高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 平均不等式素材 新人教A版選修45

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1、 平均不等式 一、引入： 1．定理1：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”） 證明： 指出定理適用范圍： 強調(diào)取“=”的條件。 2．定理2：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”） 證明：∵ ∴ 即： 當(dāng)且僅當(dāng)時 注意：（1）這個定理適用的范圍：； （2）語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 3．定理3：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”） 證明：∵ ∵ ∴上式≥0 從而 指出：這里 ∵就不能保證。 推論：如果，那么。（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”） 證明： 4．算術(shù)—幾何平均不等式：

2、①如果 則：叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)； ②基本不等式： ≥（） 這個結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項式定理證明（這里從略） 語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 ③的幾何解釋： 以為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DD’^AB 則， 從而，而半徑。 二、典型例題： 例1 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：。 證：∵ 以上三式相加： ∴ 例2 設(shè)為正數(shù)，求證：。 例3 設(shè)，，，…，為正數(shù)，證明：。 例4 若，設(shè) 求證： 加權(quán)平均；算術(shù)平均；幾何平均；調(diào)和平均 證：∵ ∴即：（俗稱冪平均不等式） 由平均不等式 即： 綜上所述： 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375