高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點點睛系列專題 概率與統(tǒng)計理科學(xué)生版
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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 概率與統(tǒng)計 一、高考預(yù)測 計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分是高中數(shù)學(xué)中使用課時最多的一個知識板塊,高考對該部分的考查分值也較多.從近幾年的情況看,該部分考查的主要問題是排列組合應(yīng)用問題,二項式定理及其簡單應(yīng)用,隨機抽樣,樣本估計總體,線性回歸分析,獨立性檢驗,古典概型,幾何概型,事件的獨立性,隨機變量的分布、期望和方差,正態(tài)分布的簡單應(yīng)用,在試卷中一般是2~3個選擇題、填空題,一個解答題,試題難度中等或者稍易.預(yù)計20xx年該部分的基本考查方向還是這樣,雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新,但考查的基本點不
2、會發(fā)生大的變化.計數(shù)原理、概率統(tǒng)計部分的復(fù)習(xí)要從整體上,從知識的相互關(guān)系上進行.概率試題的核心是概率計算,其中事件之間的互斥、對立和獨立性是概率計算的核心,排列組合是進行概率計算的工具,在復(fù)習(xí)概率時要抓住概率計算的核心和這個工具;統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布,反映樣本數(shù)據(jù)的方法:樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖,得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機抽樣,在復(fù)習(xí)統(tǒng)計部分時,要緊緊抓住這些圖表和方法,把圖表的含義弄清楚,這樣剩下的問題就是有關(guān)的計算和對統(tǒng)計思想的理解,如樣本均值和方差的計算,用樣本估計總體等. 二、知識導(dǎo)學(xué) (4)解決概率問題要注意“四個步驟,一個結(jié)合”:
3、求概率的步驟是:第一步,確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步,判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件.第三步,運用公式求解第四步,答,即給提出的問題有一個明確的答復(fù). (1)二項分布 次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量,其所有可能的取值為0,1,2,…n,并且,其中,,隨機變量的分布列如下: 0 1 … … P … 稱這樣隨機變量服從二項分布,記作,其中、為參數(shù),并記:. (2) 幾何分布 在獨立重復(fù)試驗中,某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取
4、值為正整數(shù)的離散型隨機變量,“”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生. 隨機變量的概率分布為: 1 2 3 … k … P p qp … … 要點3 離散型隨機變量的期望與方差 要點4 抽樣方法與總體分布的估計 3.分層抽樣:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時,常將總體分成幾部分,然后按照各部分所占的比進行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣. 要點5 正態(tài)分布與線性回歸 1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì) 2.線性回歸 簡單的說,線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法. 變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型:確定性的函數(shù)關(guān)系和不確
5、定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗公式.具體說來,對n個樣本數(shù)據(jù)(),(),…,(),其回歸直線方程,或經(jīng)驗公式為:.其中,其中分別為||、||的平均數(shù). 三、易錯點點睛 【易錯點2】二項式展開式中的項的系數(shù)與二項式系數(shù)的概念掌握不清,容易混淆,導(dǎo)致出錯 1、在的展開式中,的系數(shù)為 ,二項式系數(shù)為 。 【易錯點分析】在通項公式中,是二項式系數(shù),是項的系數(shù)。 解析:令,得,則項的二項式系數(shù)為,項的系數(shù)為。 【知識點歸類點撥】在二項展開式中,利用通
6、項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題,其通常做法就是確定通項公式中r的取值或取值范圍,須注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 2、如果的展開式中各項系數(shù)之和為128,則展開式中的系數(shù)是( ) (A)7 (B) (C)21 (D) 解析:當(dāng)時即,根據(jù)二項式通項公式得 時對應(yīng),即故項系數(shù)為. 【知識點歸類點撥】在的展開式中,系數(shù)最大的項是中間項,但當(dāng)a,b的系數(shù)不為1時,最大系數(shù)值的位置不一定在中間,可通過解不等式組來確定之 2.在二項式的展開式中,系數(shù)最小的項的系數(shù)為 。(結(jié)果用數(shù)值表
7、示) 解析:展開式中第r+1項為,要使項的系數(shù)最小,則r為奇數(shù),且使為最大,由此得,所以項的系數(shù)為。 (1) 在問題(3)的基礎(chǔ)上,再分配即可,共有分配方式種。 【知識點歸類點撥】本題是有關(guān)分組與分配的問題,是一類極易出錯的題型,對于此類問題的關(guān)鍵是搞清楚是否與順序有關(guān),分清先選后排,分類還是分步完成等,對于平均分組問題更要注意順序,避免計算重復(fù)或遺漏。 2.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師,派到三個班擔(dān)任班主任(每班一位班主任),要求這三位班主任中男、女教師都要有,則不同的選派方法共有( ) A、 210種 B、420種 C、630種 D、840種 解析:首先選擇
8、3位教師的方案有:①一男兩女;計;②兩男一女:計=40。 其次派出3位教師的方案是=6。故不同的選派方案共有種。 (3)甲、乙2人先排好,共有種排法;再從余下的5人中選三人排在甲、乙2人中間,有種排法,這時把已排好的5人看作一個整體,與剩下的2人再排,又有種排法;這樣,總共有種不同的排法。 【易錯點6】二項式展開式的通項公式為,事件A發(fā)生k次的概率:二項分布列的概率公式:,三者在形式上的相似,在應(yīng)用容易混淆而導(dǎo)致出錯。 1.某同學(xué)參加科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得—100分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相
9、互之間沒有影響。(1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望。(2)求這名同學(xué)總得分不為負分(即)的概率。 解析:(1)的可能取值為—300,—100,100,300。 所以的概率分布為 —300 —100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 根據(jù)的概率分布,可得的期望 (2)這名同學(xué)總得分不為負分的概率為 。 從而的分布列為 0 1 2 3 4 P (2)。 【知識點歸類點撥】在正態(tài)分布中,為總體的平均數(shù),為總體的標(biāo)準(zhǔn)差,另外,正態(tài)分布在的概率為,在內(nèi)取
10、值的概率為。解題時,應(yīng)當(dāng)注意正態(tài)分布在各個區(qū)間的取值概率,不可混淆,否則,將出現(xiàn)計算失誤。 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1、一籠子中裝有2只白貓,3只黑貓,籠門打開每次出來一只貓,每次每只貓都有可能出來。(Ⅰ)第三次出來的是只白貓的概率;(Ⅱ)記白貓出來完時籠中所剩黑貓數(shù)為,試求的概率分布列及期望。 2、深圳市某校中學(xué)生籃球隊假期集訓(xùn),集訓(xùn)前共有6個籃球,其中3個是新球(即沒有用過的球), 3 個是舊球(即至少用過一次的球).每次訓(xùn)練,都從中任意取出2 個球,用完后放回.(Ⅰ)設(shè)第一次訓(xùn)練時取到的新球個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)求第二次訓(xùn)練時恰好取到一個新球的概率. 5、某學(xué)生參加跳高和
11、跳遠兩項體育測試,測試評價設(shè)三個等級,如果他這兩項測試得到的概率分別依次為和。(Ⅰ)求該學(xué)生恰好得到一個和一個的概率;(Ⅱ)如果得到一個記15分,一個記10分,一個記5分,設(shè)該學(xué)生這兩項測試得分之和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望。 6、某電視臺有A、B兩種智力闖關(guān)游戲,甲、乙、丙、丁四人參加,其中甲乙兩人各自獨立進行游戲A,丙丁兩人各自獨立進行游戲B.已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為,丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為.(Ⅰ)求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率;(Ⅱ) 記游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為,求的分布列和期望. 7、盒內(nèi)有大小相同的9個球,其中2個紅色球,3個白
12、色球,4個黑色球. 規(guī)定取出1個紅色球得1分,取出1個白色球得0分,取出1個黑色球得-1分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球(Ⅰ)求取出的3個球中至少有一個紅球的概率;(Ⅱ)求取出的3個球得分之和恰為1分的概率;(Ⅲ)設(shè)為取出的3個球中白色球的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 8、如圖3,兩點之間有條網(wǎng)線連接,它們能通過的最大信息量分別為. 從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量, 設(shè)這三條網(wǎng)線通過的最大信息量之和為 (Ⅰ)當(dāng)時,則保證線路信息暢通,求線路信息暢通的概率; (Ⅱ)求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 11、20xx年2月份,從銀行房貸部門得到好消息,首套住房貸款利率將回歸基準(zhǔn)利率.
13、 某大型銀行在一個星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計如圖所示: ⑴求在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年限(取過剩近似整數(shù)值);⑵從本周內(nèi)該銀行所借貸客戶中任意選取兩位,求他們貸款年限相同的概率; ⑶假設(shè)該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù)10個星期不變,在這段時間里,每星期都從借貸客戶中選出一人,記表示其中貸款年限不超過20年得人數(shù),求. 12、為增強市民節(jié)能環(huán)保意識,某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示.(Ⅰ)頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并在答題卡中補全頻率分布直方圖(如圖),再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者
14、中年齡在[30,35)歲的人數(shù);(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場的宣傳活動,從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 分組(單位:歲) 頻數(shù) 頻率 [20,25) 5 0.05 [25,30) ① 0.20 [30,35) 35 ② [35,40) 30 0.30 [40,45] 10 0.10 合計 100 1.00 13、某高校在20xx年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成
15、績,按成績共分五組,得到頻率分布表如下表所示。 14、空氣質(zhì)量指數(shù)(單位:)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,就代表空氣污染越嚴(yán)重: 日均濃度 空氣質(zhì)量級別 一級 二級 三級 四級 五級 六級 空氣質(zhì)量類別 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染 某市年月日—月日(天)對空氣質(zhì)量指數(shù)進行監(jiān)測,獲得數(shù)據(jù)后得到如下條形圖:(Ⅰ)估計該城市一個月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的概率; (Ⅱ)在上述個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取個,設(shè)為空氣 質(zhì)量類別為優(yōu)的天數(shù),求的分布列. 級別 O 5
16、 16 8 天數(shù) 4 2 10 15 15、戶外運動已經(jīng)成為一種時尚運動,某單位為了了解員工喜歡戶外運動是否與性別有關(guān),對本單位的50名員工進行了問卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表: 喜歡戶外運動 不喜歡戶外運動 合計 男性 5 女性 10 合計 50 已知在這50人中隨機抽取1人抽到喜歡戶外運動的員工的概率是.(Ⅰ)請將上面的列聯(lián)表補充完整;(Ⅱ)是否有99.5﹪的把握認為喜歡戶外運動與性別有關(guān)?并說明你的理由;(Ⅲ)經(jīng)進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn),在喜歡戶外運動的10名女性員工中,有4人還喜歡瑜伽.若從喜歡戶外運動的10位女性員工中任
17、選3人,記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表僅供參考: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 () 喜歡戶外運動 不喜歡戶外運動 合計 男性 20 5 25 女性 10 15 25 16、在某醫(yī)學(xué)實驗中,某實驗小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系,選取六只實驗動物進行血檢,得到如下資料: 動物編號 1 2 3 4 5 6 用藥量x(單位)
18、 1 3 4 5 6 8 抗體指標(biāo)y (單位) 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3 記為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差,若抗體指標(biāo)落在內(nèi)則稱該動物為有效動物,否則稱為無效動物.研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只,用剩下的四只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的兩只動物數(shù)據(jù)進行檢驗. 17、一個盒子裝有六張卡片,上面分別寫著如下六個定義域為的函數(shù):,,,,,. (1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù),求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率;(2)現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進行,求抽取次數(shù)的分
19、布列和數(shù)學(xué)期望. 18、“肇實,正名芡實,因肇慶所產(chǎn)之芡實顆粒大、藥力強,故名?!蹦晨蒲兴鶠檫M一步改良肇實,為此對肇實的兩個品種(分別稱為品種A和品種B)進行試驗.選取兩大片水塘,每大片水塘分成n小片水塘,在總共2n小片水塘中,隨機選n小片水塘種植品種A,另外n小片水塘種植品種B. (1)假設(shè)n=4,在第一大片水塘中,種植品種A的小片水塘的數(shù)目記為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)試驗時每大片水塘分成8小片,即n=8,試驗結(jié)束后得到品種A和品種B在每個小片水塘上的每畝產(chǎn)量(單位:kg/畝)如下表: 號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 品種A 101 97 92
20、 103 91 100 110 106 品種B 115 107 112 108 111 120 110 113 分別求品種A和品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差;根據(jù)試驗結(jié)果,你認為應(yīng)該種植哪一品種?(12分) 20、甲、乙兩同學(xué)進行下棋比賽,約定每局勝者得1分,負者得0分(無平局),比賽進行到有一個人比對方多2分或比滿8局時停止,設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,且各局勝負相互獨立.已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為. (I)如右圖為統(tǒng)計這次比賽的局數(shù)n和甲、乙的總得分S,T的程序框圖. 其中如果甲獲勝,輸人a=l.b=0;如果乙獲勝,則輸人a=0,b=1. 請問在①②兩個判斷框中應(yīng)分別填寫什么條件?(Ⅱ)求p的值; (Ⅲ)設(shè)表示比賽停止時已比賽的局數(shù),求隨機變量的分布列和 【解析】(Ⅰ)程序框圖中的①應(yīng)填,②應(yīng)填.
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