【大師特稿】高考數(shù)學(xué)答題模板：第6講圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第6講　圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 例7　已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為－1，離心率為e＝. (1)求橢圓E的方程； (2)過點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使·為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 審題破題　(1)利用待定系數(shù)法求E的方程；(2)探求定點(diǎn)可以先根據(jù)特殊情況找出點(diǎn)，再對(duì)一般情況進(jìn)行證明． 解　(1)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，

2、由已知得解得 所以b2＝a2－c2＝1.所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0)， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2. ①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)， 由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0， 即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝－， 所以·＝

3、－m·＋m2－ ＝. 因?yàn)閷?duì)于任意的k值，·為定值， 所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝. 所以M，此時(shí)，·＝－. ②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1， 則x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－， 由m＝，得·＝－. 綜上，符合條件的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為. 構(gòu)建答題模板 第一步：引進(jìn)參數(shù).從目標(biāo)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)相關(guān)參數(shù).一般地，引進(jìn)的參數(shù)是直線的夾角、直線的斜率或直線的截距等； 第二步：列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表達(dá)出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程； 第三步：探求直線過定點(diǎn).若是動(dòng)態(tài)的直線方程，將動(dòng)態(tài)的直線

4、方程轉(zhuǎn)化成y－y0＝k(x－x0)的形式，則k∈R時(shí)直線恒過定點(diǎn)(x0，y0)；若是動(dòng)態(tài)的曲線方程，將動(dòng)態(tài)的曲線方程轉(zhuǎn)化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，則λ∈R時(shí)曲線恒過的定點(diǎn)即是f(x，y)＝0與g(x，y)＝0的交點(diǎn)；,第四步：下結(jié)論； 第五步：回顧反思.在解決圓錐曲線問題中的定點(diǎn)、定值問題時(shí)，引進(jìn)參數(shù)的目的是以這個(gè)參數(shù)為中介，通過證明目標(biāo)關(guān)系式與參數(shù)無關(guān)，達(dá)到解決問題的目的. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7　已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M(4,0)． (1)若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率； (2)設(shè)A，B為拋物線上的兩點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線

5、恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． (1)解　由已知得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)， 因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以＝， 解得k＝±，所以直線l的斜率為±. (2)證明　設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€AB不與x軸垂直，所以AB斜率存在， 所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為， 直線AB的方程為y－y0＝(x－x0)， 聯(lián)立方程得 消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0， 所以y1＋y2＝， 因?yàn)镹為線段AB的中點(diǎn)，所以＝y(tǒng)0， 即＝y(tǒng)0， 所以x0＝2.即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2.