專題45 弦切互化法求三角函數(shù)值(解析版)

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1、 專題45 弦切互化法求三角函數(shù)值 一、單選題 1．（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 運(yùn)用誘導(dǎo)公式、兩角和差公式及輔助角公式化簡得解 【詳解】 ． 故選B． 【點(diǎn)睛】 熟練掌握誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、輔助角公式是解題關(guān)鍵. 2．已知，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用商數(shù)關(guān)系式弦化切，再代入可解得結(jié)果. 【詳解】 . 故選：B 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：弦化切是求解關(guān)鍵. 3．在△ABC中，若，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析

2、】 在△ABC中，化簡條件可得，，再利用基本不等式求得的最小值，求得的最小值，可得的最大值. 【詳解】 在△ABC中，， 即， 化簡可得：， 所以， 即， 所以， 顯然同號(hào)，又在△ABC中，最多有一個(gè)小于， 所以均為正數(shù)， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)； 又， 所以， 所以， 則的最大值為. 故選：B. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：先利用三角函數(shù)的恒等變換，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的余弦公式得到，再利用基本不等式得到的最值，最后利用. 4．已知，則（ ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】 先利用兩角和的正切公式對已知條件化簡求出

3、的值，再將要求的代數(shù)式分子分母同除以轉(zhuǎn)化為正切，將的值代入即可求解. 【詳解】 ，則， 故選：D. 5．已知，則的值為（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】 根據(jù)題中條件，由切化弦，將所求式子化簡整理，即可得出結(jié)果. 【詳解】 ， ， 故選：D. 6．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由已知條件求得，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值. 【詳解】 由題意可知，點(diǎn)在直線上，則，可得， 因此，. 故選：D. 7．設(shè)為第四象限角，且，

4、則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由題意可求得，則，從而，由此解得，再切化弦結(jié)合誘導(dǎo)公式求出答案． 【詳解】 解：∵，① ∴兩邊同時(shí)平方得， ∴， ∴，即， 又為第四象限角， ∴，② 聯(lián)立①②解得， ∴， 故選：C． 8．已知向量，，若，則（ ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式有，可求，再將目標(biāo)式化弦為切求值. 【詳解】 由題意知：， ∴，即， ∴， 故選：C 【點(diǎn)睛】 本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，應(yīng)用化弦為切求三角函數(shù)式的值，屬于基礎(chǔ)題. 9．已知，則（

5、 ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】 巧用“1”，化弦為切，由已知可得解. 【詳解】 故選:D 【點(diǎn)睛】 本題關(guān)鍵在于化弦為切，屬于基礎(chǔ)題. 10．已知平面向量，若，則（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】 由已知條件，有數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而求得 【詳解】 ． 又 ，即 故選：C 【點(diǎn)睛】 本題考查了向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式，利用向量的垂直關(guān)系，并應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，求正切值 11．已知，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用弦化切化簡，再代入，計(jì)算

6、得結(jié)果. 【詳解】 故選：A 【點(diǎn)睛】 本題考查弦化切，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 12．已知，，則（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】 應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角差的正余弦公式展開目標(biāo)式為，結(jié)合題設(shè)已知條件求得，即可求的值 【詳解】 ∵， ∴ 即 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角函數(shù)，應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角差正余弦公式求三角函數(shù)值，首先由同角函數(shù)關(guān)系將切化弦的形式，再由兩角差正余弦公式展開，最后結(jié)合已知條件求函數(shù)值 13．已知，（ ） A． B． C．－1 D． 【答案】D 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡

7、，再由弦化切即可求值. 【詳解】 . 故選：D 【點(diǎn)睛】 本題考查了應(yīng)用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，屬于簡單題. 14．已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用誘導(dǎo)公式，可求出的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，即可得答案. 【詳解】 因?yàn)?，? 所以， 所以， 所以， 故選：D 【點(diǎn)睛】 本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題. 15．若，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先弦化切，再解方程求得，最后利用二倍角的正切公式求解即可. 【詳解】 因

8、為 所以 解得 可得 故選：B. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，以及二倍角的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 16．若，則tan α的值為（ ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 由同角三角函數(shù)關(guān)系，有結(jié)合題干條件，列方程求tan α 【詳解】 ∴，解得 故選：D 【點(diǎn)睛】 本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，將正余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)，結(jié)合已知條件列方程求正切函數(shù)值 17．已知 ，則（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】 分子分母同時(shí)除以即可得，代入即可求值. 【詳解

9、】 解：， 故選:C. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題. 18．設(shè)是第三象限角，且，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用弦切互化得到方程，解方程得到的正切值，由所在象限及同角三角函數(shù)關(guān)系得到正余弦值，進(jìn)而求得 【詳解】 ∵ ∴且是第三象限的角 由同角三角函數(shù)關(guān)系，得， ∴ 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角恒等變換的兩角和的正弦公式，弦切互化及同角三角函數(shù)關(guān)系求三角函數(shù)值 19．已知是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)且，則的值（ ） A． B． C． D． 【答案】A

10、 【分析】 由三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而可得，，弦化切，代入即可得出結(jié)果. 【詳解】 由題意得，解得． 又是第二象限角， ． ． ∴． 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角函數(shù)的定義，考查了運(yùn)算求解能力，屬于一般題目. 20．計(jì)算（ ）． A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】 切化弦后根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡即可求值. 【詳解】 ． 故選：C 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了三角恒等變形，涉及二倍角公式，兩角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，屬于中檔題. 21．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】

11、 利用誘導(dǎo)公式、正弦的倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于正切的代數(shù)式，代值計(jì)算即可. 【詳解】 ， 而 ， 且 ， 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題考查利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、正弦的倍角公式化簡求值，屬于中檔題. 二、多選題 22．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則下列命題中正確的是（ ） A．函數(shù)在上是減函數(shù) B．若，則 C．函數(shù)，則的最大值 D． 【答案】BD 【分析】 由正矢和余矢的定義講四個(gè)選項(xiàng)中的已知條件化簡，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可

12、判斷選項(xiàng)A，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化弦為切可判斷選項(xiàng)B，利用誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C、D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng). 【詳解】 由正矢和余矢的定義可得： 對于選項(xiàng)A： 所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； 對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋? 則 ，所以B正確； 對于選項(xiàng)C： 所以則的最大值，故選項(xiàng)C不正確， 對于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D正確； 故選：BD 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是讀懂三角函數(shù)正矢和余矢的定義，能將已知條件化簡，能熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式，，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系齊次式化弦為切，屬于中檔題. 三、填空題 23．已知，則的值為___________．

13、【答案】 【分析】 由已知求得，再運(yùn)用切化弦公式和誘導(dǎo)公式可得答案. 【詳解】 因?yàn)椋?，所以，解得? 又，所以， 故答案為：. 24．已知tanα＝2，則 ＝__. 【答案】 【分析】 弦化切可求得結(jié)果. 【詳解】 . 故答案為： 25．已知sinθ＋cosθ＝，則tanθ＋的值是____________________. 【答案】 【分析】 先通過已知求出，再化簡tanθ＋即得解. 【詳解】 由sinθ＋cosθ＝得. tanθ＋. 故答案為： 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是把sinθ＋cosθ＝兩邊平方得到. 26．已知tanα＝3

14、，則sin2α﹣cos2α＝_____． 【答案】 【分析】 根據(jù)以及，進(jìn)行弦化且可得結(jié)果. 【詳解】 因?yàn)椋? 所以 . 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查了平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題 27．已知tanα＝2tan，則＝_____． 【答案】3 【分析】 由誘導(dǎo)公式對原式化簡，用兩角和差公式展開，分子分母同除，即可得結(jié)果. 【詳解】 故答案為：3 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角恒等變換等基本數(shù)學(xué)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目. 28．若，則__________. 【答案】 【分析】 根據(jù)同角公式得到，再根據(jù)

15、二倍角公式得到，將所求式子用表示即可得到結(jié)果. 【詳解】 ，，則. . 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查了同角公式、誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦、正切公式，屬于基礎(chǔ)題. 四、解答題 29．（1）若，求、； （2）若，求的值. 【答案】（1）答案見解析；（2）. 【分析】 （1）分為第二象限角和第三象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得、的值； （2）在所求分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切思想可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 （1），則角為第二象限角或第三象限角. 若角為第二象限角，則，； 若角為第三象限角，則，. 綜上所述，若角為第二象

16、限角，，； 若角為第三象限角，則，； （2），. 30．（1）已知方程，的值． （2）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由已知利用誘導(dǎo)公式化簡得到的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡為含有的形式，代入即可； （2）由根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，結(jié)合的范圍求出，進(jìn)一步求出，即可求的值． 【詳解】 解：（1）由得：， 即， ， ； （2），是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根， ， 解得：， 又， ， ， 即， 解得：， ， . 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是化弦為切. 31．（1）已知，求

17、的值． （2）已知直線l過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）求出，弦化切得解； （2）設(shè)點(diǎn)斜式方程，利用三角形公式求得斜率得解. 【詳解】 （1），，分子分母同除以，得； （2）顯然，直線l與兩坐標(biāo)軸不垂直，否則不構(gòu)成三角形， 設(shè)的斜率為，則，則的方程為． 令，得；令，得． 于是直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，即，解得或． ∴l(xiāng)的方程為，或． 即或． 【點(diǎn)睛】 本題第1小題考查弦化切運(yùn)算，第2小題考查點(diǎn)斜式直線方程，屬于基礎(chǔ)題. 32．計(jì)算：已知，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】

18、（1）1；（2）2． 【分析】 （1）已知式分子分母同除以后可解得值； （2）代數(shù)式看作分母為1的分式，然后分子與分母中的1都用代換化為關(guān)于的二次齊次分式，然后弦化切代入計(jì)算． 【詳解】 解 （1）同除有，解得：． （2） ． 【點(diǎn)睛】 本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查弦切互化．屬于基礎(chǔ)題． 33．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再將弦化為切，代入即可得解； （2）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡，代入的值可得答案. 【詳解】 （1）由角的終

19、邊經(jīng)過點(diǎn)，可知， 則. （2）根據(jù)三角函數(shù)的定義可得， 所以 . 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角函數(shù)的定義，考查了同角公式，考查了誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題. 34．（1）已知，計(jì)算 的值 . （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）把轉(zhuǎn)化成正切則可求. （2）的分母看成1，用平方關(guān)系代換1，再轉(zhuǎn)化成正切即可. 【詳解】 解：（1）∵ ∴ ∴原式=. （2） = =. 【點(diǎn)睛】 已知三角函數(shù)值求函數(shù)值，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，基礎(chǔ)題. 35．

20、已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再弦化切，解得結(jié)果； （2）先弦化切，再代入切的值求解. 【詳解】 （1） ，∴； （2）原式分子分母同除以得： 原式 ． 【點(diǎn)睛】 本題考查誘導(dǎo)公式、弦化切，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 36．求值：. 【答案】1 【分析】 將所求關(guān)系式中的正切和余切化為正弦和余弦，通分，逆用二倍角的正弦及和兩角和差正余弦和差公式即可求出答案. 【詳解】 解：原式的分子 ， 原式的分母 ， 所以原式. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，將所求

21、關(guān)系式的正余切化為正余弦函數(shù)后通分是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題. 37．設(shè)，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)二倍角的余弦公式以及變形，再弦化切可求得結(jié)果； （2）由求出，由求出，再根據(jù)以及兩角差的余弦公式可得結(jié)果. 【詳解】 （1）， ∴. （2）∵，∴，， ，∵，，∴. ∴. ∴. 【點(diǎn)睛】 本題考查了同角公式，考查了二倍角的余弦公式，考查了兩角差的余弦公式，屬于中檔題. 38．已知． （1）求﹔ （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）-2. 【分析】 （1）已知等式分子分

22、母同除以化為后可解得； （2）由，利用兩角和的正切公式計(jì)算． 【詳解】 （1）因?yàn)椋裕? （2）． 【點(diǎn)睛】 本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系：商數(shù)關(guān)系，考查兩角和的正切公式，解題時(shí)要先確定已知角和未知角的關(guān)系，再確定選用的公式． 五、雙空題 39．若，則________；________. 【答案】 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式即可求解. 【詳解】 由，則， 所以， . 故答案為：； 40．已知=2，則tanx=____，sinxcosx=____. 【答案】3 【分析】 將=2中，分子分母同除以，即可得到；，將的值帶入即可得到答案. 【詳解】 因?yàn)?2，所以，解得， . 故答案為：； 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，涉及到構(gòu)造齊次式求式子的值，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.