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第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積
考點(diǎn)一
空間幾何體的表面積
[例1] (1)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是( )
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______．
[自主解答] (1)該三棱錐的直觀圖如圖所示．據(jù)俯視圖知，頂點(diǎn)P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90，[來(lái)源:]
據(jù)正、俯視圖知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，
據(jù)側(cè)
2、視圖知，BC＝4.
綜上所述，可知BC⊥平面PAB，
PB＝＝5，
PC＝＝＝，
AC＝＝，
PA＝＝2.
∵PC＝AC＝，
∴△PAC的邊PA上的高為
h＝ ＝6.
∴S△PAB＝ABPD＝10，S△ABC＝ABBC＝10，
S△PBC＝PBBC＝10，S△APC＝PAh＝6.
故三棱錐的表面積為
S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6.
(2)該幾何體的直觀圖如圖所示：
該幾何體為長(zhǎng)為4，寬為3，高為1的長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱．
∴S表＝2(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.
[答案] (1)B (2)
3、38
【方法規(guī)律】
空間幾何體的表面積的求法技巧
(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．
(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．
一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是( )
A．372 B．360 C．292 D．280
解析：選B 由三視圖可知該幾何體是由下面一個(gè)長(zhǎng)方體，上面一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的幾何體．
∵下面長(zhǎng)方體的表面積為8102＋282＋1022＝232，上面長(zhǎng)方體的表面積為862＋282＋262
4、＝152，
又∵長(zhǎng)方體表面積重疊一部分，
∴幾何體的表面積為232＋152－262＝360.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)二 空間幾何體的體積
1．空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度偏小，屬容易題．
2．高考對(duì)空間幾何體的體積的考查常有以下幾個(gè)命題角度：
(1)求簡(jiǎn)單幾何體的體積；
(2)求組合體的體積；
(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積．
[例2] (1)(2013湖北高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾
5、何體均為多面體，則有( )
A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4
(2)(2013浙江高考)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A．108 cm3 B．100 cm3
C．92 cm3 D．84 cm3
(3)(2012江蘇高考)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則四棱錐ABB1D1D的體積為_(kāi)_______
6、cm3.
[自主解答] (1)由題意可知，由于上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體．根據(jù)三視圖可知，最上面一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為1，高為1的圓臺(tái)，其體積V1＝π(12＋22＋12)1＝π；從上到下的第二個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是一個(gè)底面圓半徑為1，高為2的圓柱，其體積V2＝π122＝2π；從上到下的第三個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是邊長(zhǎng)為2的正方體，其體積V3＝23＝8；從上到下的第四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是一個(gè)棱臺(tái)，其上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，棱臺(tái)的高為1，故體積V4＝(22＋24＋42)1＝，比較大小可知答案選C.
(2)根據(jù)幾何體的三視圖可
7、知，所求幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐，則幾何體的體積V＝663－443＝100 cm3.
(3)由題意，四邊形ABCD為正方形，連接AC，交BD于O，則AC⊥BD.由面面垂直的性質(zhì)定理，可證AO⊥平面BB1D1D.四棱錐底面BB1D1D的面積為32＝6，從而VABB1D1D＝OAS長(zhǎng)方形BB1D1D＝6.
[答案] (1)C (2)B (3)6
空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)求簡(jiǎn)單幾何體的體積．若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解．
(2)求組合體的體積．若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解．
8、
(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積．應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．
1．(2013廣東高考)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是( )
A．4 B. C. D．6
解析：選B 由四棱臺(tái)的三視圖可知，臺(tái)體上底面積S1＝11＝1，下底面積S2＝22＝4，高h(yuǎn)＝2，代入臺(tái)體的體積公式V＝(S1＋＋S2)h＝(1＋＋4)2＝.
2．一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A．200＋9π B．200＋18π
C．140＋9π
9、 D．140＋18π
解析：選A 這個(gè)幾何體由上、下兩部分組成，下半部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，其中長(zhǎng)、寬、高分別為6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一個(gè)橫放的半圓柱，其中底面半徑為＝3，母線長(zhǎng)為2，故V＝1045＋π322＝200＋9π.
考點(diǎn)三
與球有關(guān)的組合體
[例3] (2014沈陽(yáng)模擬)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為( )
A. B．2 C. D．3
[自主解答] 如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M
10、.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半徑R＝OA＝ ＝.
[答案] C
【互動(dòng)探究】[來(lái)源:]
側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3的正四棱錐的外接球半徑是多少？
解：依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3＝6，高為 ＝3，
因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，
所以該四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.
【方法規(guī)律】
與球有關(guān)的組合體的類型及解法
(1)球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作出它們的軸截面解題．
(2)球與多面體的組合，通常過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題．
(201
11、3新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖所示，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：選A 設(shè)球半徑為R cm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4 cm，球心到截面的距離為(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝πR3＝π53＝ cm3.
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————
12、————————
1種思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想
計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)進(jìn)行，即將側(cè)面展開(kāi)化為平面圖形，“化曲為直”來(lái)解決，因此要熟悉常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及平面圖形面積的求法．[來(lái)源:]
2種方法——割補(bǔ)法與等積法
(1)割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．
(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過(guò)具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值．
2個(gè)注意點(diǎn)——求空間幾何體的表面積應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)求組合體的表面積時(shí)，要注意各幾何體重疊部分的處理．[來(lái)源:]
(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防出錯(cuò).
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