高中數學 第四講 數學歸納法證明不等式單元整合素材 新人教A版選修45

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1、 第四講 數學歸納法證明不等式 單元整合 知識網絡 專題探究 專題一　正確使用數學歸納法 同學們在剛開始學習數學歸納法時，常常會遇到兩個困難，一是數學歸納法的思想實質不容易理解，二是歸納步驟的證明有時感到難以入手．本專題將對兩種常見的錯誤進行討論、整理，以幫助學生進一步理解數學歸納法的原理，弄清它的實質，從而明確如何正確地使用數學歸納法． (1)缺少數學歸納法的第二步． 有人覺得如果一個命題對于開頭的一些自然數都成立，那么由P(k)成立導出P(k＋1)成立是必然的，因此第二步歸納步驟是流于形式，證與不證似乎一樣，顯然這是不正確的．產生這種錯誤想法的原因在于沒有認識到歸納步驟

2、所起的遞推作用，如果沒有遞推性，那么一個命題可能對于開頭的許多自然數都成立，但是一般的并不成立，我們舉幾個例子來看看． 十七世紀法國卓越的數學家費爾瑪考查了形如的數，n＝0,1,2,3,4時，它的值分別為3,5,17,257,65 537.這5個數都是質數．因此費爾瑪就猜想：對于任意的自然數n，式子22n＋1的值都是質數．但是在十八世紀另一位卓越的數學家歐拉指出n＝5時， ＝4 294 967 297＝6416 700 417. 是個合數，費爾瑪的猜想錯了． 這就充分說明我們不能把不完全歸納法當成證明，用數學歸納法證明時第二步不可缺少． (2)缺少數學歸納法的第一步． 也有人覺得既

3、然第二步歸納步驟中有遞推作用，而且k又可以任意取值，這樣就夠了，有沒有第一步P(1)無關緊要．這種認識也是錯誤的，它忽視了第一步的奠基作用，因為如果沒有P(1)成立，歸納假設P(k)成立就沒有了依據，因此遞推性也就成了無源之水，無本之木，下面我們看一個這樣的例子． 【例】如果不要奠基步驟，我們就可以證明(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶數(n∈N＋)． 剖析：假設n＝k時命題成立，即(k＋1)2＋(k＋2)2是偶數．當n＝k＋1時， [(k＋1)＋1]2＋[(k＋1)＋2]2＝(k＋2)2＋(k＋1)2＋4(k＋1)＋4＝(k＋1)2＋(k＋2)2＋4(k＋2)． 由假設(k＋1)2＋

4、(k＋2)2是偶數，又4(k＋2)也是偶數，所以上式是偶數，這就是說n＝k＋1時命題也成立． 由此，對于任意的正整數n，(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶數． 這個結論顯然是錯誤的，原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟，實際上，n＝1時，(1＋1)2＋(1＋2)2＝4＋9＝13不是偶數，這說明使用數學歸納法時缺第一步不可． 用數學歸納法證明，對于n∈N＋，＋＋＋…＋＝. 證明：(1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝， 所以等式成立． (2)假設n＝k時等式成立，即 ＋＋＋…＋＝， 當n＝k＋1時， ＋＋＋…＋＋ ＝＋＝. 由(1)(2)可知，對于任意的n∈N＋，所證等式都成立．

5、 專題二　數學歸納法證題的幾種技巧 在使用數學歸納法證明時，一般說來，第一步驗證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復雜．因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題，歸納假設“P(k)”是問題的條件，而命題P(k＋1)成立就是所要證明的結論，因此，合理運用歸納假設這一條件就成了歸納步驟中的關鍵，下面簡要分析一些常用技巧． 1．分析綜合法 用數學歸納法假設證明關于正整數n的不等式，從“P(k)”到“P(k＋1)”，常?？捎梅治鼍C合法． 求證：對任意正整數n，有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2成立． 提示：這是一個等式證明問題，它涉及

6、全體正整數，用數學歸納法證明．用數學歸納法證明恒等式，關鍵是第二步要用上假設，證明n＝k＋1時，原等式成立． 證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，所以原等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時，等式成立，即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2. 當n＝k＋1時，13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3 ＝(1＋2＋…＋k)2＋(k＋1)3 ＝2＋(k＋1)3＝2[k2＋4(k＋1)] ＝2＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2， 即當n＝k＋1時，原等式也成立． 綜合(1)(2)可知，對任何n∈N＋，原等式都成立． 設a，b為正數，n∈N＋，求證：

7、≥n. 提示：這是一個不等式證明問題，它涉及全體正整數n，用數學歸納法證明． 證明：(1)當n＝1時，≥，顯然成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時，不等式成立， 即≥k.則n＝k＋1時，要證明不等式成立，即證明≥k＋1. 在≥k的兩邊同時乘以，得 ≥k＋1. 要證明≥k＋1，只需證明 ≥. 因為≥ 2(ak＋1＋bk＋1)≥(a＋b)(ak＋bk) 2(ak＋1＋bk＋1)－(ak＋1＋abk＋bak＋bk＋1)≥0 ak＋1－abk－bak＋bk＋1≥0 (a－b)(ak－bk)≥0. 又a－b與(ak－bk)同正負(或同時為0)，所以最后一個不等式顯

8、然成立，這就證明了當n＝k＋1時，不等式成立． 綜合(1)(2)可知，對任何n∈N＋，不等式≥n成立． 2．放縮法 涉及關于正整數n的不等式，從“k”過渡到“k＋1”，有時也考慮用放縮法． 求證：1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． 提示：利用數學歸納法證明不等式關鍵是利用放縮、湊假設、湊結論．但要注意從n＝k變化到n＝k＋1時增加了多少項，減少了多少項，一般用f(k＋1)－f(k)研究增加或減少的項的多少． 證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝，左邊＞右邊， ∴不等式成立． (2)假設n＝k(k∈N＋，k≥1)時，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋

9、＞＋2k－1＝. ∴n＝k＋1時，不等式成立． 由(1)(2)可知：1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． 3．遞推法 用數學歸納法證明與數列有關的問題時，有時要利用an與an＋1的關系，實現從“k”到“k＋1”的過渡． 設0＜a＜1，定義a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求證：對一切正整數n，有1＜an＜. 提示：數列類問題用數學歸納法證明時，一般先用遞推公式，后用歸納假設． 證明：(1)當n＝1時，a1＞1，a1＝1＋a＜，顯然命題成立． (2)假設n＝k(k∈N＋，k≥1)時，命題成立，即1＜ak＜. 當n＝k＋1時，由遞推公式，知 ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. 同時，a

10、k＋1＝＋a＜1＋a＝＜， 故當n＝k＋1時，命題也成立，即1＜ak＋1＜. 綜合(1)(2)可知，對一切正整數n，有1＜an＜. 4．拼湊法 用數學歸納法證明關于正整數的命題(尤其是整除)時，從“k”過渡到“k＋1”常用拼湊法． 對于任意正整數n，求證：an－bn能被a－b整除(對于多項式A，B，如果存在多項式C，使得A＝BC，那么稱A能被B整除)． 提示：用數學歸納法證明問題時，關鍵在于弄清n由k到k＋1時，問題的變化情況，創(chuàng)造條件一定要用上歸納假設． 證明：(1)當n＝1時，an－bn＝a－b能被a－b整除． (2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時，ak－bk能被a－b

11、整除，那么當n＝k＋1時，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因為(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．這也就是說當n＝k＋1時，ak＋1－bk＋1能被a－b整除． 根據(1)(2)，由數學歸納法知對一切正整數n，an－bn都能被a－b整除． 5．幾何法 “幾何類”命題的證題關鍵是先要從證n＝k＋1時命題成立的結論中，分解出n＝k時命題成立的部分，然后去證余下的部分． 在同一平面內有n條直線，每兩條不平行，任意三條不共點，求證：它們將此平面分成個部分(n∈N＋)． 提

12、示：利用數學歸納法證明幾何問題，關鍵是找出由n＝k到n＝k＋1時所增加的項． 證明：設f(n)＝. (1)當n＝1時，一條直線將平面分成兩部分，f(1)＝2，故命題成立． (2)假設n＝k(k∈N＋，k≥1)時，k條直線將平面分成個部分． 當n＝k＋1時，第(k＋1)條直線與前k條直線交于k個點，使平面增加(k＋1)個部分，即將平面分成＋k＋1＝個部分，所以n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)得原命題成立． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375