以x0＝3，
代入拋物線方程求得y2＝24，解得|y|＝2，
所以△POF的面積等于|OF||y|＝2＝2.
7．(2013北京高考)若拋物線y2＝2px
5、的焦點坐標為(1,0)，則p＝________，準線方程為________．
解析：∵拋物線y2＝2px的焦點坐標為(1,0)，∴＝1，解得p＝2，∴準線方程為x＝－1.
答案：2 x＝－1
8．(2014麗水模擬)設Q為圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上任意一點，拋物線y2＝8x的準線為l.若拋物線上任意一點P到直線l的距離為m，則m＋|PQ|的最小值為________．
解析：如圖由拋物線定義可得，點P到準線的距離等于其到焦點F的距離，故問題轉化為點P到焦點的距離與到圓上點的距離之和的最小值，由圓的知識可知當且僅當點P為圓心C和焦點F的連線與拋物線的交點，Q取CF的連線與
6、圓的交點時，距離之和取得最小值，即m＋|PQ|≥|CF|－r＝－2＝－2.
答案：－2.
9．拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．
解析：
如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0，切線方程與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，則Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切線方程為4x＋3y－＝0，拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d＝＝.
答案：
10．已知以向量v＝為方向向量的直線l過點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的頂點關于直
7、線l的對稱點在該拋物線的準線上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)設A，B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若＋p2＝0(O為原點，A，B異于原點)，試求點N的軌跡方程．[來源:
解：(1)由題意可得直線l的方程為y＝x＋，①
過原點垂直于l的直線方程為y＝－2x.②
解①②得x＝－.
∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上，
∴－＝－2，p＝2.
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由題意知y0＝y(tǒng)1.
由＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0，
又y＝4x1
8、，y＝4x2，解得y1y2＝－8，③
直線ON：y＝x，即y0＝x0.④
由③④及y0＝y(tǒng)1得點N的軌跡方程為x＝－2(y≠0)．
11．已知定點A(1,0)和直線x＝－1上的兩個動點E，F(xiàn)，且⊥，動點P滿足∥，∥ (其中O為坐標原點)．
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點B(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C相交于兩個不同的點M，N，若<0，求直線l的斜率的取值范圍．
解：(1)設P(x，y)，E(－1，yE)，F(xiàn)(－1，yF)，
∵＝(－2，yE)(－2，yF)＝y(tǒng)EyF＋4＝0，
∴yEyF＝－4，①
又＝(x＋1，y－yE)，＝(1，－yF)，
且∥，∥，
9、
∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0，
∴yE＝y(tǒng)，yF＝－，
代入①得y2＝4x(x≠0)，
∴動點P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≠0)．
(2)設l：y－2＝kx(易知k存在，且k≠0)，
聯(lián)立消去x，得ky2－4y＋8＝0，
Δ＝42－32k>0，即k<.
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝，
＝(x1－1，y1)(x2－1，y2)
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
＝－＋1＋y1y2
＝2－＋y1y2＋1
＝＋1<0，
∴－12
10、珠海模擬)在平面直角坐標系xOy中，設點F，直線l：x＝－，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求動點Q的軌跡C的方程；
(2)設圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當M運動時，弦長|TS|是否為定值？請說明理由．
解：
(1)依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，
∴RQ是線段FP的垂直平分線．
∵|PQ|是點Q到直線l的距離．
點Q在線段FP的垂直平分線上，
∴|PQ|＝|QF|.
故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，
其方程為y2＝2x(x>0)．
(2)弦長|TS|為定值
11、．理由如下：取曲線C上點M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0，
圓的半徑r＝|MA|＝，
則|TS|＝2＝2，
因為點M在曲線C上，所以x0＝，
所以|TS|＝2＝2，是定值．
[沖擊名校]
已知直線y＝－2上有一個動點Q，過點Q作直線l1垂直于x軸，動點P在l1上，且滿足OP⊥OQ(O為坐標原點)，記點P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程；
(2)若直線l2是曲線C的一條切線，當點(0,2)到直線l2的距離最短時，求直線l2的方程．
解：(1)設點P的坐標為(x，y)，則點Q的坐標為(x，－2)．
∵OP⊥OQ，
∴當x＝0時，P，O，Q三點共線，不符合
12、題意，故x≠0.
當x≠0時，得kOPkOQ＝－1，[來源:]
即＝－1，化簡得x2＝2y，
∴曲線C的方程為x2＝2y(x≠0)．
(2)∵直線l2與曲線C相切，
∴直線l2的斜率存在．
設直線l2的方程為y＝kx＋b，
由得x2－2kx－2b＝0.
∵直線l2與曲線C相切，
∴Δ＝4k2＋8b＝0，即b＝－.
點(0,2)到直線l2的距離
d＝[來源:]
＝
＝
≥2＝.
當且僅當＝，即k＝時，等號成立．
此時b＝－1.
∴直線l2的方程為x－y－1＝0或x＋y＋1＝0.
[高頻滾動]
1．(2014宜賓模擬)已知點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，動點P
13、
滿足|PF2|－|PF1|＝2，當點P的縱坐標是時，點P到坐標原點的距離是( )
A. B. C. D．2
解析：選A 由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴雙曲線方程為x2－y2＝1(x≤－1)．
將y＝代入，可得點P的橫坐標為x＝－.
∴點P到原點的距離為 ＝.
2．(2014上海模擬)已知雙曲線－＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線上且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為________．
解析：由題意知F1(－3,0)，設M(－3，y0)，代入雙曲線方程求得|y0|＝，即|MF1|＝.又|F1F2|＝6，利用直角三角形性質及數(shù)形結合得F1到直線F2M的距離為d＝＝＝.
答案：
高考數(shù)學復習精品
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高考數(shù)學復習：第八章 ：第七節(jié)拋物線演練知能檢測
