單自由度系統(tǒng)受迫振動[100頁]

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1、1.3 單自由度系統(tǒng)受迫振動受迫振動系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動激勵形式可以為力（直接作用力或慣性力），也可以為運動（位移、速度、加速度）。外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。簡諧激勵是最簡單的激勵。一般的周期性激勵可以通過傅里葉級數(shù)展開成簡諧激勵的疊加。有阻尼系統(tǒng)在簡諧激振力作用下，系統(tǒng)的運動微分方程為令得到有阻尼質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受迫振動微分方程的標準形式微分方程的全解等于齊次方程的通解與非齊次方程的特解之和。齊次方程通解: x1(t)非齊次方程特解: x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解x1(t) 有阻尼自由振動運動微分方程的解：特解為:)sin()(2

2、tBtx有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解由二部分組成：第一部分振動的頻率是自由振動頻率 ；由于阻尼的作用，這部分的振幅都時間而衰減。-瞬態(tài)振動d第二部分以激勵頻率作簡諧振動，其振幅不隨時間衰減穩(wěn)態(tài)受迫振動。特解為:代入方程解得thtBtBtBnsin)sin()cos(2)sin(22thtBtBnsin)cos(2)sin()(22222224)(nhB222tannh幅頻特性與相頻特性引入量綱為1的參數(shù) ， s， -稱為靜力偏移 為振幅與靜力偏移之比，稱為振幅比（又稱放大因子）。s 是激勵頻率與固有頻率之比，稱為頻率比。 s 稱為幅頻特性曲線 s 稱為相頻特性曲線結(jié)論：（1）線性

3、系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m, k, c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進入運動的方式（即初始條件）無關(guān)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性以s為橫坐標畫出 (s) 曲線幅頻特性曲線簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：（1）當)( 10s激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低1響應(yīng)的振幅A 與靜位移B 相當（2）當1s激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高響應(yīng)的振幅很?。?）在以上兩個領(lǐng)域?qū)?yīng)于不同 值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

4、的特性單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性（4）當)( 10s對應(yīng)于較小 值， (s) 迅速增大當 = 0 (s) 共振 振幅無窮大但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在s=1 附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性（5）對于有阻尼系統(tǒng)， 并不出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左max振幅無極值（6）當1,2/1單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性222)2()1 (1)(sss記:211sQ品質(zhì)因子在共振峰的兩側(cè)取與2/Q對應(yīng)的兩點21,12帶寬Q與的關(guān)系0Q阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭)sin(0tkFx單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性以s為橫坐

5、標畫出 (s) 曲線212arctan)(sss相頻特性曲線（1）當s1（1（0） 位移與激振力反相（3）當s 1 0共振時的相位差為 ，與阻尼無關(guān)2【例】圖示帶有偏心塊的電動機，固定在一根不計自重的彈性梁上。設(shè)電機的質(zhì)量為m1，偏心塊的質(zhì)量為m2，偏心距為e，彈性梁的剛度系數(shù)為k，阻力系數(shù)為c，求當電機以勻角速度旋轉(zhuǎn)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動的位移幅值。【解】系統(tǒng)可簡化為圖示的力學(xué)模型，將電機與偏心塊看成一個質(zhì)點系設(shè)電機軸心在t 瞬時相對平衡位置的坐標為x偏心塊的坐標為x + esint，質(zhì)點系動量定理在x方向的投影表達式為kxxctexdtdmdtxdm)sin(222221整理后得系統(tǒng)的微分方程為

6、temkxxcxmmsin)(2221 temkxxcxmmsin)(2221 引入微分方程化為標準形式解得令解得其幅頻特性和相頻特性曲線【例】圖示為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為k，阻力系數(shù)c。測振儀放在振動物體表面，將隨物體而運動。設(shè)被測物體的振動規(guī)律為 。求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律。texesin【解】以物塊的靜平衡位置為坐標原點，考察其相對地球的運動（絕對運動），運動微分方程可寫為令mkn2mc2則微分方程可寫成)sin(cos2sin222thtetexxxnn 其中2224neh22tann微分方程特解：)sin(2tBx回代得：sin)cos(

7、)cos()sin()sin()cos(2)sin(22ththtBtBtBn由前計算化簡可得系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為代入引入量綱為1的量:系統(tǒng)的幅頻特性為2222)2()1 ()2(1ssseB系統(tǒng)的相頻特性為223)2(121arctansss系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段在系統(tǒng)受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫振動同時發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加回顧：顯含t，非齊次微分方程tFkxxcxmsin0 非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解阻尼自由振動逐漸衰減持續(xù)等幅振動暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)單自由

8、度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段先考慮無阻尼的情況，假設(shè)激勵為正弦激勵tFkxxmsin0 00)0(,)0(xxxxtBxxsin2020 kFB00stsBtctctxsin1sincos)(20201通解：齊次方程通解非齊次方程特解21,cc由初始條件確定單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段tsBtctctxsin1sincos)(202010)0(xx01xc 0)0(xx20021ssBxctsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000初始條件響應(yīng)自由伴隨振動強迫響應(yīng)以系統(tǒng)固有頻率振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段tsBtsBstxt

9、xtxsin1sin1sincos)(20200000初始條件響應(yīng)自由伴隨振動強迫響應(yīng)初始條件為零tsBtsBstxsin1sin1)(202自由伴隨振動強迫響應(yīng)由于系統(tǒng)是線性的,也可以利用疊加定理求解000sin(0), (0)mxkxFtxx xx20000(0), (0)xxxx xx200sin(0)0, (0)0 xxFtxx 010000( )cossinxx txtt002022( )sinsin11B sBx tttss 通解:000120000220( )( )( )cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss初始條件響應(yīng)自由伴隨振動強迫響應(yīng)單自由度

10、系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段000sin(0), (0)mxkxFtxx xx000120000220( )( )( )cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss即使在零初始條件下,也有自由振動與受迫振動相伴發(fā)生.實際中總是存在著阻尼的影響,因而上式右端的暫態(tài)運動會逐漸衰減,進而消失,最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng).單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段例:計算初始條件,以使 的響應(yīng)只以頻率 振動.tFkxxmsin0 解:000120000220( )( )( )cossinsinsin11xB sBx tx tx txtt

11、ttsskFB00s如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動必須成立:00 x 00201xB ss初始條件:00 x 00021B sxs例:計算初始條件,以使 的響應(yīng)只以頻率 振動.0cosmxkxFt單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段解:000120000220( )( )( )cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss全解010202( )cossincos1Bx tctctts由0(0)xx01021Bcxs求一階導(dǎo)數(shù)01002002( )sincossin1Bx tctctts 由0(0)xx020 xc0000002200000000220( )()c

12、ossincos11cossincoscos11BxBx txtttssxBBxttttss200/cx 0000000220( )cossincoscos11xBBx txttttss單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動初始條件:00 x 0021Bxs單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段若激勵頻率與固有頻率十分接近000sin(0), (0)mxkxFtxx xx10s令21s為小量000120000220( )( )( )cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)tsBtsBstxsin1sin1)(20

13、2ttBtx00cossin2)(單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段ttBtx00cossin2)(可看作頻率為 ，振幅按 規(guī)律緩慢變化的振動 0tB0sin2這種在接近共振時的特殊振動現(xiàn)象稱為拍拍的周期為：0/圖形的包絡(luò)線：tB0sin2單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段ttBtxcossin2)(0當0ttBtx00cos2)(隨著t增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的響應(yīng)曲線即使是無阻尼系統(tǒng)，要達到理論上的無窮大振幅，也需要無限長的時間。所以，如果機器的工作運轉(zhuǎn)速度設(shè)計在共振轉(zhuǎn)速以上，穿越共振去并沒有很大困難，只要穿越的快些就好。單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段

14、討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應(yīng)000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm 利用前述相同的方法，可得)sin(sin)cossin(cossin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始條件響應(yīng)自由伴隨振動強迫響應(yīng)mk0kmc2201d0skFB0222)2()1 (1ss212arctanss單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段)sin(sin)cossin(cossin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始條件響應(yīng)自由伴隨振動強迫響應(yīng)經(jīng)過充分長的時間，作為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動將消失

15、，只剩下穩(wěn)態(tài)強迫響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段)sin(sin)cossin(cossin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始條件響應(yīng)自由伴隨振動強迫響應(yīng)對于零初始條件0)0(, 0)0(xx)sin(sin)cossin(cossin)(00tBtsteBtxdddt單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動特點：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比坐標：相對基座的位移1x動力學(xué)方程tiDekxxcxm111 基座運動規(guī)律tifDetx)(單自由度系統(tǒng)受迫振動/

16、簡諧慣性力激勵的受迫振動tiDekxxcxm111 )(111tiDex22221)2()1 (sss)12arctan(21ss解得：回顧：tFkxxcxmsin0 )(tiBex222)2()1 (1ss)12arctan(2ss單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動若以絕對位移 為坐標xfxxx1)(111tiDextifDetx)()(1)(1111)(tiititiDeeDeDex單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動可以看出：當 時，2s12振幅恒為支撐運動的振幅D當

17、 時，2s12振幅恒小于D增加阻尼反而會使振幅增大單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動解：汽車行駛的路程可表示為：vtz 則lvtaxf2sin路面的激勵頻率為sradlv/9 .342由kmc2kc,為常數(shù)得m與 成反比空載時的阻尼比為：0 . 12112mm滿載和空載時的頻率比：87. 11011kms93. 02022kms單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動滿載時的阻尼比為：空載時的阻尼比為：滿載時的頻率比：空載時的頻率比：5 . 010 . 1287. 11s93. 02s記滿載時的振幅為1B空載時的振幅為2B6

18、8. 0)2()1 ()2(12112212111sssaB13. 1)2()1 ()2(12222222222sssaB滿載與空載的振幅比為60. 021BB單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動已知梁截面慣性矩I，彈性模量E，梁質(zhì)量不計例支座A產(chǎn)生微小豎直振動支座B不動求：質(zhì)量m的穩(wěn)態(tài)振動振幅解：在質(zhì)量m作用下，由材料力學(xué)可求出靜撓度固有頻率/0g：因 的運動而產(chǎn)生的質(zhì)量m處的運動fxAy動力學(xué)方程：振幅單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動支承運動小結(jié)基座位移規(guī)律：相對位移絕對位移單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力

19、是主要的激勵來源。旋轉(zhuǎn)機械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為。x：機器離開平衡位置的垂直位移則偏心質(zhì)量的垂直位移：由達朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動力學(xué)方程：0)sin()(22kxxctexdtdmxmM tmekxxcxMsin2 tmekxxcxMsin2 單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動不平衡量引起的離心慣性力設(shè)20meF 單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動例：偏心質(zhì)量系統(tǒng)共振時測得最大振幅為0.1m由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為05. 0%10Mm設(shè)求：（1）偏心距e，（2）若要使系統(tǒng)共

20、振時振幅為0.01 m，系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動解：（1）共振時的最大振幅mMme1 . 021me1 . 0（2）若要使共振時的最大振幅0.01mmMMme01. 0219MMMM9單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動偏心質(zhì)量小結(jié)tmekxxcxMsin2 單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 機械阻抗和導(dǎo)納機械阻抗與導(dǎo)納工程中常用機械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動力特性。機械阻抗定義為簡諧激振時復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比動力學(xué)方程：輸入：輸出：代入得：根據(jù)定義，位移阻抗：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 機械阻抗和導(dǎo)納位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)， H( ) 也稱

21、為導(dǎo)納輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗機械阻抗的倒數(shù)稱為機械導(dǎo)納，相應(yīng) 、 、 分別有位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納)(xZ)(xZ)(xZ 機械阻抗和機械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動力特性（m，k，c），它們都是復(fù)數(shù)。單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 機械阻抗和導(dǎo)納現(xiàn)已有多種專門測試機械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率，相對阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動力特征。單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀慣性式測振儀基礎(chǔ)位移tifDexx 為m 相對于外殼的相對位移動力方程：0)(kxxcxxmf tiemDk

22、xxcxm2 振幅：DsssA22221)2()1 (0sDAs1lim當儀器的固有頻率遠小于外殼振動頻率時，儀器讀數(shù)的幅值A(chǔ)1 接近外殼振動的振幅D低固有頻率測量儀用于測量振動的位移幅值，稱為位移計單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀當儀器的固有頻率遠大于外殼振動頻率時，儀器讀數(shù)的幅值A(chǔ)1與外殼加速度的幅值成正比與外殼加速度的幅值成正比高固有頻率測量儀用于測量振動的加速度幅值，稱為加速度計被測物體的加速度幅值單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀另一種分析方法基礎(chǔ)位移假定為正弦:x 取絕對位移，受力圖動力學(xué)方程：0)()(ffxxkxxcxm tcD

23、tkDkxxcxmcossin 疊加原理，解為右端兩項解之和tifDex)cos()2()1 (1)sin()2()1 (1)(12221222tsskcDtsskkDtx)sin()sin()2()1 ()2(1)cos()2()1 (1)sin()2()1 (1)(21222212221222tDtsssDtsskcDtsskkDtx單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀2222)2()1 ()2(1sss2112arctansss2arctan221和前述支承運動中的絕對位移法結(jié)果相同單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/振動的隔離振動的隔離將作為振源的機器設(shè)

24、備與地基隔離，以減少對環(huán)境的影響稱為主動隔振主動隔振系數(shù) 隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機器傳到地基的力：tieF0隔振后系統(tǒng)響應(yīng))(01)(tiekFtx222)2()1 (1ss2112arctanss單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/振動的隔離隔振后通過k、c傳到地基上的力：)(22220)(01211)2()1 ()2(1)(titiesssFekFkickxxcFs2arctan2單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/振動的隔離單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/振動的隔離解：頻率比：彈性支承的剛度：機器振動的振幅：主動隔振系數(shù)：傳到

25、地基上的力幅：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉(zhuǎn)子的臨屆轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速汽輪機、發(fā)電機等高速旋轉(zhuǎn)機械在開機或停機過程中經(jīng)過某一轉(zhuǎn)速附近時，支撐系統(tǒng)經(jīng)常會發(fā)生劇烈振動臨界轉(zhuǎn)速在數(shù)值上很接近轉(zhuǎn)子橫向振動的固有頻率以單盤轉(zhuǎn)子為例單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉(zhuǎn)子的臨屆轉(zhuǎn)速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉(zhuǎn)子的臨屆轉(zhuǎn)速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉(zhuǎn)子的臨屆轉(zhuǎn)速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉(zhuǎn)子的臨屆轉(zhuǎn)速可見，當阻尼比較小時，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好（e很?。?，動撓度f也會相當大，容易使軸破壞，這樣的轉(zhuǎn)速成為臨屆轉(zhuǎn)速，為：用每分鐘

26、轉(zhuǎn)速表示：min)/(260rnff單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉(zhuǎn)子的臨屆轉(zhuǎn)速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉(zhuǎn)子的臨屆轉(zhuǎn)速min)/(148001 .1841001043. 4302606rnff單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)當 作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形20a單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)2222)2()1 (1nssnn單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)分別為第n次諧波激勵所對應(yīng)的振幅放大因子和相位差nn,單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵

27、的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應(yīng)dttkxdtdtxcdtxm)( dttxmd)(單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應(yīng)mxxkxxcxm1)0(, 0)0(0 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)即初始位移為零，而初始速度為1/m的自由振動temthtxdtdsin1)()(0解為無阻尼系統(tǒng)：tmthtx00s

28、in1)()(若單位脈沖力不是作用在時刻t = 0，而是作用在 時刻：如果系統(tǒng)在 時刻受到?jīng)_量為I0 的任意脈沖力作用，則系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示為：)(sin1)()(0temthdtd)()(0thItxtt單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)任意非周期激勵的響應(yīng)當處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力時，可以將激振力F(t) 看作一系列脈沖力的疊加對于時刻t =的脈沖力 其沖量為系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：并引起t 各個時刻的響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)在時間區(qū)間0 t 內(nèi)各個脈沖響應(yīng)的總和dF)(mdF)(dthFdx)()(

29、tdttddteFmdthFtx0)(0)(sin)(1)()()(0杜哈梅(Duhamel)積分單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)tdttddteFmdthFtx0)(0)(sin)(1)()()(0利用卷積性質(zhì)tdhtFtx0)()()(任意激勵力的響應(yīng)公式tddtdtddetFmdteFmtxnn00)()(sin)(1)(sin)(1)(單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)當t t0 時激振力已經(jīng)去除，此時系統(tǒng)將以時刻t =t0 時的位移和速度為初始條件做自由振動，稱為殘余振動.t t0 時的響應(yīng)可以求解如下先求得t =t0 時刻的位移和速度單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)另解一個自由度系統(tǒng)對矩形沖量的無阻尼響應(yīng)：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意非周期激勵的響應(yīng)