2015屆高考數(shù)學總復習 基礎知識名師講義 第五章 第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和 文

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1、 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 1.理解等差數(shù)列的概念. 2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.,3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題. 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系. 知識梳理 一、等差數(shù)列的概念 1．定義：如果一個數(shù)列從第二項開始，每一項與前一項的差都是同一個常數(shù)，那么這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，記作數(shù)列，首項記作a1，公差記作d. 2．符號表示： an＋1－an＝d(n∈N*)． 二、通項公式 若數(shù)列為等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. 三、前n項和公式 Sn＝＝na1＋d. 四、等

2、差中項 如果三數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a和b的等差中項，即A＝. 五、等差數(shù)列的判定方法 1．定義法： an＋1－an＝d (常數(shù))(n∈N*)?是等差數(shù)列． 2．中項公式法： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?是等差數(shù)列． 3．通項公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))(n∈N*)?是等差數(shù)列． 4．前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))(n∈N*)?是等差數(shù)列． 六、用函數(shù)觀點認識等差數(shù)列 1．an＝dn＋a1－d，d≠0時是關于n的一次函數(shù)． 2．Sn＝n2＋n，d≠0時是關于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù)． 七、等差數(shù)列的重要性質 1 / 5

3、 1．在等差數(shù)列中，若p＋q＝m＋n，則有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，則有2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*，簡稱為下標和性質)． 2．在等差數(shù)列中，等距離取出若干項也構成一個等差數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等差數(shù)列，公差為kd. 3．若數(shù)列是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，那么Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)也成等差數(shù)列，公差為k2d. 基礎自測 1．(2013江門二模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3＋a11＝24，a4＝3，則{an}的公差是(　　) A．1　　　　 B．3 C．5 D．6

4、 解析：(法一)因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3＋a11＝24，a4＝3，利用等差數(shù)列的性質可得2a7＝24，所以a7＝12，d＝＝3. (法二)設等差數(shù)列的公差為d， ∵a3＋a11＝24，a4＝3，∴解得a1＝－6，d＝3，故選B. 答案：B 2．(2013寧夏銀川一中質檢)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為(　　) A. B． C．－ D．－ 解析：由等差數(shù)列的性質，得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π， ∴a7＝，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.故選D.

5、答案：D 3．(2013重慶卷)若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則c－a＝________. 解析：設等差數(shù)列2，a，b，c,9的公差為d，則9－2＝4d， 所以d＝，c－a＝2d＝2＝. 答案： 4．(2012南京二模)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和．若＝，則＝_____________________. 解析：設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則有＝，得a1＝2d，∴＝＝. 答案： 1．(2013安徽卷)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(　　) A．－6 B．－4 C．－

6、2 D．2 解析：由已知即解得a1＝10，d＝－2，所以a9＝a1＋8d＝－6.故選A. 答案：A 2．(2013四川卷)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＝8，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和． 解析：設該數(shù)列公差為d，前n項和為Sn，由已知可得， 2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)． 所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0， 解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3， 即數(shù)列{an}的首項為4，公差為0，或首項為1，公差為3. 所以，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n(n∈N*)或Sn＝

7、 (n∈N*)． 1．(2013汕頭一模)在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，則k＝(　　) A．45 B．46 C．47 D．48 解析：∵ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，∴a1＋(k－1)d＝10a1＋45d， ∵a1＝0，公差d≠0，∴(k－1)d＝45d，∴k＝46，故選B. 答案：B 2．(2013沈陽二中月考)已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)記bn＝的前n項和為Tn，求證：Tn＜

8、. (1)解析：∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12.∴a2＝4. 又∵2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，∴a＝2a1(a3＋1)， 即a＝2(a2－d)(a2＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)． ∴a1＝a2－d＝1.故an＝3n－2. (2)證明：bn＝＝＝(3n－2)， ∴Tn＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)，① Tn＝1＋4＋7＋…＋(3n－5)＋(3n－2).② ①－②得，Tn＝＋3＋3＋3＋…＋3－(3n－2)＝＋3－(3n－2)=－－(3n－2). ∴Tn＝－－＝－＜. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！