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1、
課時作業(yè)17 從力做的功到向量的數量積
|基礎鞏固|(25分鐘，60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3
解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案：C
2．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，則a與b的夾角為( )
A. B.
C. D.
解析：因為|a|＝2，a·(b－a)＝－1，
所以a
2、3;(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，
所以a·b＝3.又因為|b|＝3，設a與b的夾角為θ，
則cosθ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：C
3．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模是( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.
3、
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．
答案：C
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則·＝( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：設∠CAB＝θ，∴||＝，
·＝||·||·cosθ＝·4cosθ＝16.
答案：D
5．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，則·＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：設||＝x，
則||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos∠ADB＝x·1
4、83;＝.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共15分)
6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏東60°方向，且|a|＝|b|＝1，則(－3a)·(a＋b)＝________.
解析：設a與b的夾角為θ，則θ＝120°，∴(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
7．已知|a|＝5，|b|＝8，a與b的夾角為60°，則b在a方向上的射影的數量等于________．
解析：|b|cos〈a，b〉＝
5、8cos60°＝4，所以b在a方向上的射影的數量等于4.
答案：4
8．若四邊形ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD＝60°，則|＋|＝________.
解析：∵四邊形ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD＝60°，∴∠DCB＝60°，∴|＋|2＝||2＋||2＋2·＝12＋12＋2×1×1cos∠DCB＝3，∴|＋|＝.
答案：
三、解答題(每小題10分，共20分)
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是60°，計算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；
(2)|4a－2b|.
解
6、析：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2
＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2
＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82
＝256.
∴|4a－2b|＝16.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)當λ為何值時，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？
解析：(1)由題意知|a|＝
7、2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，
∴cosθ＝－，∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，則(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
|能力提升|(20分鐘，40分)
11．(2015·高考四川卷)設四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4.若點M，N滿足＝3，＝2，則·＝( )
A．20 B．15
8、C．9 D．6
解析：如圖所示，由題設知：
＝＋＝＋，
＝－，
所以·＝·＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
答案：C
12．已知圓O是△ABC的外接圓，M是BC的中點，AB＝4，AC＝2，則·＝________.
解析：∵M是BC的中點，∴＝(＋)，又O是△ABC的外接圓圓心，∴·＝||||cos∠BAO＝||2＝8，同理可得·＝||2＝2，∴·＝(＋)·＝·＋·＝4＋1＝5.
答案：5
13．已知|a|＝1，a·
9、b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a與b的夾角；
(2)a－b與a＋b的夾角的余弦值．
解析：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴|a|2－|b|2＝.
∵|a|＝1，∴|b|＝＝.
設a與b的夾角為θ，則
cosθ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
即a，b的夾角為45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，
∴|a－b|＝.
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，
∴|a＋b|＝.
設a－b與a＋b的夾角為α，則
cosα＝＝＝.
即所求余弦
10、值為.
14．在四邊形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四邊形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，且·＝6，求與夾角的余弦值．
解析：(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以·＝0，
由＝2，得＝，＝＝－.
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由題意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，
11、所以18－·＝6，
所以·＝36，
又·＝||·||cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，
所以54cosθ＝36，即cosθ＝.
所以與夾角的余弦值為.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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