高中數(shù)學(xué)數(shù)列練習(xí)題及解析[共32頁]

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1、 . 數(shù)列練習(xí)題 　一．選擇題（共16小題） 1．?dāng)?shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，則a8=（　?。? 　 A． 0 B． 3 C． 8 D． 11 2．在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+），則an=（　　） 　 A． 2+lnn B． 2+（n﹣1）lnn C． 2+nlnn D． 1+n+lnn 3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2﹣9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k等于（　　） 　 A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 4．已

2、知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=（　　） 　 A． 2n﹣1 B． C． D． 5．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且，且n∈N*），則數(shù)列{an}的通項公式為（　　） 　 A． an= B． an= C． an=n+2 D． an=（n+2）3n 6．已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，bn=log2an，那么數(shù)列{bn}的前10項和等于（　?。? 　 A． 130 B． 120 C． 55 D． 50 7．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項（　?。? 　 A． B．

3、 C． D． 8．在數(shù)列{an}中，若a1=1，a2=，=+（n∈N*），則該數(shù)列的通項公式為（　　） 　 A． an= B． an= C． an= D． an= 9．已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，記Sn=a1+a2+…+an，則下列結(jié)論正確的是（　?。? 　 A． a100=﹣1，S100=5 B． a100=﹣3，S100=5 　 C． a100=﹣3，S100=2 D． a100=﹣1，S100=2 10．已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，則a3=（　?。? 　 A．

4、3 B． 7 C． 15 D． 18 11．已知數(shù)列{an}，滿足an+1=，若a1=，則a2014=（　?。? 　 A． B． 2 C． ﹣1 D． 1 12．已知數(shù)列中，,，，則=（　?。? 　 A． B． C． D． 　 13．已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時，,，求,.（　?。? 14．已知：數(shù)列{an}滿足a1=16，an+1﹣an=2n，則的最小值為（　?。? 　 A． 8 B． 7 C． 6 D． 5 15．已知數(shù)列{an}中，a1=2，nan+1=（n+1）an+2，n∈N+，則a11=（　?。?/p>

5、 　 A． 36 B． 38 C． 40 D． 42 16．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時，an+2Sn﹣1=n，則S2015的值為（　?。? 　 A． 2015 B． 2013 C． 1008 D． 1007 二．填空題（共8小題） 17．已知無窮數(shù)列{an}前n項和，則數(shù)列{an}的各項和為　　　　　　 18．若數(shù)列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n∈N*），則數(shù)列的通項an=　　　　　?。? 19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=3，﹣=5（n∈N+），則an=　　　　　?。? 20．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2﹣

6、2n+2，則數(shù)列的通項an=　　　　　　． 21．已知數(shù)列{an}中，，則a16=　　　　　?。? 22．已知數(shù)列{an}的通項公式an=，若它的前n項和為10，則項數(shù)n為　　　　　?。? 23．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，則{an}的前60項和為　　　　　?。? 24．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=，an+bn=1，bn+1=（n∈N*），則b2012=　　　　　?。? 三．解答題（共6小題） 25．設(shè)數(shù)列 {an}的前n項和為Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且當(dāng)a≥2時，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1． （1）求a4的值；（2）證

7、明：{an+1﹣an}為等比數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項公式． 　 26．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）設(shè)bn=an+1﹣an，證明{bn}是等差數(shù)列； （Ⅱ）求{an}的通項公式． 　 27．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+． （1）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的通項公式； （2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn． 　 28．（2015?瓊海校級模擬）已知正項數(shù)列滿足4Sn=（an+1）2． （1）求數(shù)列{an}的通項公式；

8、 （2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 　 29．已知{an}是等差數(shù)列，公差為d，首項a1=3，前n項和為Sn．令，{cn}的前20項和T20=330．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范圍． 　 30．已知數(shù)列{an}中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）﹣1． ①求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列 ②求數(shù)列{an}的通項公式 ③設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn，是否存在實數(shù)M，使得Tn≤M

9、對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，試說明理由． 　 　  2015年08月23日1384186492的高中數(shù)學(xué)組卷 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共16小題） 1．（2014?湖北模擬）數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，則a8=（　?。? 　 A． 0 B． 3 C． 8 D． 11 (累加) 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 先利用等差數(shù)列的通項公式分別表示出b3和b10，聯(lián)立方程求得b1和d，進而利用疊加法求得b1+b

10、2+…+bn=an+1﹣a1，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得答案． 解答： 解：依題意可知求得b1=﹣6，d=2 ∵bn=an+1﹣an， ∴b1+b2+…+bn=an+1﹣a1， ∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3 故選B． 點評： 本題主要考查了數(shù)列的遞推式．考查了考生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的熟練掌握． 　 2．（2008?江西）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+），則an=（　?。? 　 A． 2+lnn B． 2+（n﹣1）lnn C． 2+nlnn D． 1+n+lnn (累加) 考點： 數(shù)列的概念及簡單表示法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)

11、所有 專題： 點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 分析： 把遞推式整理，先整理對數(shù)的真數(shù)，通分變成，用迭代法整理出結(jié)果，約分后選出正確選項． 解答： 解：∵， ， … ∴ = 故選：A． 點評： 數(shù)列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n﹣1等，這種辦法通常稱迭代或遞推．解答本題需了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項． 　 3．（2007?廣東）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2﹣9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k等于（　　） 　 A． 9 B． 8 C． 7

12、 D． 6 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 先利用公式an=求出an，再由第k項滿足5＜ak＜8，求出k． 解答： 解：an= = ∵n=1時適合an=2n﹣10，∴an=2n﹣10． ∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8， ∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8， 故選B． 點評： 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要注意公式an=的合理運用． 　 4．（2015?房山區(qū)一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=（　　） 　 A． 2n﹣1 B． C． D．

13、考點： 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 直接利用已知條件求出a2，通過Sn=2an+1，推出數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出Sn． 解答： 解：因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，a2= 所以Sn﹣1=2an，n≥2，可得an=2an+1﹣2an，即：， 所以數(shù)列{an}從第2項起，是等比數(shù)列，所以Sn=1+=，n∈N+． 故選：B． 點評： 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，前n項和的求法，考查計算能力． 　 5．（2015?衡水四模）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且，且n∈N*），則數(shù)

14、列{an}的通項公式為（　　） 　 A． an= B． an= C． an=n+2 D． an=（n+2）3n 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析： 由題意及足a1=1，且，且n∈N*），則構(gòu)造新的等差數(shù)列進而求解． 解答： 解：因為，且n∈N*）?， 即，則數(shù)列{bn}為首項，公差為1的等差數(shù)列， 所以bn=b1+（n﹣1）1=3+n﹣1=n+2，所以， 故答案為：B 點評： 此題考查了構(gòu)造新的等差數(shù)列，等差數(shù)列的通項公式． 　 6．（2015?江西一模）已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，bn=log2an，那么數(shù)列{b

15、n}的前10項和等于（　?。? 　 A． 130 B． 120 C． 55 D． 50 考點： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由題意可得，可得數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可得到an，利用對數(shù)的運算法則即可得到bn，再利用等差數(shù)列的前n項公式即可得出． 解答： 解：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，即， ∴數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴=2n． ∴=n． ∴數(shù)列{bn}的前10項和=1+2+…+10==55． 故選C． 點評

16、： 熟練掌握等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算法則、等差數(shù)列的前n項公式即可得出． 　 7．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項（　?。? 　 A． B． C． D． 8．（2015?遵義校級二模）在數(shù)列{an}中，若a1=1，a2=，=+（n∈N*），則該數(shù)列的通項公式為（　?。? 　 A． an= B． an= C． an= D． an= 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由=+，確定數(shù)列{}是等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式． 解答： 解：∵=+， ∴數(shù)列{}

17、是等差數(shù)列， ∵a1=1，a2=， ∴=n， ∴an=， 故選：A． 點評： 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項公式，確定數(shù)列{}是等差數(shù)列是關(guān)鍵． 　 9．（2015?錦州一模）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，記Sn=a1+a2+…+an，則下列結(jié)論正確的是（　?。? 　 A． a100=﹣1，S100=5 B． a100=﹣3，S100=5 　 C． a100=﹣3，S100=2 D． a100=﹣1，S100=2 考點： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：

18、 由an+1=an﹣an﹣1（n≥2）可推得該數(shù)列的周期為6，易求該數(shù)列的前6項，由此可求得答案． 解答： 解：由an+1=an﹣an﹣1（n≥2），得 an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）=﹣（an+1﹣an﹣an+1）=an， 所以6為數(shù)列{an}的周期， 又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2， 所以a100=a96+4=a4=﹣1， S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16

19、0+1+3+2﹣1=5， 故選A． 點評： 本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力． 　 10．（2015春?滄州期末）已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，則a3=（　　） 　 A． 3 B． 7 C． 15 D． 18 考點： 數(shù)列的概念及簡單表示法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 分析： 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可得到結(jié)論． 解答： 解：∵a1=3，an+1=2an+1， ∴a2=2a1+1=23+1=7， a3=2a2+1=27+1=15， 故選：C． 點評： 本題主要考查數(shù)列的

20、計算，利用數(shù)列的遞推公式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)． 　 11．（2015春?巴中校級期末）已知數(shù)列{an}，滿足an+1=，若a1=，則a2014=（　?。? 　 A． B． 2 C． ﹣1 D． 1 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由已知條件，分別令n=1，2，3，4，利用遞推思想依次求出數(shù)列的前5項，由此得到數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2014． 解答： 解：∵數(shù)列{an}，滿足an+1=，a1=， ∴a2==2， a3==﹣1， a4==， ， ∴數(shù)列{an}是周期為3的周期

21、數(shù)列， ∵20143=671…1， ∴a2014=a1=． 故選：A． 點評： 本題考查數(shù)列的第2014項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意遞推思想的合理運用． 　 12．已知數(shù)列中，,，，則=（　　） 　 A． B． C． D． 　 13．已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時，,，求,.（　?。? 　 A． C． B． 解：因 所以 即…………………………………………（1） 又因為 所以…… .即………………………（2） 由（1）、（2）得：， 14．（2014?通州區(qū)二模）已知：數(shù)

22、列{an}滿足a1=16，an+1﹣an=2n，則的最小值為（　?。? 　 A． 8 B． 7 C． 6 D． 5 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，an+1﹣an=2n，這n個式子相加，就有an+1=16+n（n+1），故，由此能求出的最小值． 解答： 解：a2﹣a1=2， a3﹣a2=4， … an+1﹣an=2n， 這n個式子相加，就有 an+1=16+n（n+1）， 即an=n（n﹣1）+16=n2﹣n+16， ∴， 用均值不等式，知道它在n=4的時候取最小值7．

23、 故選B． 點評： 本題考查數(shù)更列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意遞推公式的靈活運用． 　 15．（2014?中山模擬）已知數(shù)列{an}中，a1=2，nan+1=（n+1）an+2，n∈N+，則a11=（　?。? 　 A． 36 B． 38 C． 40 D． 42 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 在等式的兩邊同時除以n（n+1），得﹣=2（﹣），然后利用累加法求數(shù)列的通項公式即可． 解答： 解：因為nan+1=（n+1）an+2（n∈N*）， 所以在等式的兩邊同時除以n（n+1），得﹣=2（﹣）， 所

24、以=+2[（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）]= 所以a11=42 故選D． 點評： 本題主要考查利用累加法求數(shù)列的通項公式，以及利用裂項法求數(shù)列的和，要使熟練掌握這些變形技巧． 　 16．（2015?綏化一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時，an+2Sn﹣1=n，則S2015的值為（　?。? 　 A． 2015 B． 2013 C． 1008 D． 1007 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 分析： 根據(jù)an+2Sn﹣1=n得到遞推關(guān)系an+1+an=1，n≥2，從而得到當(dāng)n是奇數(shù)時，an=

25、1，n是偶數(shù)時，an=0，即可得到結(jié)論． 解答： 解：∵當(dāng)n≥2時，an+2Sn﹣1=n， ∴an+1+2Sn=n+1，兩式相減得： an+1+2Sn﹣（an+2Sn﹣1）=n+1﹣n， 即an+1+an=1，n≥2， 當(dāng)n=2時，a2+2a1=2，解得a2=2﹣2a1=0， 滿足an+1+an=1， 則當(dāng)n是奇數(shù)時，an=1， 當(dāng)n是偶數(shù)時，an=0， 則S2015=1008， 故選：C 點評： 本題主要考查數(shù)列和的計算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列項的特點是解決本題的關(guān)鍵． 　 二．填空題（共8小題） 17．（2008?上海）已知無窮數(shù)列{an}前n項和，則數(shù)

26、列{an}的各項和為　﹣1　 考點： 數(shù)列遞推式；極限及其運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 若想求數(shù)列的前N項和，則應(yīng)先求數(shù)列的通項公式an，由已知條件，結(jié)合an=Sn﹣Sn﹣1可得遞推公式，因為是求無窮遞縮等比數(shù)列的所有項的和，故由公式S=即得 解答： 解：由可得：（n≥2）， 兩式相減得并化簡：（n≥2）， 又， 所以無窮數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比為﹣， 即無窮數(shù)列{an}為遞縮等比數(shù)列， 所以所有項的和S= 故答案是﹣1 點評： 本題主要借助數(shù)列前N項和與項的關(guān)系，考查了數(shù)列的遞推公式和無窮遞縮等比數(shù)列所有項和公式，并檢測了學(xué)生對求極

27、限知識的掌握，屬于一個比較綜合的問題． 　 18．（2002?上海）若數(shù)列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n∈N*），則數(shù)列的通項an=　 ?。? 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 由遞推公式an+1=an2多次運用迭代可求出數(shù)列an=an﹣12=an﹣24=…=a12n﹣1 解答： 解：因為a1=3 多次運用迭代，可得an=an﹣12=an﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1， 故答案為： 點評： 本題主要考查利用迭代法求數(shù)列的通項公式，迭代中要注意規(guī)律，靈活運用公式，熟練變形是解題的關(guān)鍵 　 19．（20

28、15?張掖二模）數(shù)列{an}滿足a1=3，﹣=5（n∈N+），則an=　 　 ． 考點： 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式，看出數(shù)列是一個等差數(shù)列，根據(jù)所給的原來數(shù)列的首項看出等差數(shù)列的首項，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列，進一步得到結(jié)果． 解答： 解：∵根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式 ∴數(shù)列{}是一個公差是5的等差數(shù)列， ∵a1=3， ∴=， ∴數(shù)列的通項是 ∴ 故答案為： 點評： 本題看出數(shù)列的遞推式和數(shù)列的通項公式，本題解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列是一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公

29、式寫出通項，本題是一個中檔題目． 　 20．（2015?歷下區(qū)校級四模）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2﹣2n+2，則數(shù)列的通項an=　?。? 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 由已知中數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2﹣2n+2，我們可以根據(jù)an=求出數(shù)列的通項公式，但最后要驗證n=1時，是否滿足n≥2時所得的式子，如果不滿足，則寫成分段函數(shù)的形式． 解答： 解：∵Sn=n2﹣2n+2， ∴當(dāng)n≥2時， an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3 又∵當(dāng)n=1時 a1=S1=1≠21﹣3

30、 故an= 故答案為： 點評： 本題考查的知識點是由前n項和公式，求數(shù)列的通項公式，其中掌握an=，及解答此類問題的步驟是關(guān)鍵． 　 21．（2015春?邢臺校級月考）已知數(shù)列{an}中，，則a16=　?。? 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 由，可分別求a2，a3，a4，從而可得數(shù)列的周期，可求 解答： 解：∵， 則=﹣1 =2 = ∴數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列 ∴a16=a1= 故答案為： 點評： 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，其中尋求數(shù)列的項的規(guī)律，找出數(shù)列的周期是求解的關(guān)鍵 　 22．（

31、2014春?庫爾勒市校級期末）已知數(shù)列{an}的通項公式an=，若它的前n項和為10，則項數(shù)n為　120?。? 考點： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題． 分析： 由題意知an=，所以Sn=（﹣）+（﹣）+（）=﹣1，再由﹣1=10，可得n=120． 解答： 解：∵an== ∴Sn=（﹣）+（﹣）+（） =﹣1 ∴﹣1=10，解得n=120 答案：120 點評： 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答． 　 23．（2012?黑龍江）數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，則{an}的前60項和為　1830?。?

32、 考點： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列，而{an}的前60項和為即為數(shù)列{bn}的前15項和，由等差數(shù)列的求和公式可求 解答： 解：∵， ∴ 令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2， a4n+2

33、+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8， 則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16 ∴數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列，{an}的前60項和為即為數(shù)列{bn}的前15項和 ∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴=1830 點評： 本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的和，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造等差數(shù)列 　 24．（2012?浙江模擬）已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=，an+bn=1，bn+1=（n∈N*），則b20

34、12=　　． ; 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題． 分析： 根據(jù)數(shù)列遞推式，判斷{}是以﹣2為首項，﹣1為公差的等差數(shù)列，即可求得，故可求結(jié)論． 解答： 解： ∵an+bn=1，bn+1= ∴bn+1== ∴bn+1﹣1= ∴﹣=﹣1 ∵=﹣2 ∴{}是以﹣2為首項，﹣1為公差的等差數(shù)列 ∴ ∴ ∴b2012= 故答案為： 點評： 本題考查數(shù)列遞推式，解題的關(guān)鍵是判定{}是以﹣2為首項，﹣1為公差的等差數(shù)列，屬于中檔題． 　 三．解答題（共6小題） 25．（2015?廣東）設(shè)數(shù)列 {an}的前n項和為Sn，n∈N*．已知a

35、1=1，a2=，a3=，且當(dāng)a≥2時，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1． （1）求a4的值； （2）證明：{an+1﹣an}為等比數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項公式． 考點： 數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）直接在數(shù)列遞推式中取n=2，求得； （2）由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），變形得到4an+2+an=4an+1（n≥2），進一步得到，由此可得數(shù)列{}是以為首項，公比為的等比數(shù)列； （3）由{}是以為首項，公比為的等比數(shù)列，可得．進一步得到，說明{}是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，由此可得數(shù)

36、列{an}的通項公式． 解答： （1）解：當(dāng)n=2時，4S4+5S2=8S3+S1，即， 解得：； （2）證明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn（n≥2）， 即4an+2+an=4an+1（n≥2）， ∵，∴4an+2+an=4an+1． ∵=． ∴數(shù)列{}是以為首項，公比為的等比數(shù)列； （3）解：由（2）知，{}是以為首項，公比為的等比數(shù)列， ∴． 即， ∴{}是以為首項，4為公差的等差數(shù)列， ∴，即， ∴數(shù)列{an}的通項公式是． 點評： 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的

37、確定，考查了等比數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是靈活變形能力，是中檔題． 　 26．（2014?廣西）數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）設(shè)bn=an+1﹣an，證明{bn}是等差數(shù)列； （Ⅱ）求{an}的通項公式． 考點： 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式；等差關(guān)系的確定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）將an+2=2an+1﹣an+2變形為：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由條件得bn+1=bn+2，根據(jù)條件求出b1，由等差數(shù)列的定義證明{bn}是等差數(shù)列； （Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數(shù)列的通項公式求出b

38、n，代入bn=an+1﹣an并令n從1開始取值，依次得（n﹣1）個式子，然后相加，利用等差數(shù)列的前n項和公式求出{an}的通項公式an． 解答： 解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得， an+2﹣an+1=an+1﹣an+2， 由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2， 即bn+1﹣bn=2， 又b1=a2﹣a1=1， 所以{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1， 由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1， 則a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，

39、所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1 ==（n﹣1）2， 又a1=1， 所以{an}的通項公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2． 點評： 本題考查了等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，及累加法求數(shù)列的通項公式和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 　 27．（2012?碑林區(qū)校級模擬）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+． （1）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的通項公式； （2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn． 考點： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；綜合題． 分析： （1）由已知得=+，即bn+1=bn+，由此能夠推

40、導(dǎo)出所求的通項公式． （2）由題設(shè)知an=2n﹣，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），設(shè)Tn=1++++…+，由錯位相減法能求出Tn=4﹣．從而導(dǎo)出數(shù)列{an}的前n項和Sn． 解答： 解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+， 即bn+1=bn+，從而b2=b1+， b3=b2+， bn=bn﹣1+（n≥2）． 于是bn=b1+++…+=2﹣（n≥2）． 又b1=1， 故所求的通項公式為bn=2﹣． （2）由（1）知an=2n﹣， 故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+）， 設(shè)Tn=1++++…+，① Tn=+++…++，② ①﹣②得， T

41、n=1++++…+﹣ =﹣=2﹣﹣， ∴Tn=4﹣． ∴Sn=n（n+1）+﹣4． 點評： 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用． 　 28．（2015?瓊海校級模擬）已知正項數(shù)列滿足4Sn=（an+1）2． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 考點： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）由4Sn=（an+1）2．可知當(dāng)n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2，兩式相減，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求 （Ⅱ） 由（1）知 =

42、，利用裂項求和即可求解 解答： 解：（Ⅰ）∵4Sn=（an+1）2． ∴當(dāng)n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2． 兩式相減可得，4（sn﹣sn﹣1）= 即4an= 整理得an﹣an﹣1=2 …（4分） 又a1=1 ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1 …（6分） （Ⅱ） 由（1）知 =…（8分） 所以= …（12分） 點評： 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用 　 29．（2015?揭陽校級三模）已知{an}是等差數(shù)列，公差為d，首項a1=3，前

43、n項和為Sn．令，{cn}的前20項和T20=330．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范圍． 考點： 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）利用T20=330，求出公差，即可求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）先求出bn，再根據(jù)bn+1≤bn，n∈N*，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 因為， 所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330，

44、 則a2+a4+a6+…+a20=330…（3分） 則 解得d=3 所以an=3+3（n﹣1）=3n…（6分） （Ⅱ） 由（Ⅰ）知bn=2（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1bn+1﹣bn=2（a﹣2）3n﹣1+2n﹣[2（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1] =4（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1= 由bn+1≤bn?…（10分） 因為隨著n的增大而增大， 所以n=1時，最小值為， 所以…（12分） 點評： 本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題． 　 30．（2015?惠州模擬）已知數(shù)列{an}中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）﹣1．

45、 ①求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列 ②求數(shù)列{an}的通項公式 ③設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn，是否存在實數(shù)M，使得Tn≤M對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，試說明理由． 考點： 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式；等差關(guān)系的確定；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： ①由Sn=（n+1）（an+1）﹣1，得，兩式相減后整理可得nan+1=（n+1）an﹣1（1），則（n+1）an+2=（n+2）an+1﹣1（2），兩式相減整理后利用等差中項公式可判斷； ②由①知，nan+1=（n+1）an﹣1，可求得a2=2a1﹣1=5，

46、又a1=3可求公差，從而可得an； ③使得Tn≤M對一切正整數(shù)n恒成立，等價于Tn的最大值小于等于M，利用裂項相消法可求得Tn，進而可求得其最大值； 解答： 解：①∵Sn=（n+1）（an+1）﹣1， ∴， ∴an+1=Sn+1﹣Sn=， 整理得，nan+1=（n+1）an﹣1…（1） ∴（n+1）an+2=（n+2）an+1﹣1…（2） （2）﹣（1），得（n+1）an+2﹣nan+1=（n+2）an+1﹣（n+1）an， ∴2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an）， ∴2an+1=an+2+an， ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列． ②由①知，nan+

47、1=（n+1）an﹣1，得a2=2a1﹣1=5， 又a1=3，∴a2﹣a1=2，即公差為2， an=3+（n﹣1）2=2n+1； ③∵=（）， ∴ =， 又當(dāng)n∈N*時，， 要使得Tn≤M對一切正整數(shù)n恒成立，只要M≥， ∴存在實數(shù)M使得Tn≤M對一切正整數(shù)n都成立，M的最小值為． 點評： 本題考查等差關(guān)系的確定、等差數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握． 　單純的課本內(nèi)容，并不能滿足學(xué)生的需要，通過補充，達到內(nèi)容的完善 教育之通病是教用腦的人不用手，不教用手的人用腦，所以一無所能。教育革命的對策是手腦聯(lián)盟，結(jié)果是手與腦的力量都可以大到不可思議。 優(yōu)質(zhì)范文