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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
圓錐曲線的綜合問(wèn)題
1.若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則________.
2.已知圓O：和點(diǎn)A（1，2），則過(guò)A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形
的面積等于
3.過(guò)雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為
A，B，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線線C的離心率為 ______
4、橢圓的弦被點(diǎn)所平分，則此弦所在的直線的方程為
5.已知、是橢圓（＞＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=__________
2、__.
6. 已知拋物線與圓相交于、、、四點(diǎn)。
（1）求得取值范圍；
（2）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)
7. 如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢
圓的左頂點(diǎn). （1）求圓的半徑;
（2）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線與圓相切．
G
．
8. 設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀; w.w.w.k.s.5
3、.u.c.o.m
（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,
且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程.
9.已知雙曲線的離心率為，其焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓
上，求m的值.
10.已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條漸近線為,設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線的斜率為。(1)求雙曲線C的方程；
(2)若過(guò)原點(diǎn)的直線，且與l的距離為，求的值；
4、
11.中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為.
（1）求橢圓的方程;（2）求弦長(zhǎng)。
12.已知，橢圓C以過(guò)點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（－1，0）（1，0）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的
斜率為定值，并求出這個(gè)定值。
13.已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程；
5、
（2）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)
線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．
14.已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．
（1）求與的值；
（2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)．若是的切線，求的最小值．
圓錐曲線的綜合問(wèn)題參考答案
1. 解析:由已知，兩個(gè)圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ，利用圓心（0，0）到
直線的距離d為，解得1
2. 解析：由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐
6、標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。
3.解: ,
5.解析:依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
6:分析：（1）這一問(wèn)學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)
立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）
拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)的充要
條件是：方程（＊）有兩個(gè)不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)
和方程的思想來(lái)處理也可以．
（2）考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的 方
法處理本小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn)．
設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、。
則由（1）根據(jù)韋達(dá)定理有，
則
7、
令，則 下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問(wèn)題有時(shí)很方
便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號(hào)的條件，這和二次均值類似。
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。
方法二：利用求導(dǎo)處理，這是命題人的意圖。具體解法略。
下面來(lái)處理點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：
由三點(diǎn)共線，則得。以下略。
7.解: （1）設(shè)，過(guò)圓心作于,交長(zhǎng)軸于
由得, 即 (1)
而點(diǎn)在橢圓上, (2)
由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）
8、
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為: (3)
則,即 (4) 解得
將(3)代入得,則異于零的解為
設(shè),，則
則直線的斜率為：
于是直線的方程為: 即
則圓心到直線的距離
8.解:（1）因?yàn)?,
所以, 即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為; 當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓；
當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.
(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,
解方程組得,即,
要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使△=,
即,即, 且
9、
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或
也滿足.
綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)
交點(diǎn)A,B,且.
9.解：設(shè)雙曲線C的半焦距為
（1）由題意，得，解得，
∴，∴所求雙曲線的方程為.
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為，
由得（判別式）,
∴,
∵點(diǎn)在圓上， ∴，∴.
10解:（1）設(shè)雙曲線的方程為
，解額雙曲線的方程為
（2）直線，直線
由題意，得，解得
10、
11.解：法一（點(diǎn)差法）
法二：（1）設(shè)橢圓的方程為
由消去并整理得
設(shè)橢圓與直線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，由韋達(dá)定理得
由弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為得即（1）.
由橢圓焦點(diǎn)為F1（0，）得（2）
由（1）、（2）解得、故所求的方程為
（2）由弦長(zhǎng)公式得
12.解：（1）由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為
因?yàn)锳在橢圓上，所以, 解得＝3，＝（舍去）。
所以橢圓方程為 ． ．．．．．．4分
（2）設(shè)直線ＡＥ方程：得，代入得
設(shè)Ｅ（，），Ｆ（，）．因?yàn)辄c(diǎn)Ａ（1，）在橢圓上，所以
11、 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得
， 。
所以直線EF的斜率。
即直線EF的斜率為定值，其值為。
13.解析：（1）由題意得所求的橢圓方程為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，
設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；
當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．
14.解析（1）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義
點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得
拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得
（2）由題意知，過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。
則，當(dāng) 則。
聯(lián)立方程，整理得：
即：，解得或
，而，直線斜率為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
，聯(lián)立方程
整理得：，即：
，解得：，或
，
而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：
MN是拋物線的切線，， 整理得
，解得（舍去），或，
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 圓錐曲線的綜合問(wèn)題
