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第七節(jié) 拋 物 線
【考綱下載】
1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等)．
2．了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．
3．理解數(shù)形結(jié)合思想．
1．拋物線的定義
滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：
(1)在平面內(nèi)；
(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；
(3)定點(diǎn)不在定直線上．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px
(p＞0)[來(lái)源:][來(lái)源:]
y2＝－2px
2、
(p＞0)[來(lái)源:]
x2＝2py
(p>0)[來(lái)源:][來(lái)源:]
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
開(kāi)口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑
(其中
P(x0，y0))
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
|PF|＝
y0＋
3、|PF|＝
－y0＋
1．當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？
提示：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)F且與直線l垂直的直線．
2．拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)M(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系？若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，結(jié)果如何？
提示：由拋物線定義得|MF|＝x0＋；若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，則|MF|＝y(tǒng)0＋.
1．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x
4、 D．y2＝4x
解析：選C 由拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－2知p＝4，且開(kāi)口向右，故拋物線方程為y2＝8x.
2．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B 因?yàn)閽佄锞€y2＝4x，所以2p＝4，而焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p＝2.
3．拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. B．(1,0) C. D.
解析：選C 將拋物線y＝2x2化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，所以2p＝，＝，而拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)在y軸的非負(fù)半軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
4．拋物線的焦點(diǎn)為橢圓
5、＋＝1的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為橢圓中心，則拋物線方程為_(kāi)_______________．
解析：由c2＝9－4＝5，得F(－，0)，
則拋物線方程為y2＝－4x.
答案：y2＝－4x
5．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．
解析：F，則B，
∴2p×＝1，解得p＝.
∴B，
因此B到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為＋＝.
答案：
前沿?zé)狳c(diǎn)(十二)
與拋物線有關(guān)的交匯問(wèn)題
1．拋物線是一種重要的圓錐曲線，在高考中，經(jīng)常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查，主要考查拋物線的
6、方程及幾何性質(zhì)，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離等．
2．直線與拋物線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x(或y)，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，但一定要注意直線與拋物線相交的條件．
[典例] (2013·浙江高考) 已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0，0)，焦點(diǎn)為F(0,1)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．
[解題指導(dǎo)] (1)由拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)即可判斷拋物線的形狀、大小，從而可求拋物線方程．
(2)直線AB與拋物線相交，可得出A，
7、B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由AO、BO與直線l交于M，N兩點(diǎn)，可求出|MN|的表達(dá)式，用k來(lái)表示，利用函數(shù)即可求最值．
[解] (1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1，p＝2，
所以拋物線C的方程為x2＝4y.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
從而|x1－x2|＝4.
由
解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝＝＝.
同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|
＝
＝8
＝.
令4k－3＝t，t≠0，則k＝.
當(dāng)t&g
8、t;0時(shí)，
|MN|＝2 >2；
當(dāng)t<0時(shí)，
|MN|＝2 ≥ .
綜上所述，當(dāng)t＝－，即k＝－時(shí)，|MN|的最小值是 .
[名師點(diǎn)評(píng)] 解答本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：
(1)由頂點(diǎn)O(0,0)，焦點(diǎn)F(0,1)確定拋物線的開(kāi)口方向及P的值；
(2)|MN|的表達(dá)式中，注意x1＋x2，x1x2及|x1－x2|的值；
(3)注意4k－3＝t的換元，使問(wèn)題簡(jiǎn)單．
(2014·湖州模擬)已知拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不
9、同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．
解：(1)由題意知交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x.
(2)∵l1：y＝－x，又直線l2與l1垂直，
所以可設(shè)l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸交點(diǎn)為M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
由韋達(dá)定理，y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝＝m2.
由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，
∴l(xiāng)2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)，
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24.
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