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第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示
考點一
平面向量基本定理的應用
[例1] 在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.
[自主解答] 選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝
＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝＋，
于是得即故λ＋μ＝.
[答案]
【互動探究】
在本例條件下，若＝c，＝d，試用c，d表示，.
解：設＝a，＝b，因為E，F分別為CD和BC的中點，所以＝b，＝a，于是有：
解得
即＝(2d－c)＝d－c，
＝(2c－d)＝c－d
2、.
【方法規(guī)律】[來源:]
應用平面向量基本定理表示向量的實質
應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．
如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.
解析：因為AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝BC.因為點M為AH的中點，所以＝＝(＋)＝＝＋，即λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
答案：
考點二
平面向量的坐標運算
3、
[例2] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求：
(1)3a＋b－3c；
(2)滿足a＝mb＋nc的實數m，n；
(3)M，N的坐標及向量的坐標．
[自主解答] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c[來源:]
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)設O為坐標原點，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0
4、,20)，
∴M的坐標為(0,20)．
又＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N的坐標為(9,2)．
故＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
【方法規(guī)律】
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．
(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應用．
已知平行四邊形的三個頂點分別是A(4,2)，B(5,7)，C(－3，4)，求第四個頂點D的坐標．
解：設頂點D(x，y)．若
5、平行四邊形為ABCD.
則由＝(1,5)，＝(－3－x,4－y)，
得所以
若平行四邊形為ACBD，則由＝(－7,2)，＝(5－x，7－y)，得所以
若平行四邊形為ABDC，則由＝(1,5)，＝(x＋3，y－4)，
得所以
綜上所述，第四個頂點D的坐標為(－4，－1)或(12,5)或(－2,9).
高頻考點
考點三平面向量共線的坐標表示
1．平面向量共線的坐標表示是高考的?？純热?，多以選擇題或填空題的形式出現，難度較小，屬容易題．
2．高考對平面向量共線的坐標表示的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)利用兩向量共線求參數；
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐
6、標；
(3)三點共線問題．
[例3] (1)(2013陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數m等于( )
A．－ B.
C．－或 D．0
(2)(2011湖南高考)設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________．
(3)(2014東營模擬)若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值等于________．
[自主解答] (1)因為a∥b，所以m2＝2，解得m＝－或m＝.
(2)∵a與b方向相反，∴可設a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2，
7、1)＝(2λ，λ)．由|a|＝＝2，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，
故a＝(－4，－2)．[來源:]
(3) ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
[答案] (1)C (2)(－4，－2) (3)
平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略
(1)利用兩向量共線求參數．如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所
8、求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線．
1．(2013遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為( )
A. B.
C. D.
解析：選A ∵A(1,3)，B(4，－1)，
∴＝(3，－4)，又∵| |＝5，
∴與同向的單位向量為＝.
2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.
解析：由題意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝
9、(－1,2)，
由(a＋b)∥c，得(－3)(－1)－(m－1)2＝0，
即2(m－1)＝3，故m＝.
答案：
3．已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為________．
解析：法一：由O，P，B三點共線，可設＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，由與共線，得(4λ－4)6－4λ(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以P點的坐標為(3,3)．
法二：設點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng).
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，
所以(x－4
10、)6－y(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，[來源:]
所以P點的坐標為(3,3)．
答案：(3,3)
———————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個區(qū)別——向量坐標與點的坐標的區(qū)別
在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式
(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
3個注意點——解決平面向量共線問題應注意的問題
(1)注意0的方向是任意的；[來源:]
(2)若a、b為非零向量，當a∥b時，a，b的夾角為0或180，求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯；
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.
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高考數學復習：第四章 ：第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示突破熱點題型
