【大師特稿】高考數(shù)學(xué)理熱點題型：解析幾何含答案

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5解析幾何解析幾何熱點一圓錐曲線的標準方程與幾何性質(zhì)圓錐曲線的標準方程是高考的必考題型， 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點，求離心率、準線、雙曲線的漸近線是?？碱}型.【例 1】(1)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一個焦點為 F(2，0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23 相切，則雙曲線的方程為()A.x29y2131B.x213y291C.x23y21D.x2y231(2)若點 M(2，1)，點 C 是橢圓x216y271 的右焦點，點 A 是橢圓的動點，則|AM|AC|的最小值為_.(3)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)與拋物線 y22p

2、x(p0)有相同的焦點 F，P，Q 是橢圓與拋物線的交點，若直線 PQ 經(jīng)過焦點 F，則橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率為_.答案(1)D(2)8 26(3) 21解析(1)雙曲線x2a2y2b21 的一個焦點為 F(2，0)，則 a2b24，雙曲線的漸近線方程為 ybax，由題意得2ba2b2 3，聯(lián)立解得 b 3，a1，所求雙曲線的方程為 x2y231，選 D.(2)設(shè)點 B 為橢圓的左焦點，點 M(2，1)在橢圓內(nèi)，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而 a4，|BM| （23）21 26，所以(|AM|AC|)最小8 26.(3)因為拋物線

3、 y22px(p0)的焦點 F 為p2，0，設(shè)橢圓另一焦點為 E.如圖所示，將xp2代入拋物線方程得 yp， 又因為PQ經(jīng)過焦點 F， 所以Pp2，p且PFOF.所以|PE|p2p22p2 2p，|PF|p，|EF|p.故 2a 2pp，2cp，e2c2a 21.【類題通法】(1)在橢圓和雙曲線中，橢圓和雙曲線的定義把曲線上的點到兩個焦點的距離聯(lián)系在一起，可以把曲線上的點到一個焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一個焦點的距離， 也可以結(jié)合三角形的知識，求出曲線上的點到兩個焦點的距離.在拋物線中，利用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為其到相應(yīng)準線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決有關(guān)的最值問題.(2)求解與圓

4、錐曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)的問題關(guān)鍵是建立圓錐曲線方程中各個系數(shù)之間的關(guān)系，或者求出圓錐曲線方程中的各個系數(shù)，再根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)通過代數(shù)方法進行計算得出結(jié)果.【對點訓(xùn)練】已知橢圓x24y221 的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，過 F1且傾斜角為45的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點，以下結(jié)論：ABF2的周長為 8；原點到 l的距離為 1；|AB|83.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0答案A解析由橢圓的定義， 得|AF1|AF2|4， |BF1|BF2|4， 又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2的周長為|AB|AF2|BF2|8，故正確；由條件，得 F1( 2，0)， 因為過

5、 F1且傾斜角為 45的直線 l 的斜率為 1， 所以直線 l 的方程為yx 2，則原點到 l 的距離 d| 2|21， 故正確； 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由yx 2，x24y221，得 3x24 2x0，解得 x10，x24 23，所以|AB| 11|x1x2|83，故正確.故選 A.熱點二圓錐曲線中的定點、定值問題定點、定值問題一般涉及曲線過定點、與曲線上的動點有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標等的定值問題.【例 2】已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為22，點(2， 2)在 C 上.(1)求 C 的方程；(2)直線 l 不過

6、原點 O 且不平行于坐標軸，l 與 C 有兩個交點 A，B，線段 AB 的中點為 M，證明：直線 OM 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值.(1)解由題意有a2b2a22，4a22b21，解得 a28，b24.所以 C 的方程為x28y241.(2)證明設(shè)直線 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).將 ykxb 代入x28y241 得(2k21)x24kbx2b280.故 xMx1x222kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直線 OM 的斜率 kOMyMxM12k，即 kOMk12.所以直線 OM 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值.【類題

7、通法】解答圓錐曲線中的定點、定值問題的一般步驟第一步：研究特殊情形，從問題的特殊情形出發(fā)，得到目標關(guān)系所要探求的定點、定值.第二步：探究一般情況.探究一般情形下的目標結(jié)論.第三步：下結(jié)論，綜合上面兩種情況定結(jié)論.【對點訓(xùn)練】已知拋物線 C：y22px(p0)的焦點 F(1，0)，O 為坐標原點，A，B是拋物線 C 上異于 O 的兩點.(1)求拋物線 C 的方程；(2)若直線 OA，OB 的斜率之積為12，求證：直線 AB 過 x 軸上一定點.(1)解因為拋物線 y22px(p0)的焦點坐標為(1，0)，所以p21，所以 p2.所以拋物線 C 的方程為 y24x.(2)證明當直線 AB 的斜率不

8、存在時，設(shè) At24，t，Bt24，t.因為直線 OA，OB 的斜率之積為12，所以tt24tt2412，化簡得 t232.所以 A(8，t)，B(8，t)，此時直線 AB 的方程為 x8.當直線 AB 的斜率存在時，設(shè)其方程為 ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立得y24x，ykxb，化簡得 ky24y4b0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 yAyB4bk， 因為直線 OA， OB 的斜率之積為12， 所以yAxAyBxB12，即 xAxB2yAyB0.即y2A4y2B42yAyB0，解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32.所以 yAyB4bk32，即 b8k，所以 ykx8k，即 y

9、k(x8).綜上所述，直線 AB 過定點(8，0).熱點三圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時求解與之有關(guān)的一些問題.【例 3】平面直角坐標系 xOy 中，橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率是32，拋物線 E：x22y 的焦點 F 是 C 的一個頂點.(1)求橢圓 C 的方程；(2)設(shè) P 是 E 上的動點，且位于第一象限，E 在點 P 處的切線 l 與 C 交于不同的兩點 A，B，線段 AB 的中點為 D.直線 OD 與過 P 且垂直于 x 軸的直線

10、交于點 M.求證：點 M 在定直線上；直線 l 與 y 軸交于點 G，記PFG 的面積為 S1，PDM 的面積為 S2，求S1S2的最大值及取得最大值時點 P 的坐標.(1)解由題意知a2b2a32，可得 a24b2，因為拋物線 E 的焦點 F0，12 ，所以 b12，a1，所以橢圓 C 的方程為 x24y21.(2)證明設(shè) Pm，m22 (m0)，由 x22y，可得 yx，所以直線 l 的斜率為 m，因此直線 l 的方程為 ym22m(xm).即 ymxm22.設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).聯(lián)立方程x24y21，ymxm22，得(4m21)x24m3xm410.由

11、0，得 0m 2 5(或 0m22 5).(*)且 x1x24m34m21， 因此 x02m34m21， 將其代入 ymxm22， 得 y0m22（4m21），因為y0 x014m.所以直線 OD 方程為 y14mx，聯(lián)立方程y14mx，xm，得點 M 的縱坐標 yM14，所以點 M 在定直線 y14上.由知直線 l 的方程為 ymxm22，令 x0，得 ym22，所以 G0，m22 ，又 Pm，m22 ，F(xiàn)0，12 ，D2m34m21，m22（4m21） ，所以 S112|GF|m（m21）m4，S212 |PM| |m x0| 122m2142m3m4m21m（2m21）28（4m21）.

12、 所 以S1S22（4m21） （m21）（2m21）2.設(shè) t2m21，則S1S2（2t1） （t1）t22t2t1t21t21t2，當1t12，即 t2 時，S1S2取到最大值94，此時 m22，滿足(*)式，所以 P 點坐標為22，14 .因此S1S2的最大值為94，此時點 P 的坐標為22，14 .【類題通法】圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、或利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系、利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式等方法求最值、范圍；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓

13、錐曲線幾何意義求最值.【對點訓(xùn)練】如圖，設(shè)拋物線 y22px(p0)的焦點為 F，拋物線上的點 A 到 y 軸的距離等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直線 AF 交拋物線于另一點 B，過 B 與 x 軸平行的直線和過 F 與 AB 垂直的直線交于點 N，AN 與 x 軸交于點 M，求 M 的橫坐標的取值范圍.解(1)由題意可得，拋物線上點 A 到焦點 F 的距離等于點 A 到直線 x1 的距離，由拋物線的定義得p21，即 p2.(2)由(1)得，拋物線方程為 y24x，F(xiàn)(1，0)，可設(shè) A(t2，2t)，t0，t1.因為 AF 不垂直于 y 軸，可設(shè)直線 AF：xsy1(s0)，由

14、y24x，xsy1消去 x 得 y24sy40.故 y1y24，所以 B1t2，2t .又直線 AB 的斜率為2tt21，故直線 FN 的斜率為t212t，從而得直線 FN：yt212t(x1)，直線 BN：y2t.所以 Nt23t21，2t .設(shè) M(m，0)，由 A，M，N 三點共線得2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m2t2t21，所以 m0 或 m2.經(jīng)檢驗，m0 或 m2 滿足題意.綜上，點 M 的橫坐標的取值范圍是(，0)(2，).熱點四圓錐曲線中的探索性問題圓錐曲線的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)探索點是否存在；(2)探索曲線是否存在； (3)探索命題是否成立.

15、涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題.【例 4】已知橢圓 C：9x2y2m2(m0)，直線 l 不過原點 O 且不平行于坐標軸，l 與 C 有兩個交點 A，B，線段 AB 的中點為 M.(1)證明：直線 OM 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值；(2)若 l 過點m3，m，延長線段 OM 與 C 交于點 P，四邊形 OAPB 能否為平行四邊形？若能，求此時 l 的斜率；若不能，說明理由.(1)證明設(shè)直線 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).將 ykxb 代入 9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故 xMx1x22kb

16、k29，yMkxMb9bk29.于是直線 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直線 OM 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值.(2)解四邊形 OAPB 能為平行四邊形.因為直線 l 過點m3，m， 所以 l 不過原點且與 C 有兩個交點的充要條件是 k0， k3.由(1)得 OM 的方程為 y9kx.設(shè)點 P 的橫坐標為 xP，由y9kx，9x2y2m2得 x2Pk2m29k281，即 xPkm3 k29.將點m3，m的坐標代入 l 的方程得 bm（3k）3，因此 xMk（k3）m3（k29）.四邊形 OAPB 為平行四邊形當且僅當線段 AB 與線段 OP 互相平分，即 xP2

17、xM.于是km3 k292k（k3）m3（k29），解得 k14 7，k24 7.因為 ki0，ki3，i1，2，所以當 l 的斜率為 4 7或 4 7時，四邊形 OAPB為平行四邊形.【類題通法】(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.【對點訓(xùn)練】在平面直角坐標系 xOy 中，過點 C(2，0)的直線與拋物線 y24x 相交于

18、A，B 兩點，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求證：y1y2為定值；(2)是否存在平行于 y 軸的定直線被以 AC 為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長；如果不存在，說明理由.(1)證明法一當直線 AB 垂直于 x 軸時，y12 2，y22 2.因此 y1y28(定值).當直線 AB 不垂直于 x 軸時，設(shè)直線 AB 的方程為 yk(x2)，由yk（x2） ，y24x，得 ky24y8k0.y1y28.因此有 y1y28 為定值.法二設(shè)直線 AB 的方程為 myx2，由myx2，y24x，得 y24my80.y1y28.因此有 y1y28 為定值.(2)解設(shè)存在直線 l：xa 滿足條件，則 AC 的中點 Ex122，y12 ，|AC| （x12）2y21.因此以 AC 為直徑的圓的半徑r12|AC|12（x12）2y2112x214，又點 E 到直線 xa 的距離 d|x122a|故所截弦長為2 r2d2214（x214）x122a2 x214（x122a）2 4（1a）x18a4a2.當 1a0，即 a1 時，弦長為定值 2，這時直線方程為 x1.