高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修二、三：專題三 直線與圓的方程 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1．直線的傾斜角 (1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角．當(dāng)直線與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0． (2)傾斜角的范圍為[0,π)． 2．直線的斜率 (1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k＝tan α,傾斜角是90的直線沒有斜率． (2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝＝. 3．直線方程

2、 名稱 幾何條件 方程 局限性 點(diǎn)斜式 過點(diǎn)(x0,y0),斜率為k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x軸的直線 斜截式 斜率為k,縱截距為b y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 過兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) ＝ 不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線 截距式 在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a,b≠0) ＋＝1 不包括垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0(A,B不全為0) 4.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系 條件 兩直線位置關(guān)系 斜率的關(guān)系 兩條不重合的直線l1,l2,斜

3、率分別為k1, k2 平行 k1＝k2 k1與k2都不存在 垂直 k1k2＝－1 k1與k2一個為零、另一個不存在 5.兩條直線的交點(diǎn) 6．三種距離 點(diǎn)點(diǎn)距 點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)線距 點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 線線距 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 7．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心：(a,b),半徑：r 一般方程 x

4、2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圓心：(－,－), 半徑： 8.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M (x0,y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． (2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2． (3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． 9．直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0), 圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0), d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,

5、消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ. 方法 位置關(guān)系 幾何法 代數(shù)法 相交 d0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d>r Δ<0 10.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0), 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置關(guān)系 幾何法：圓心距d與r1,r2的關(guān)系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 外離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實(shí)數(shù)解 相交 |r1－r2|

6、一組實(shí)數(shù)解 內(nèi)含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解 二、題之本：思想方法技巧 1.直線的傾斜角和斜率的關(guān)系,可借助k＝tanα的圖象(如圖)來解決.這里,α∈[0,π),k的范圍是兩個不連續(xù)的區(qū)間.在求直線方程時,若不能確定直線的斜率是否存在,則應(yīng)對斜率存在或不存在分類進(jìn)行討論. 2.直線在坐標(biāo)軸上的截距是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),它不是距離. 直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正,可負(fù),也可為0,直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,直線方程可以理解為,但不要忘記當(dāng)a=0時,直線y=kx在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是0,也是截距相等. 3.在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的面積、周長等問題

7、時,應(yīng)用截距式方程比較簡單. 4. 直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式．注意各種形式的局限性,如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,所以設(shè)方程的點(diǎn)斜式或斜截式時,就應(yīng)該先考慮斜率不存在的情形.例如：一條直線經(jīng)過點(diǎn),且被圓截得的弦長為8,求此弦所在直線的方程.該題就要注意,不要漏掉x+3=0這一解.） 5.求直線方程的方法主要有以下兩種： (1)直接法：根據(jù)已知條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式,求出直線方程； (2)待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程,再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù),從而寫出直線方程. 6..無論是判斷兩條直線平行還是垂直,都是從兩方面來討論的,即兩條直線斜率都存在

8、的情況和兩條直線至少有一條斜率不存在的情況. 7.兩條直線平行或垂直時求直線方程中的參數(shù),需分類討論及數(shù)形結(jié)合. 8..如果能推導(dǎo)出用直線方程一般式表示的兩條直線平行、重合或垂直的條件(一般式系數(shù)之間的關(guān)系),并記住結(jié)論,往往會使問題更易于解決. 9.求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的方法就是解方程組,利用解方程組也可以判斷兩條直線的位置關(guān)系,即將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題. 10..運(yùn)用公式d＝求兩平行直線間的距離時,一定要將兩條直線方程中x,y的系數(shù)化成相等的系數(shù),求兩平行直線間的距離也可化歸為點(diǎn)到直線的距離,即在一條直線上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩平行直線間的距離.這一方法體現(xiàn)了化歸

9、思想的應(yīng)用. 11.點(diǎn)(x0,y0)到直線y＝kx＋b(即y－kx－b＝0)的距離公式d＝記憶容易,對于知d求k,b很方便. 12.對稱主要分為中心對稱和軸對稱兩種,中心對稱僅用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可,軸對稱因?qū)ΨQ點(diǎn)連線的中垂線就是對稱軸,所以根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩條直線垂直的條件即可解決. 13. 注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)解題 圓的圖形優(yōu)美,定理、性質(zhì)豐富,在學(xué)此節(jié)時,重溫圓的幾何性質(zhì)很有必要,因?yàn)槭褂脦缀涡再|(zhì),能簡化代數(shù)運(yùn)算的過程,拓展解題思路. 14.圓的方程的確定 15由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程,可以看出方程中都含有三個參變數(shù),因此必須具備三個獨(dú)立的條件,才能確定一個圓,求圓的

10、方程時,若能根據(jù)已知條件找出圓心和半徑,則可用直接法寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,否則可用待定系數(shù)法. 16.求圓的方程的方法 (1)幾何法：即通過研究圓的性質(zhì),以及點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系,求得圓的基本量(圓心坐標(biāo)和半徑長),進(jìn)而求得圓的方程. (2)代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程,其一般步驟是：①根據(jù)題意選擇方程的形式；②利用條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組；③解②中的方程組,求得a,b,r或D,E,F的對應(yīng)值,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 17.在解決直線和圓的位置關(guān)系問題時,一定要聯(lián)系圓的幾何性質(zhì),利用有關(guān)圖形的幾何特征以簡化運(yùn)算；討論直線與圓的位置關(guān)系時,一般不

11、討論Δ>0,Δ＝0,Δ<0,而用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系,即dr,分別確定相交、相切、相離. 18.要特別注意利用圓的性質(zhì),如“垂直于弦的直徑必平分弦”,“圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”,“兩圓相切時,切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線”等等.可以說,適時運(yùn)用圓的幾何性質(zhì),將明顯減少代數(shù)運(yùn)算量,請同學(xué)們切記. 19.涉及圓的切線時,要考慮過切點(diǎn)與切線垂直的半徑,過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點(diǎn)M(x0,y0)引圓的切線,T為切點(diǎn),切線長公式為＝. 20.計算弦長時,要利用半徑、弦心距(圓心到弦所在直線的距離)、半弦長構(gòu)成的直角三角形.當(dāng)然,不失一般性,圓錐曲線

12、的弦長公式＝(A(x1,y1),B(x2,y2)為弦的兩個端點(diǎn))也應(yīng)重視. 21.已知 ⊙O1：x2＋y2＝r2； ⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 若點(diǎn)M(x0,y0)在圓上,則過M的切線方程分別為 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0. 若點(diǎn)M(x0,y0)在圓外,過點(diǎn)M引圓的兩條切線,切點(diǎn)為M1,M2,則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線段)所在直線的方程分別為 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0

13、y＋D＋E＋F＝0. 圓x2＋y2＝r2的斜率為k的兩條切線方程分別為y＝kxr.掌握這些結(jié)論,對解題很有幫助. 22.研究兩圓的位置關(guān)系時,要靈活運(yùn)用平面幾何法、坐標(biāo)法.兩圓相交時可由兩圓的方程消去二次項(xiàng)求得兩圓公共弦所在的直線方程. 23.對涉及過直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)的圓的問題,可考慮利用過交點(diǎn)的圓系方程解決問題,它在運(yùn)算上往往比較簡便. 24.平面上到兩定點(diǎn)距離的比為定值(>0且1)的點(diǎn)的軌跡是圓. 25.兩圓相交所得公共弦方程是兩圓方程相減消去二次項(xiàng)所得.x0x+y0y=r2 表示過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)（x0,y0）的切線,若點(diǎn)（x0,y0）在已知圓外,x0x+y0y=

14、r2 表示什么？（切點(diǎn)弦） 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修2第132頁習(xí)題4.2 A組第三題）求以為圓心,并且與直線相切的圓的方程. 改編1 （重慶卷）過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】A. 【解析】設(shè)直線方程為,即.∵圓方程可化為,∴圓心為（2,-1）,半徑為.依題意有,解得或,∴直線方程為或,故選（A）. 改編2 （湖北卷）已知直線與圓相切,則的值為 . 【解析】∵圓的圓心為（1,0）,半徑為1,∴,解得或. 改編3 求經(jīng)過點(diǎn),且與直線和都相切的圓的方程. 2.原題（必

15、修2第132頁練習(xí)第三題）某圓拱橋的水面跨度20,拱高4.現(xiàn)有一船寬10,水面以上高3,這條船能否從橋下通過？ 改編 某圓拱橋的水面跨度是20,拱高為4.現(xiàn)有一船寬9,在水面以上部分高3,故通行無阻.近日水位暴漲了1.5,為此,必須加重船載,降低船身.當(dāng)船身至少應(yīng)降低 時,船才能通過橋洞.（結(jié)果精確到0.01）. 【解析】建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓拱所在圓的方程為. ∵圓經(jīng)過點(diǎn)（10,0）,（0,4）,∴,解得. ∴圓的方程是. 令,得. 故當(dāng)水位暴漲1.5后,船身至少應(yīng)降低,船才能通過橋洞. 3.原題（必修2第133頁習(xí)題4.2A組第九題）求圓與圓的公共弦的長. 改編

16、 兩圓C1 ：x2+ y2-1=0和C2：x2+ y2-8x+12=0的公切線長為_______. 【解析】 C1 ：x2+ y2=1,C2：（x-4）2+ y2 = 4, |C1 C2|=4 圖（1）：|AB|==；圖（2）：|AB|==,即公切線長和. 4.原題（必修2第133頁習(xí)題4.2B組第2題）已知點(diǎn),點(diǎn)在圓上運(yùn)動,求的最大值和最小值. 改編1 已知點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)滿足,求的最大值和最小值. 改編2 已知,,點(diǎn)在圓上運(yùn)動,則的最小值是 . 【解析】設(shè),則.設(shè)圓心為,則,∴的最小值為. 5.原題（必修2第133頁習(xí)題4.2B組第3題）已知圓x2+

17、y2=4,直線l: y=x+b.當(dāng)b為何值時,圓x2+y2=4上恰有3個點(diǎn)到直線的距離都等于1. 改編 已知圓x2+y2=4, 直線l: y=x+b. 圓上至少有三個點(diǎn)到直線l的距離都是1,則b 的取值范圍是_____. 【解析】 6.原題（必修2第144頁復(fù)習(xí)參考題B組第2題）已知點(diǎn)與兩個定點(diǎn),距離的比是一個正數(shù),求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形（考慮和兩種情形）. 改編1 已知兩定點(diǎn),,如果動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解

18、析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由,得,化簡得 ,∴點(diǎn)的軌跡是以（2,0）為圓心,2為半徑的圓,∴所求面積為,故選B. 改編2 由動點(diǎn)向圓引兩條切線、,切點(diǎn)分別為、,=600,則動點(diǎn)的軌跡方程是 . 改編3 （四川卷）已知兩定點(diǎn),,如果動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由,得,化簡得 ,∴點(diǎn)的軌跡是以（2,0）為圓心,2為半徑的圓,∴所求面積為,故選（B）. 改編4（2003年北京春季卷）設(shè)為兩定點(diǎn),動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值,求點(diǎn)的軌跡. 7.原題（必修2第144頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題）求由曲線圍成的圖形的面積. 改編 由曲線圍成的圖形的面積為_______. 【解析】圍成的圖形如圖,面積為.