2015屆高考數(shù)學總復習 基礎知識名師講義 第七章 第七節(jié)雙曲線(一) 文

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1、 第七節(jié)　雙曲線(一) 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質. 2.理解數(shù)形結合的思想. 知識梳理 一、雙曲線的定義 我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，用符號表示為||AF1|－|AF2||＝2a，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距． 二、雙曲線的標準方程 當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，其中焦點坐標為F1(c,0)，F(xiàn)2(－c,0)，且c2＝a2＋b2； 當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為－＝

2、1(a＞0，b＞0)，其中焦點坐標為F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，且c2＝a2＋b2. 當且僅當雙曲線的中心在坐標原點，其焦點在坐標軸上時，雙曲線的方程才是標準形式． 三、雙曲線的幾何性質 方程 －＝1 －＝1 圖形 范圍 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對稱性 關于x軸、y軸及原點對稱 關于x軸、y軸及原點對稱 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－a)，B2(0，a) 離心率 e＝(e>1) e＝(e>1) 1 / 5 漸近線 y＝±x y＝±x a，b，c

3、 的關系 c2＝a2＋b2 c2＝a2＋b2 基礎自測 1．(2013·福建卷)雙曲線x2－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于(　　) A.　　　　　　 B. C．1 D. 解析：因為雙曲線的兩個頂點到兩條漸近線的距離都相等，故可取雙曲線的一個頂點為(1,0)，取一條漸近線為y＝x，所以點(1,0)到直線y＝x的距離為. 答案：B 2．(2013·北京東城區(qū))若雙曲線－＝1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝(　　) A.　 B．2 C．3　 D．6 解析：

4、雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，因為雙曲線的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，故圓心(3,0)到直線y＝±x的距離等于圓的半徑r，則r＝＝. 答案：A 3．過雙曲線x2－y2＝8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則△PF2Q的周長是____________． 答案：14＋8 4．設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|＝________. 解析：因為F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，所以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．

5、由題意知△F1PF2為直角三角形，∴|＋|＝2||＝|F1F2|＝2. 答案：2 1．(2013·遼寧卷)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． 解析：由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5， 所以點A(5,0)是雙曲線C的右焦點， 且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16， 由雙曲線定義，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6. 所以|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28， 因此△PQF的周長為|PF|＋|QF|＋|

6、PQ|＝28＋16＝44. 答案：44 2．(2013·湖南卷)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞b＞0)的兩個焦點．若在C上存在一點P.使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為______________． 解析： 在Rt△F1F2P，設2c＝|F1F2|＝2，則|PF2|＝1，|PF1|＝，得2a＝|PF1|－|PF2|＝－1，所以e＝＝＝＋1. 答案：＋1 1．(2013·江門一模)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1的焦距為8，則m＝________. 解析：因為在平面直角坐標系xOy中，雙

7、曲線－＝1的焦距為8，所以m＞0，焦點在x軸，所以a2＝m，b2＝m2＋4，所以c2＝m2＋m＋4，又雙曲線－＝1的焦距為8，所以：m2＋m＋4＝16，即m2＋m－12＝0，解得m＝3或m＝－4(舍)． 答案：3 2．(2013·韶關二模)設點P是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點，其中F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若tan∠PF2F1＝3，則雙曲線的離心率為__________． 解析：因為圓x2＋y2＝a2＋b2的半徑r＝＝c，所以|F1F2|是圓的直徑，所以∠F1PF2＝90°.依據(jù)雙曲線的定義：|PF1|－|PF2|＝2a，又因為在Rt△F1PF2中，tan∠PF2F1＝3，即|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在直角三角形F1PF2中由(3a)2＋a2＝(2c)2，得e＝＝. 答案： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！