（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 不等式選講 課時分層作業(yè) 六十三 2 證明不等式的基本方法 文.doc

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課時分層作業(yè) 六十三 證明不等式的基本方法 (45分鐘　60分) 1.(10分)已知a>0,b>0,求證:+≥+. 【證明】因為-(+) =+=+ ==≥0, 所以原不等式成立. 【一題多解】由于(+) = = =-1≥-1=1. 又a>0,b>0,>0. 所以+≥+. 2.(10分)已知a,b,c是全不相等的正實數(shù),求證:++>3. 【解題指南】根據(jù)a,b,c全不相等,推斷出與,與,與全不相等,然后利用基本不等式求得+>2,+>2,+>2,三式相加整理求得++>3,原式得證. 【證明】因為a,b,c全不相等, 所以與,與,與全不相等, 所以+>2,+>2,+>2,三式相加得,+++++>6, 所以++>3, 即++>3. 【變式備選】(2018南陽模擬)已知函數(shù)f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集為[-1,1]. (1)求k的值. (2)若a,b,c是正實數(shù),且++=1,求證:a+2b+3c≥9. 【解析】(1)因為f(x)=k-|x-3|, 所以f(x+3)≥0等價于|x|≤k, 由|x|≤k有解,得k≥0,且解集為[-k,k]. 因為f(x+3)≥0的解集為[-1,1].因此k=1. (2)由(1)知++=1,因為a,b,c為正實數(shù). 所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++= 3+++ ≥3+2 +2 +2 =9. 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時,等號成立. 因此a+2b+3c≥9. 3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1, 求證:≥9. 【解題指南】可將所證不等式左邊展開,運用已知和基本不等式可得證,也可以用x+y取代“1”,化簡左邊,然后再用基本不等式. 【證明】因為x>0,y>0, 所以1=x+y≥2.所以xy≤. 所以=1+++ =1++=1+≥1+8=9. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時,等號成立. 【一題多解】因為x+y=1,x>0,y>0, 所以= ==5+2 ≥5+22=9. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時, 等號成立. 4.(10分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下5個不等關(guān)系式子 ①-1>2-; ②2->-; ③->-2; ④-2>-; ⑤->2-. (1)上述五個式子有相同的不等關(guān)系,根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點,請你再寫出一個類似的不等式. (2)請寫出一個更一般的不等式,使以上不等式為它的特殊情況,并證明. 【解析】(1)-2>-3(答案不唯一). (2)->-. 證明:要證原不等式,只需證+>+, 因為不等式兩邊都大于0, 只需證2a+3+2 >2a+3+2, 只需證>, 只需證a2+3a+2>a2+3a, 只需證2>0,顯然成立,所以原不等式成立. 5.(10分)已知α∈(0,π),求證:2sin 2α≤ . 【證明】2sin 2α-=4sin αcos α- = =-, 因為α∈(0,π),所以sin α>0,1-cos α>0, 又(2cos α-1)2≥0,所以2sin 2α-≤0, 所以2sin 2α≤. 6.(10分)(2018泉州模擬)設(shè)a,b為正實數(shù),且+=2. (1)求a2+b2的最小值. (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值. 【解析】(1)由2=+≥2得ab≥,當(dāng)a=b=時取等號. 故a2+b2≥2ab≥1,當(dāng)a=b=時取等號. 所以a2+b2的最小值是1,當(dāng)且僅當(dāng) a=b=時取得最小值. (2)由(a-b)2≥4(ab)3得≥4ab. 即-≥4ab,從而ab+≤2. 又ab+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時取等號. 所以ab=1.