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第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和
[全盤鞏固]
1．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，a3＝，S3＝，則公比q＝( )
A. B．－ C．1或－ D．1或
解析：選C 當(dāng)q＝1時，a1＝a2＝a3＝，S3＝a1＋a2＋a3＝，符合題意；當(dāng)q≠1時，由題意得解得q＝－.故q＝1或q＝－.
2．各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝( )
A．33 B．72 C．84 D．189
解析：選C ∵a1＋
2、a2＋a3＝21，
∴a1＋a1·q＋a1·q2＝21,3＋3×q＋3×q2＝21，[來源:]
即1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3.
∵an>0，∴q＝2，a3＋a4＋a5＝21×q2＝21×4＝84.
3．已知等比數(shù)列{an}滿足an>0(n∈N*)，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時，log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1等于( )
A．(n＋1)2 B．n2 C．n(2n－1) D．(n－1)2
解析：選B 由等比數(shù)列
3、的性質(zhì)可知a5a2n－5＝a，
又a5a2n－5＝22n，所以an＝2n.
又log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1，
所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，則＝( )
A．2 B．4 C．5 D.
解析：選B 依題意得＝＝2，即＝2，故數(shù)列a1，a3，a5，a7，…是一個以5為首項、2為公比的等比數(shù)列，因此＝4.
5．?dāng)?shù)列{an}中，已知對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a
4、＋a＋a＋…＋a＝( )
A．(3n－1)2 B.(9n－1) C．9n－1 D.(3n－1)
解析：選B ∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，①
∴a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝3n－1－1.②
由①－②，得an＝3n－3n－1＝2×3n－1.
∴當(dāng)n≥2時，an＝3n－3n－1＝2×3n－1，
又n＝1時，a1＝2適合上式，
∴an＝2×3n－1，
故數(shù)列{a}是首項為4，公比為9的等比數(shù)列．
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．
6．已知{an}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是( )
A．a(chǎn)1＋a3≥2a2
5、
B．a(chǎn)＋a≥2a
C．若a1＝a3，則a1＝a2
D．若a3>a1，則a4>a2
解析：選B 設(shè){an}的首項為a1，公比為q，則a2＝a1q，a3＝a1q2.∵a1＋a3＝a1(1＋q2)，又1＋q2≥2q，當(dāng)a1>0時，a1(1＋q2)≥2a1q，即a1＋a3≥2a2；當(dāng)a1<0時，a1(1＋q2)≤2a1q，即a1＋a3≤2a2，故A不正確；∵a＋a＝a(1＋q4)，又1＋q4≥2q2且a>0，∴a＋a≥2a，故B正確；若a1＝a3，則q2＝1.∴q＝±1.當(dāng)q＝1時，a1＝a2；當(dāng)q＝－1時，a1≠a2，故C不正確；D項中，若q>
6、0，則a3q>a1q，即a4>a2；若q<0，則a3q<a1q，此時a4<a2，故D不正確．
7．(2013·遼寧高考)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________.
解析：a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根且{an}是遞增數(shù)列，故a3＝4，a1＝1，故公比q＝2，S6＝＝63.
答案：63
8．(2014·杭州模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項ak1，ak2，ak3，…，構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝______
7、.
解析：據(jù)題意等差數(shù)列的a1，a2，a6成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1?ak4＝64a1＝a1＋3a1(n－1)，解得n＝22.
答案：22
9．(2013·江蘇高考)在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________．
解析：設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q>0，
由得a1＝，q＝2.
所以an＝2n－6.
a1＋a2＋…＋an＝2n－5－2－5，a1a2…an＝2.
由a1＋a2＋…＋
8、an>a1a2…an，得2n－5－2－5>2，
由2n－5>2，得n2－13n＋10<0，
解得<n<，取n＝12，可以驗證當(dāng)n＝12時滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，n≥13時不滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，故n的最大值為12.[來源:]
答案：12
10．?dāng)?shù)列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)．
(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
(2)求通項an；
(3)當(dāng)k＝－1時，求和a＋a＋…＋a.
解：(1)證明：∵Sn＝1＋kan，①
Sn－1＝1＋kan－1，②
①－②得Sn－Sn－1＝k
9、an－kan－1(n≥2)，
∴(k－1)an＝kan－1，＝為常數(shù)，n≥2.
∴{an}是公比為的等比數(shù)列．
(2)∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝.
∴an＝·n－1＝－.
(3)∵{an}中a1＝，q＝，
∴{a}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
當(dāng)k＝－1時，等比數(shù)列{a}的首項為，公比為，
∴a＋a＋…＋a＝＝.
11．已知函數(shù)f(x)＝的圖象過原點，且關(guān)于點(－1,2)成中心對稱．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝f(an)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．
解：(1)∵f(0)＝0，
10、∴c＝0.
∵f(x)＝的圖象關(guān)于點(－1,2)成中心對稱，
∴f(x)＋f(－2－x)＝4，解得b＝2.
∴f(x)＝.
(2)∵an＋1＝f(an)＝，
∴當(dāng)n≥2時，
＝·＝·＝·＝2.
又＝2≠0，
∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴＝2n，∴an＝.[來源:]
12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an
11、＋1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，
∴＝2，
∴數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.
(2)∵4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，
∴4b1＋b2＋b3＋…＋bn－n＝2n2，
∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2，
即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n，
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n.
12、
[沖擊名校]
1．設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________．
解析：由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，
所以Sn＝＋2＋3＋…＋n
＝＝1－n.
∵n∈N*，∴≤Sn<1.
答案：[來源:]
2．?dāng)?shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N
13、*.
(1)當(dāng)實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn.
解：(1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，
a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴當(dāng)t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(2)在(1)的結(jié)論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝
14、an＋bn＝4n－1＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋.
[高頻滾動]
1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
解析：選B Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1
15、，且an＝2an－1＋2n(n≥2，n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解：(1)證明：因為an＝2an－1＋2n，
所以＝＝＋1，即－＝1，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d＝1，其首項＝，[來源:]
所以＝＋(n－1)×1＝n－，
解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1.
(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②
①－②，得
－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.
所以Sn＝(2n－3)2n＋3.
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