2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第十章 第三節(jié)坐標系 文

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1、 第三節(jié)　坐　標　系 知識梳理 一、平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換． 二、極坐標系的概念 1．極坐標系． 如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系． 注意：極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對

2、應(yīng)的關(guān)系，而極坐標系則不可．但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系． 2．極坐標． 設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角∠xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記作M(ρ，θ)． 一般地，不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． 特別地，當點M在極點時，它的極坐標為(0，θ)(θ∈R)，和直角坐標不同，平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示． 如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(ρ，θ)表示；同時，極坐標(ρ，θ)表示的點也是唯一確定的． 三、極坐

3、標和直角坐標的互化 1．互化條件：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖所示： 2．互化公式：設(shè)M是坐標平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是極坐標與直角坐標的互化公式如表： 點M 直角坐標(x，y) 極坐標(ρ，θ) 互化公式 在一般情況下，由tan θ確定角時，可根據(jù)點M所在的象限取最小正角． 四、常見曲線的極坐標方程 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點， 1 / 4 半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓

4、 ρ＝2rcos θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) 過極點，傾斜角為α的直線 (1) θ＝α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos θ＝a 過點，與 極軸平行的直線 ρsin θ＝a(0＜θ＜π) ,基礎(chǔ)自測 1．(2013韶關(guān)二模)在極坐標系中，過點A引圓ρ＝4sin θ的一條切線，則切線長為________． 解析：將點A化為直角坐標是A(0，－2)，圓的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0，圓心為(0,2)，半徑為2，點A到圓心的距離為4，所以切線長為

5、＝2. 答案：2 2．(2012粵西北九校聯(lián)考)在極坐標系中，過圓ρ＝4cos θ的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標方程是________________． 解析：圓的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0，圓心為(2,0)，過該點的直線的極坐標方程為ρcos θ＝2. 答案：ρcos θ＝2 3．(2013廣州二模)在極坐標系中，已知點A，點P是曲線ρsin2 θ＝4cos θ上任一點，設(shè)點P到直線ρcos θ＋1＝0的距離為d，則|PA|＋d的最小值為____________________________． 解析：ρsin2 θ＝4cos θ的直角坐標方程為y2＝4x，它是拋

6、物線，焦點為F(1,0)，準線為x＋1＝0，即直線ρcos θ＋1＝0，點A是直角坐標為A(0,1)．根據(jù)拋物線的定義，d＝|PF|，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝. 答案： 4．(2012南京模擬)已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，則曲線C1，C2交點的極坐標為________． 解析：聯(lián)立解方程組 ρ≥0，0≤θ<，解得即兩曲線的交點為2，. 答案：2， 1．(2013北京卷)在極坐標系中，點到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 解析：極坐標系中點對應(yīng)直角坐標系中坐標為(，1)，極坐

7、標系直線ρsin θ＝2對應(yīng)直角坐標系中直線方程為y＝2，所以點到直線y＝2的距離為d＝1. 答案：1 2．(2013天津卷)已知圓的極坐標方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點P的極坐標為，則|CP|＝__________________. 解析：由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ，化為直角坐標方程得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圓心C(2,0)，點P的直角坐標為P(2,2)． 由兩點間距離公式得|CP|＝2. 答案：2 1．在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是_

8、___________． 答案：(k∈Z) 2．(2012肇慶二模)在極坐標系中，曲線ρ＝2與cos θ＋sin θ＝0(0≤θ≤π)的交點的極坐標為________． 解析：(法一)將ρ＝2和cos θ＋sin θ＝0化為直角坐標方程為x2＋y2＝4和y＝－x，解得(舍去)或所以交點的直角坐標為(－，)．所以ρ＝2.因為點(－，2)在第二象限，所以θ＝， ∴交點的極坐標為. (法二)由cos θ＋sin θ＝0得tan θ＝－1，因為0≤θ≤π，所以θ＝，故交點的極坐標為. 答案： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！