高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步課時訓(xùn)練22

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第八章　立體幾何初步 第1課時　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 一、 填空題 1. 線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是____________．(用符號表示) 答案：AB?α 解析：由公理1可知AB?α. 2. 已知α∩β＝l，m? α，n? β，m∩n＝P，則點P與直線l的位置關(guān)系用相應(yīng)的符號表示為________． 答案：P∈l 解析：因為α∩β＝l，m? α，n? β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l. 3. 設(shè)a，b，c

2、是空間中的三條直線，下面給出四個命題： ① 若a∥b，b∥c，則a∥c； ② 若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ③ 若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ④ 若a∥b，b⊥c，則a⊥c. 上述命題中正確的是________．(填序號) 答案：①④ 解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯誤；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行或異面，故③錯誤；根據(jù)異面直線所成角的定義知④正確． 4. 若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是________．(填序號) ① l與l

3、1，l2都不相交；② l與l1，l2都相交；③ l至多與l1，l2中的一條相交；④ l至少與l1，l2中的一條相交． 答案：④ 解析：若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，這與l1和l2是異面直線相矛盾，所以l至少與l1，l2中的一條相交．故④正確． 5. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為B1O和C1O的中點，長方體的各棱中，與EF平行的有__________條． 答案：4 解析：∵ EF是△OB1C1的中位線，∴ EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴ 與EF平行的棱共有4條． 6. 如圖為正方體表面的一種展開

4、圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的有________對． 答案：3 解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對． 7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方體，點O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論中錯誤的是________．(填序號) ① A，M，C1三點共線； ② M，O，A1，A四點共面； ③ A，O，C，M四點共面； ④ B，B1，O，M四

5、點共面． 答案：①④ 解析：作出圖形，可知②③正確． 8. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，點D是AC的中點，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________． 答案：60 解析：如圖，取A1C1的中點E，連結(jié)B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，設(shè)AB＝1，則AA1＝，AB1＝，B1E＝，故∠AB1E＝60. 9. 如圖，點G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號) 答案：②④ 解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平

6、面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結(jié)MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面． 10. 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，點M, N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷正確的是________．(填序號)　 ① MN與CC1垂直；② MN與AC垂直； ③ MN與BD平行；④ MN與A1B1平行． 答案：①②③ 解析：連結(jié)B1C，B1D1，則MN是△B1CD1的中位線， ∴ MN∥B1D1.∵ CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴ MN⊥CC1，MN⊥AC

7、，MN∥BD，故①②③正確． ∵ A1B1與B1D1相交， ∴ MN與A1B1不平行，因此④錯誤． 二、 解答題 11. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. (1) 求證：D，B，E，F(xiàn)四點共面； (2) 作出直線A1C與平面BDEF的交點R的位置． (1) 證明：由于CC1和BF在同一個平面內(nèi)且不平行，故必相交．設(shè)交點為O，則OC1＝C1C.同理直線DE與CC1也相交，設(shè)交點為O′，則O′C1＝C1C，故O′與O重合．由此可證得DE∩BF＝O，故D，B，F(xiàn)，E四點共面(設(shè)為α)． (2

8、) 解：由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四點共面(設(shè)為β)．P∈BD，而BD?α，故P∈α. 又P∈AC，而AC?β，所以P∈β， 所以P∈α∩β，同理可證得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ. 因為A1C?β， 所以A1C與平面α的交點就是A1C與PQ的交點，連結(jié)A1C，則A1C與PQ的交點R就是所求的交點． 12. 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為A1A ，C1C的中點，求證：四邊形EBFD1是菱形． 證明：如圖，取B1B的中點G，連結(jié)GC1，EG， ∵ GB∥C1F，且GB＝C1F， ∴ 四邊形C1FBG是平行四邊形， ∴ FB

9、∥C1G，且FB＝C1G. ∵ D1C1∥EG，且D1C1＝EG， ∴ 四邊形D1C1GE為平行四邊形， ∴ GC1∥D1E，且GC1＝D1E， ∴ FB∥D1E，且FB＝D1E， ∴ 四邊形EBFD1為平行四邊形． ∵ FB＝FD1，∴ 四邊形EBFD1是菱形． 13. 已知空間四面體ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證： (1) E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2) 三條直線FH，EG，AC共點． 證明：(1) 如圖，連結(jié)EF，GH. ∵ 點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點， ∴ EF∥BD. ∵ CG

10、＝BC，CH＝DC， ∴ GH∥BD，∴ EF∥GH， ∴ E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2) 易知FH與直線AC不平行，但共面， ∴ 設(shè)FH∩AC＝M， ∴ M∈平面EFHG，M∈平面ABC. ∵ 平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴ M∈EG，∴ 直線FH，EG，AC共點．第2課時　直線與平面的位置關(guān)系(1) 一、 填空題 1. 直線a，b為異面直線，關(guān)于過直線a 且與直線b平行的平面的情況，下列說法正確的是________．(填序號) ① 有且只有一個；② 有無數(shù)多個；③ 至多一個；④ 不存在． 答案：① 解析：在直線a上任選一點A，過點A作b′∥b，則b′是唯

11、一的，又a∩b′＝A，所以a與b′確定一平面并且只有一個平面，故①正確． 2. 對于不同直線m，n和不同平面α，β，給出下列命題： ① ?m∥n；② ?n∥β； ③ ?m，n不共面；④ ?m∥n. 其中假命題的個數(shù)是__________． 答案：4 解析：①中m與n可能平行，也可能異面；②中可能n?β；③中可能m∥n或m與n相交；④中不知道α與β的位置，無法判斷m與n的位置關(guān)系．故四個命題都不正確． 3. 若直線l與平面α不平行，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號) ① α內(nèi)的所有直線都與直線l異面；② α內(nèi)不存在與l平行的直線；③ α內(nèi)的直線與l都相交；④ 直線l與

12、平面α有公共點． 答案：④ 解析：直線l與平面α不平行，則直線l與平面α有如下關(guān)系：l?α或l∩α＝A，故①②③均不正確，④正確． 4. 下列命題正確的是________．(填序號) ① 若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面； ② 若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行； ③ 若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④ 若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α. 答案：④ 解析：根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，④正確． 5. 已知三條直線a，b，c和平面β，則下列推論正確的是________．(填序號)

13、① 若a∥b，b?β，則a∥β； ② 若a∥β，b∥β，則a∥b； ③ 若a?β，b∥β，a，b共面，則a∥b； ④ 若a⊥c，b⊥c，則a∥b. 答案：③ 解析：對于①，可能有a?β，故①錯；對于②，a與b可能平行、相交或異面，故②錯；對于④，a與b可能平行、相交或異面，故④錯；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，③正確． 6. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度為________． 答案： 解析：因為EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以 EF∥AC.又

14、點E是AD的中點，所以點F是DC的中點．所以EF＝AC＝. 7. 過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 答案：6 解析： 四條棱AC，BC，A1C1，B1C1的中點中任意兩點連線均與平面ABB1A1平行，所以共有6條直線符合題意． 8. 如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是________．(填序號) 答案：②③④ 解析：因為點M，N，Q分別為對應(yīng)棱的中點，所以在①中AB與平面MNQ相交，在②③中均有AB∥MQ，在④中

15、，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB與平面MNQ平行． 9. 如圖，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，H分別是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中點，點N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則點M只需滿足條件________________時，就有MN∥平面B1BDD1.(填上正確的一個條件即可，不必考慮全部的可能情況) 答案：點M與點H重合(或點M在線段FH上) 解析：當點M在線段FH上時，MN∥平面B1BDD1. 二、 解答題 10. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點．求證：EF∥平面PAB

16、. 證明：因為點E，F(xiàn)分別是棱PC和PD的中點， 所以EF∥CD. 又在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB， 又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB. 11. 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，點E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點．求證：BF∥平面A1EC. 證明：如圖，連結(jié)AC1交A1C于點O，連結(jié)OE，OF. 在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以O(shè)A＝OC1. 因為點F為AC的中點，所以O(shè)F∥CC1且OF＝CC1. 因為點E為BB1的中點，所以BE∥CC1且BE＝CC1. 所以BE∥OF且BE＝O

17、F， 所以四邊形BEOF是平行四邊形， 所以BF∥OE. 又BF?平面A1EC，OE?平面A1EC， 所以BF∥平面A1EC. 12. 如圖，已知A，B，C，D四點不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求證：四邊形EFHG是平行四邊形． 證明：∵ AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴ EG∥AB. 同理FH∥AB，∴ EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α＝GH. ∴ GH∥CD. 同理EF∥CD， ∴ GH∥EF. ∴ 四邊形EFHG是平行四邊形． 13. 如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，點D，D1分別為AC

18、，A1C1上的中點．求證： (1) AD1∥平面BDC1； (2) BD∥平面AB1D1. 證明：(1) 因為點D1，D分別為A1C1與AC的中點，四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以C1D1∥DA，C1D1＝DA， 所以四邊形ADC1D1為平行四邊形， 所以AD1∥C1D. 又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1， 所以AD1∥平面BDC1. (2) 如圖，連結(jié)D1D， 因為BB1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D， 所以BB1∥D1D. 又D1，D分別為A1C1與AC的中點， 所以BB1＝DD1，

19、 故四邊形BDD1B1為平行四邊形， 所以BD∥B1D1. 又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1， 所以BD∥平面AB1D1. 第3課時　直線與平面的位置關(guān)系(2) 一、 填空題 1. 設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的________條件． 答案：充分不必要 解析：l⊥α?l⊥m，l⊥n.反之，因為 m，n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α. 2. 下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是________．(填序號) ① l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直； ② l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直； ③ l與平面

20、α內(nèi)的某一條直線垂直； ④ l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直． 答案：④ 解析：由線面垂直的定義及判定定理可知④正確． 3. 下列說法正確的是________．(填序號) ① 若平面外一條直線上有兩點到平面的距離相等，則這條直線平行于這個平面； ② 若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必垂直于這條直線； ③ 若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面． 答案：② 解析：當這兩點在平面兩側(cè)時，直線與平面相交，①錯誤；②正確；③中垂直于這條直線的另一條直線可能平行于這個平面或相交但不垂直于這個平面，③錯誤． 4. 已知平面α，β和直線m，給

21、出條件：① m∥α；② m⊥α；③ m?α；④ α∥β.當滿足條件________時，有m⊥β.(填序號) 答案：②④ 解析：若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④. 5. 已知m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，有下列四個命題： ① 若m∥α，n∥α，則m∥n； ② 若m⊥α，n⊥α，則m∥n； ③ 若m∥α，n⊥α，則m⊥n； ④ 若m⊥α，m⊥n，則n∥α. 其中真命題是____________．(填序號) 答案：②③ 6. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，點D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E

22、.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F＝________． 答案： 解析：設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF. 由已知，得A1B1＝.設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝h. 又2＝h，所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中，B1E＝ ＝. 由面積相等，得＝x，解得x＝.即線段B1F的長為. 7. 如圖，PA⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________． 答案：4 解析：??BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴ 直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC. 8. 在正方體A

23、BCDA1B1C1D1中，A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為________． 答案： 解析：如圖，在平面ADD1A1中作A1E⊥AD1于點E，連結(jié)C1E，因為正方體ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，所以A1E⊥AB.因為AD1 ∩AB＝A，AD1，AB?平面ABC1D1，則A1E⊥平面ABC1D1，所以∠A1C1E就是A1C1與平面ABC1D1所成的角，在Rt△AA1D1中，AA1＝A1D1，A1E⊥AD1，所以點E為AD1的中點，且A1E＝AD1＝A1C1，所以sin∠A1C1E＝＝. 9. 設(shè)α，β是空間中兩個不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同

24、的直線．從“① m⊥n；② α⊥β；③ n⊥β；④ m⊥α”中選取三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：________．(填序號) 答案：①③④?②或②③④?① 解析：因為當n⊥β，m⊥α?xí)r，平面α及β所成的二面角與直線m，n所成的角相等或互補，所以若m⊥n，則α⊥β，從而由①③④?②正確；同理②③④?①也正確． 10. 如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF. 答案：a或2a 解析：由題意可得B1D⊥平

25、面A1ACC1，∴ CF⊥B1D，∴ 為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴ x2－3ax＋2a2＝0，∴ x＝a或x＝2a. 二、 解答題 11. 如圖，在四棱錐PABCD中， 底面ABCD為菱形，且PA⊥底面ABCD，PA＝AC，點E是PA的中點，點F是PC的中點，求證： (1) PC∥平面BDE； (2) AF⊥平面BDE. 證明：(1) 連結(jié)OE， 因為點O為菱形ABCD對角線的交點，所以點O為AC的中點． 因為點E為PA的中點，所以O(shè)E∥PC. 因為OE?平面BDE，PC?平面BDE， 所以PC∥平

26、面BDE. (2) 因為PA＝AC，△PAC是等腰三角形， 又點F是PC的中點，所以AF⊥PC. 又OE∥PC，所以AF⊥OE. 因為PA⊥底面ABCD，BD ?平面ABCD， 所以PA ⊥BD. 因為AC，BD是菱形ABCD的對角線， 所以AC⊥BD. 又PA∩AC＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 又AF?平面PAC， 所以AF⊥BD . 又OE∩BD＝O，OE?平面BDE，BD?平面BDE， 所以AF⊥平面BDE. 12. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥C1D. (1) 求證： AD⊥平面BCC1

27、B1； (2) 如果點E是B1C1的中點，求證：A1E∥平面ADC1. 證明：(1) 因為ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因為AD⊥C1D，CC1，C1D?平面BCC1B1，CC1∩C1D＝C1， 所以AD⊥平面BCC1B1. (2) 因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，點E是B1C1的中點， 所以A1E⊥B1C1. 因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1E?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1E. 又因為B1C1，CC1?平面BCC1B1，B1C1∩CC1＝C1， 所以A1E⊥平面B

28、CC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1E∥AD. 又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 13. 在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中點．若點P在線段BB1上，且BP＝BB1.求證：AP⊥平面A1CD. 證明：∵ CA＝CB，D是AB的中點，∴ CD⊥AB. ∵ 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC⊥側(cè)面A A1B1B，交線為AB，又CD?平面ABC，∴ CD⊥平面AA1B1B. ∵ AP?平面A1B1BA，∴ CD⊥AP. ∵ BB1＝BA，BB1＝AA1 ，BP＝BB1，

29、 ∴ ＝＝， ∴ Rt△ABP∽Rt△A1AD，∴ ∠AA1D＝∠BAP， ∴ ∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90， ∴ AP⊥A1D. ∵ CD∩A1D＝D，CD?平面A1CD，A1D?平面A1CD， ∴ AP⊥平面A1CD. 第4課時　平面與平面的位置關(guān)系 一、 填空題 1. 設(shè)α，β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個命題： ① 若m∥n，n?α，則m∥α； ② 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β； ③ 若α∥β，m?α，n?β，則m∥n； ④ 若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β. 其中正確的命題是____

30、________．(填序號) 答案：④ 解析：①中沒有強調(diào)m在平面α外；②中沒有強調(diào)m，n相交；③中m與n有可能異面；④正確． 2. 已知正方體ABCD A1B1C1D1，下列結(jié)論中正確的是________．(填序號) ① AD1∥BC1； ② 平面AB1D1∥平面BDC1； ③ AD1∥DC1； ④ AD1∥平面BDC1. 答案：①②④ 解析：由四邊形ABC1D1是平行四邊形可知AD1∥BC1，故①正確；根據(jù)線面平行與面面平行的判定定理可知，②④正確；AD1與DC1是異面直線，故③錯誤． 3. 已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列說法中正確的序號是

31、________． ① 若m∥α，α∩β＝n，則m∥n； ② 若m⊥α，n⊥m，則n∥α； ③ 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n； ④ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β. 答案：③ 解析：對于①，如圖，m∥α，α∩β＝n，此時m，n異面，故①錯誤； 對于②，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故②錯誤； 對于③，若n⊥β，α⊥β，則n∥α或n?α，又m⊥α，∴ m⊥n，故③正確； 對于④，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m也可能與β相交、平行或在β內(nèi)，故④錯誤． 4. 已知α和β是兩個不重合的平面．在下列條件中，可判定α∥β的是________．(填序號) ①

32、 α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于β； ② α內(nèi)不共線的三點到β的距離相等； ③ l，m是平面α內(nèi)的直線，且l∥β，m∥β； ④ l，m是異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β. 答案：④ 解析：由面面平行的判定定理可以推出． 5. 設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是________．(填序號) ① 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ② 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β； ③ 若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥β； ④ 若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β. 答案：② 解析：②選項，由條件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β. 6

33、. 設(shè)α，β是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，給出四個論斷：① α∩β＝b；② a?β；③ a∥b；④ a∥α.以其中三個論斷為條件，余下一個論斷為結(jié)論，寫出你認為正確的命題：__． 答案：①②③?④或①②④?③ 解析：若α∩β＝b，a?β，a∥b，則a∥α，即①②③?④；若α∩β＝b，a?β，a∥α，則a∥b，即①②④?③. 7. α，β為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的序號是________． ① 若α∥β，m?α，則m∥β； ② 若m∥α，n?α，則m∥n； ③ 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④ 若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β

34、. 答案：①④ 解析：由α，β為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，知： 在①中，若α∥β，m?α，則由面面平行的性質(zhì)定理得m∥β，故①正確； 在②中，若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故②錯誤； 在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m與β相交、平行或m?β，故③錯誤； 在④中，若n⊥α，m⊥α，則m∥n，又由n⊥β得m⊥β，故④正確． 8. 如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，圖中互相垂直的平面有________對． 答案：5 解析：由PA⊥平面ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD.又AD⊥PA，且AD⊥AB，PA∩AB＝A，

35、∴DA⊥平面PAB，∴ 平面DPA⊥平面PAB.又BC∥ AD，∴BC⊥平面PAB，∴ 平面PBC⊥平面PAB，同理DC⊥平面PDA，∴ 平面PDC⊥平面PDA. 9. 已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β，給出下列命題： ① α∥β?l⊥m；② α⊥β?l∥m； ③ m∥α?l⊥β；④ l⊥β?m∥α. 其中正確的命題是________．(填序號) 答案：①④ 解析：①是面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，正確；②α⊥β，l⊥α，l，m可平行，可相交，可異面，命題錯誤；③m∥α，l⊥α? l⊥m? l與β可平行，l可在β內(nèi)，l可與β相交，命題錯誤；④l⊥β，l⊥

36、α?β∥α?m∥α，命題正確． 10. 在棱長均相等的正四棱錐PABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，有下列結(jié)論：① PC∥平面OMN；② 平面OMN⊥平面PAB；③ OM⊥PA；④ 平面PCD∥平面OMN. 其中正確結(jié)論的序號是________． 答案：①③④ 解析：如圖所示，其中E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，連結(jié)OE，OF，G為OE的中點，連結(jié)EM，MG，AC，BD，平面OMN即平面MNOE. 因為M為PA的中點，O為AC的中點，所以PC∥OM，所以PC∥平面OMN，同理PD∥平面OMN，所以平面PCD∥平面OMN，故①④正確．由于四棱錐的棱長均

37、相等，所以PA2＋PC2＝AB2＋BC2＝AC2，所以PC⊥PA.又PC∥OM，所以O(shè)M⊥PA，故③正確．因為OM＝PC＝PD＝ME，所以MG⊥OE.又MN∥OE，所以GM⊥MN.假設(shè)平面OMN⊥平面PAB，則GM⊥平面PAB，則MG⊥PA，設(shè)四棱錐的棱長為4，則MA＝2，AG＝，MG＝，三邊長度不滿足勾股定理，所以MG不垂直PA，與假設(shè)矛盾，故②不正確． 二、 解答題 11. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，D，E分別是AB，AC的中點．求證： (1) B1C1∥平面A1DE； (2) 平面A1DE⊥平面ACC1A1. 證明：(1) 因為D，E分別是AB，

38、AC的中點，所以DE∥BC. 又因為在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE. 又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE. (2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC， 又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE. 又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC. 又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1. 又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1. 12. 如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 點E，F(xiàn)(E與A，D不

39、重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證： (1) EF∥平面ABC； (2) AD⊥AC. 證明：(1) 在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2) 因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因為AD?平面ABD， 所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC?平面ABC， 所以AD⊥AC. 13. 如圖，在四面

40、體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點，AC＝BC，∠ACD＝90. (1) 求證：AB⊥平面EDC； (2) 若P為FG上任一點，求證：EP∥平面BCD. 證明：(1) 因為平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90，即CD⊥AC， 平面ABC ∩平面ACD＝AC，CD?平面ACD， 所以CD⊥平面ABC. 又AB?平面ABC， 所以CD⊥AB. 因為AC＝BC，E為AB的中點， 所以CE⊥AB. 又CE∩CD＝C，CD?平面EDC，CE?平面EDC， 所以AB⊥平面EDC. (2) 連結(jié)EF，EG，因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中

41、點， 所以EF∥BD. 又BD?平面BCD，EF?平面BCD， 所以EF∥平面BCD. 同理可證EG∥平面BCD，且EF∩EG＝E，EF?平面BCD，EG?平面BCD， 所以平面EFG∥平面BCD. 又P為FG上任一點， 所以EP?平面EFG， 所以EP∥平面BCD.第5課時　空間幾何體的表面積和體積 一、 填空題 1. 已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個圓心角為120，且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積為________． 答案： 解析：設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r，因為3π＝πl(wèi)2，所以l＝3，由2πr＝，得r＝1，所以圓錐的高是2，所以圓錐的體積是π122＝. 2.

42、如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝3 cm，AA1＝1 cm，則三棱錐D1A1BD的體積為________cm3. 答案： 解析：三棱錐D1A1BD的體積等于三棱錐BA1D1D的體積，因為三棱錐BA1D1D的高等于AB，△A1D1D的面積為矩形AA1D1D的面積的，所以三棱錐BA1D1D的體積是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積的，所以三棱錐D1A1BD的體積為321＝. 3. 若正四棱錐的底面邊長為2 cm，側(cè)面積為8 cm，則它的體積為________cm3. 答案： 解析：因為正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)面積為8，所以底面周長c＝8，ch′＝8，所以斜高h

43、′＝2，所以正四棱錐的高h＝，所以正四棱錐的體積為22＝. 4. 底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐的體積為________． 答案： 解析：底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐的高為1，底面積為4，則體積為. 5. 設(shè)M，N分別為三棱錐P ABC的棱AB，PC的中點，三棱錐P ABC的體積記為V1，三棱錐P AMN的體積記為V2，則＝________． 答案： 解析：設(shè)△AMN的面積為S，點P到平面AMN的距離為h，則V2＝Sh，而V1＝22Sh，則＝. 6. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點P在棱CC1上，則三棱錐PABA1的體積為______

44、__． 答案： 解析：三棱錐的底S△ABA1＝33＝，點P到底面ABA1的距離為△ABC的高：h＝ ，故三棱錐的體積V＝Sh＝ . 7. 已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，點E是棱B1B的中點，則三棱錐B1ADE的體積為________． 答案： 解析：三棱錐B1ADE的體積＝三棱錐DB1AE的體積＝11＝. 8. 若一個正方體與底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長為________． 答案：2 解析：底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐的體積為8，則該正方體的棱長為2. 9. 已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心

45、，OA為半徑的球的表面積為________． 答案：24π 解析：設(shè)正四棱錐的高為h，則()2h＝，解得高h＝.則底面正方形的對角線長為＝，所以O(shè)A＝＝，所以球的表面積為4π()2＝24π. 10. 將矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱，AB＝3，BC＝2，圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個內(nèi)接直角三角形，則三棱錐OEFG體積的最大值是________． 答案：4 解析：因為將矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱，AB＝3，BC＝2，圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個內(nèi)接直角三角形，所以三棱錐OEFG的高為圓柱的高，即高為AB，所以當三棱錐OEFG體積取

46、最大值時，△EFG的面積最大， 當EF為直徑，且點G在EF的垂直平分線上時，(S△EFG)max＝42＝4， 所以三棱錐OEFG體積的最大值Vmax＝(S△EFG)maxAB＝43＝4. 二、 解答題 11. 如圖，在三棱錐DABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且AF＝3FC. (1) 求三棱錐DABC的體積； (2) 若M為DB中點，N在棱AC上，且CN＝CA，求證：MN∥平面DEF. (1) 解：因為△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以S△BCD＝a2. 因為AB⊥平面BCD，所以VDABC＝VA B

47、CD＝S△BCDAB＝a2a＝a3. (2) 證明：連結(jié)CM，設(shè)CM∩DE＝O，連結(jié)OF. 則O為△BCD的重心，CO＝CM. 因為CN＝CA，AF＝3FC，所以CF＝CN，所以MN∥OF.因為OF?平面DEF，MN?平面DEF，所以MN∥平面DEF. 12. 如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，點D為線段AC的中點，點E為線段PC上一點． (1) 求證：PA⊥BD； (2) 求證：平面BDE⊥平面PAC； (3) 當PA∥平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積． (1) 證明：因為PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.

48、 因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD. (2) 證明：因為AB＝BC，點D為AC的中點， 所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3) 解：因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE， 所以PA∥DE. 因為點D為AC的中點，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝. 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 所以三棱錐E BCD的體積V＝BDDCDE＝. 13. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60，BD∩AC＝O，現(xiàn)將其沿菱形

49、對角線BD折起得到四面體EBCD，使EC＝. (1) 求證：EO⊥CD. (2) 求點O到平面EDC的距離． (1) 證明：∵ 四邊形ABCD為菱形，∴ AC⊥BD. ∵ BD∩AC＝O，∴ EO⊥BD. ∵ 在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60，∴ AD＝CD＝BC＝2，AO＝OC＝1. ∵ EC＝，CO＝EO＝1， ∴ EO2＋OC2＝EC2， ∴ EO⊥OC.又BD∩OC＝O， ∴ EO⊥平面BCD，∴ EO⊥CD. (2) 解：設(shè)點O到平面ECD的距離為h，由(1)知EO⊥平面OCD. V三棱錐OCDE＝V三棱錐EOCD，即S△OCDEO＝S△ECDh.

50、 在Rt△OCD中，OC＝1，OD＝，∠DOC＝90，∴ S△OCD＝OCOD＝.在△CDE中，ED＝DC＝2，EC＝，∴ S△CDE＝＝，∴ h＝＝，即點O到平面EDC的距離為.第6課時　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 一、 填空題 1. 已知空間四邊形OABC，點M，N分別為OA，BC的中點，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝________． 答案：(b＋c－a) 解析：＝－＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)． 2. 若直線l⊥α，且l的方向向量為(m，2，4)，平面α的法向量為，則m為________． 答案：1 解析：∵ (m，2，4)＝λ，∴ ∴ m＝1. 3

51、. 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________． 答案：－2或 解析：由cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或. 4. 已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點．若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，則給出下列結(jié)論：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③ 是平面ABCD的一個法向量；④ ∥.其中正確的是________．(填序號) 答案：①②③ 解析：＝2(－1)＋(－1)2＋(－4)(－1)＝－2－2＋4＝0，則⊥，即AP⊥AB； ＝(－1)4＋22＋0＝0，則⊥，即AP⊥AD.又AB∩AD＝A，∴ A

52、P⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一個法向量．由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴ ≠≠，∴ 與不平行． 5. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值為________． 答案： 解析：以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，則＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2)． 設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一個法向量為n＝(2，－2，1)．設(shè)CD

53、與平面BDC1所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝. 6. 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60，則對角線AC1的長度等于________． 答案： 解析：2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝16＋9＋25＋243cos 90＋245cos 60＋235cos 60＝50＋20＋15＝85，即 ||＝. 7. 如圖，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點，則異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為________．

54、答案： 解析：以A為坐標原點，以AB，AC，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)． 因為cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. 8. 已知O點為空間直角坐標系的原點，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且點Q在直線OP上運動．當取得最小值時， 的坐標是________． 答案： 解析：∵ 點Q在直線OP上，∴ 設(shè)點Q(λ，λ，2λ)，則＝(1－λ，2－

55、λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.當λ＝時，取得最小值－，此時＝. 9. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________． 答案： 解析：如圖，以A點為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)棱長為1， 則A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)， 所以＝(0，1，－1)，＝. 設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)，則所以所以n1＝(1，2，2)

56、． 因為平面ABCD的一個法向量為n2＝(0，0，1)，所以cos 〈n1，n2〉＝＝， 即平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為. 二、 解答題 10. 如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQ＝λBB1(λ≠0)． (1) 若λ＝，求AP與AQ所成角的余弦值； (2) 若直線AA1與平面APQ所成的角為45，求實數(shù)λ的值． 解：以A點為坐標原點，{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz. (1) 因為＝(1，2，2)，＝(2，0，1)， 所以cos〈，〉＝＝＝.所以AP

57、與AQ所成角的余弦值為. (2) 由題意可知，＝(0，0，2)，＝(2，0，2λ)． 設(shè)平面APQ的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令z＝－2，則x＝2λ，y＝2－λ. 所以n＝(2λ，2－λ，－2)． 因為直線AA1與平面APQ所成角為45， 所以|cos〈n，〉|＝＝ ＝， 化簡得5λ2－4λ＝0.又λ≠0，所以λ＝. 11. 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120. (1) 求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值； (2) 求二面角BA1DA的正弦值． 解：在平面ABCD內(nèi)，

58、過點A作AE⊥AD，交BC于點E. 因為AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD. 如圖，以A點為原點，{，，}為正交基底，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz. 因為AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120， 所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，)． (1) ＝(，－1，－)，＝(，1，)， 則cos〈，〉＝ ＝＝－， 因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為. (2) 平面A1DA的一個法向量為＝(，0，0)． 設(shè)m＝(x，y，z)為平面BA1D的法向量， 又＝(，－1，－)，＝(－，3，0

59、)， 則即 不妨取x＝3，則y＝，z＝2， 所以m＝(3，，2)為平面BA1D的一個法向量， 所以cos〈，m〉＝＝＝. 設(shè)二面角BA1DA的大小為θ，則|cos θ|＝. 因為θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝. 所以二面角BA1DA的正弦值為. 12. 如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，點E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點．以A點為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系． (1) 求異面直線EF與DG所成角的余弦值． (

60、2) 若M為EF上一點，N為DG上一點，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC ？若存在，求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1) 由題意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)． ∵ 點E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點， ∴ E，F(xiàn)，G， ∴ ＝，＝. 設(shè)EF與DG所成角為θ，則cos θ＝＝. ∴ EF與DG所成角的余弦值為. (2) 存在．設(shè)平面PBC的一個法向量為n＝(x，y，z)． ∵ ＝(0，1，0)，＝(1，0，－1)，∴ 取x＝1，得n＝(1，0，1)． M為EF上一點，N為DG上一點，

61、 若存在MN，使得MN⊥平面PBC，則∥n. 設(shè)M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，則?、?， ∵ 點M，N分別是線段EF與DG上的點， ∴ ＝λ，＝t. ∵ ＝，＝(x2，y2－2，z2)， ∴ 且?、?， 把②代入①，得解得 ∴ M，N. 13. 如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，點M是線段AD的中點，PA＝AC＝4，AB＝2. (1) 求證：MN∥平面BDE； (2) 求二面角CEM N的正弦值； (3) 已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．

62、(1) 證明：如圖，以A點為坐標原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系．依題意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)． ＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的一個法向量， 則即 不妨取z＝1，可得n＝(1，0，1)． 又＝(1，2，－1)，可得n＝0. 因為MN?平面BDE，所以MN∥平面BDE. (2) 解：由題可知n1＝(1，0，0)為平面CEM的一個法向量． 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EMN的一個法向量， 則 因為＝(0，－2，－1)，＝(1，2，－1)， 所以 取y2＝1，可得n2＝(－4，1，－2)． 因此cos〈n1，n2〉＝＝－， 所以sin〈n1，n2〉＝， 所以二面角CEMN的正弦值為. (3) 解：依題意，設(shè)AH＝h(0≤h≤4)， 則H(0，0，h)，＝(－1，－2，h)，＝(－2，2，2)． 由已知， 得|cos〈，〉|＝|| ＝ ＝， 整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝或h＝， 所以線段AH的長為或.