（浙江專版）2017-2018學年高中數學 第三章 函數的應用 3.1 函數與方程學案 新人教A版必修1.doc

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3.1 預習課本P86～88，思考并完成以下問題 (1)函數零點的定義是什么？ 　 (2)函數零點存在性定理要具備哪兩個條件？ (3)方程的根、函數的圖象與x軸的交點、函數的零點三者之間的聯系是什么？ 1．函數的零點 對于函數y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點． [點睛]　函數的零點不是一個點，而是一個實數，當自變量取該值時，其函數值等于零． 2．方程、函數、圖象之間的關系 方程f(x)＝0有實根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點． 3．函數零點的存在性定理 如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0.那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． [點睛]　定理要求具備兩條：①函數在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)f(b)＜0. 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)所有的函數都有零點．(　　) (2)若方程f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，則函數y＝f(x)的零點為(x1,0)(x2,0)．(　　) (3)若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，則一定有f(a)f(b)＜0.(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 2．函數f(x)＝log2x的零點是(　　) A．1　　　 B．2　 　　　C．3　　　　 D．4 答案：A 3．下列各圖象表示的函數中沒有零點的是(　　) 答案：D 4．函數f(x)＝x2－5x的零點是________． 答案：0,5 求函數的零點 [例1]　(1)判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出． (1) f (x)＝；(2) f (x)＝x2＋2x＋4； (3) f (x)＝2x－3；(4) f (x)＝1－log3x. [解]　(1)令＝0，解得x＝－3，所以函數f(x)＝的零點是x＝－3. (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－414＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0無實數根， 所以函數f(x)＝x2＋2x＋4不存在零點． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23. 所以函數f(x)＝2x－3的零點是x＝log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函數f(x)＝1－log3x的零點是x＝3. 函數零點的求法 求函數f(x)的零點時，通常轉化為解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有實數根，則函數f(x)存在零點，該方程的根就是函數f(x)的零點；否則，函數f(x)不存在零點．　　　　 [活學活用] 1．已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　) A. ，0　　　　　　　　 B．－2,0 C. D．0 判斷函數零點所在的區(qū)間 解析：選D　當x≤1時，令2x－1＝0，得x＝0.當x＞1時，令1＋log2x＝0，得x＝，此時無解．綜上所述，函數零點為0. [例2]　函數f(x)＝ln x－的零點所在的大致區(qū)間是 A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞) [解析]　∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0， ∴在(1,2)內f(x)無零點，A錯； 又f(3)＝ln 3－＞0， ∴f(2)f(3)＜0， ∴f(x)在(2,3)內有零點． [答案]　B 判斷函數零點所在區(qū)間的3個步驟 (1)代入：將區(qū)間端點值代入函數求出函數的值． (2)判斷：把所得的函數值相乘，并進行符號判斷． (3)結論：若符號為正且函數在該區(qū)間內是單調函數，則在該區(qū)間內無零點，若符號為負且函數連續(xù)，則在該區(qū)間內至少有一個零點．　　　　 [活學活用] 2．若函數f(x)＝x＋(a∈R)在區(qū)間(1,2)上有零點，則a的值可能是(　　) A．－2　　 　 B．0　　　 　C．1　　　 　 D．3 解析：選A　f(x)＝x＋(a∈R)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，逐個選項代入驗證，當a＝－2時，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點，同理，其他選項不符合，選A. 判斷函數零點的個數 [例3]　(1)f(x)＝的零點個數為(　　) A．3　　 　 B．2　　 　 　C．1　　 　　 D．0 (2)判斷函數f(x)＝ln x＋x2－3的零點的個數． (1)[解析]　當x≤0時，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)； 當x＞0時，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2. ∴函數的零點個數為2. [答案]　B (2)[解]　[法一　圖象法] 函數對應的方程為ln x＋x2－3＝0，所以原函數零點的個數即為函數y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點個數． 在同一坐標系下，作出兩函數的圖象(如圖)． 由圖象知，函數y＝3－x2與y＝ln x的圖象只有一個交點，從而ln x＋x2－3＝0有一個根， 即函數y＝ln x＋x2－3有一個零點． 　[法二　判定定理法] 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， ∴f(1)f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的圖象在(1,2)上是不間斷的，所以f(x)在(1,2)上必有零點， 又f(x)在(0，＋∞)上是遞增的，所以零點只有一個． 判斷函數存在零點的3種方法 (1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判斷解的個數，可通過方程的解來判斷函數是否存在零點或判斷零點的個數． (2)圖象法：由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標系內作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，根據兩個圖象交點的個數來判定函數零點的個數． (3)定理法：函數y＝f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f(a)f(b)＜0即可判斷函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點．若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是單調函數，則函數f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個零點．　　　　 [活學活用] 3．若abc≠0，且b2＝ac，則函數f(x)＝ax2＋bx＋c的零點的個數是________． 解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判別式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0， ∴Δ＝－3b2＜0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0無實根． ∴函數f(x)＝ax2＋bx＋c無零點． 答案：0 4．函數f(x)＝的圖象和函數g(x)＝log2x的圖象的交點個數是________． 解析：作出g(x)與f(x)的圖象如圖，由圖知f(x)與g(x)有3個交點． 答案：3 層級一　學業(yè)水平達標 1．函數f(x)＝x2－x－1的零點有(　　) A．0個　　　　　　　　 B．1個 C．2個 D．無數個 解析：選C　Δ＝(－1)2－41(－1)＝5＞0 ∴方程x2－x－1＝0有兩個不相等的實根， 故函數f(x)＝x2－x－1有2個零點． 2．函數f(x)＝2x2－3x＋1的零點是(　　) A．－，－1　　　　　　　　 B. ，1 C. ，－1 D．－，1 解析：選B　方程2x2－3x＋1＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝，所以函數f(x)＝2x2－3x＋1的零點是，1. 3．函數y＝x2－bx＋1有一個零點，則b的值為(　　) A．2 B．－2 C．2 D．3 解析：選C　因為函數有一個零點，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝2. 4．函數f(x)＝2x－的零點所在的區(qū)間是(　　) A．(1，＋∞) B. C. D. 解析：選B　由f(x)＝2x－，得 f ＝2－2＜0， f (1)＝2－1＝1＞0， ∴f f (1)＜0. ∴零點所在區(qū)間為. 5．下列說法中正確的個數是(　　) ①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零點為(－1,0)； ②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零點為－1； ③y＝f(x)的零點，即y＝f(x)的圖象與x軸的交點； ④y＝f(x)的零點，即y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標． A．1 B．2　　 　 　C．3　　 　　 D．4 解析：選B　根據函數零點的定義，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零點為－1，也就是函數y＝f(x)的零點，即y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．因此，只有說法②④正確，故選B. 6．函數f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零點有______個． 解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10) ＝(x－1)(x＋5)(x－2)， ∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2. 答案：3 7．若f(x)＝x＋b的零點在區(qū)間(0,1)內，則b的取值范圍為________． 解析：∵f(x)＝x＋b是增函數，又f(x)＝x＋b的零點在區(qū)間(0,1)內，∴ ∴∴－1＜b＜0. 答案：(－1,0) 8．函數f(x)＝ln x＋3x－2的零點個數是________． 解析：由f(x)＝ln x＋3x－2＝0，得ln x＝2－3x，設g(x)＝ln x，h(x)＝2－3x，圖象如圖所示，兩個函數的圖象有一個交點，故函數f(x)＝ln x＋3x－2有一個零點． 答案：1 9．判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出． (1)f(x)＝－x2＋2x－1； (2)f(x)＝x4－x2； (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1)． 解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1， 所以函數f(x)＝－x2＋2x－1的零點為1. (2)因為f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0， 所以x＝0或x＝1或x＝－1， 故函數f(x)＝x4－x2的零點為0，－1和1. (3)令4x＋5＝0，則4x＝－5＜0，方程4x＋5＝0無實數解． 所以函數f(x)＝4x＋5不存在零點． (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0， 所以函數f(x)＝log3(x＋1)的零點為0. 10．已知函數f(x)＝2x－x2，問方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內是否有解，為什么？ 解：因為f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0， f(0)＝20－02＝1＞0， 而函數f(x)＝2x－x2的圖象是連續(xù)曲線，所以f(x)在區(qū)間[－1,0]內有零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內有解． 層級二　應試能力達標 1．函數f(x)＝x3－4x的零點為(　　) A．(0,0)，(2,0)　　　　　　 B．(－2,0)，(0,0)，(2,0) C．－2,0,2 D．0,2 解析：選C　令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝2，故選C. 2．函數y＝x2＋a存在零點，則a的取值范圍是(　　) A．a＞0 B．a≤0 C．a≥0 D．a＜0 解析：選B　函數y＝x2＋a存在零點，則x2＝－a有解，所以a≤0. 3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)f(b)＜0，則f(x)＝0在[a，b]內(　　) A．至少有一個實根 B．至多有一個實根 C．沒有實根 D．有唯一實根 解析：選D　f(x)＝－x－x3的圖象在[a，b]上是連續(xù)的，并且是單調遞減的，又因為f(a)f(b)＜0，可得f(x)＝0在[a，b]內有唯一一個實根． 4．方程log3x＋x＝3的解所在的區(qū)間為(　　) A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：選C　令f(x)＝log3x＋x－3，則f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的區(qū)間為(2,3)． 5．已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，－2是它的一個零點，且在(0，＋∞)上是增函數，則該函數有________個零點，這幾個零點的和等于________． 解析：因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，且在(0，＋∞)上是增函數，所以f(0)＝0.又因為f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故該函數有3個零點，這3個零點之和等于0. 答案：3　0 6．對于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判斷： ①在(－2，－1)內有實數根； ②在(－1,0)內有實數根； ③在(1,2)內有實數根； ④在(－∞，＋∞)內沒有實數根． 其中正確的有________．(填序號) 解析：設f(x)＝x3＋x2－2x－1， 則f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0， f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0， f(2)＝7＞0， 則f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)內均有零點，即①②③正確． 答案：①②③ 7．已知函數f(x)＝x2－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，求函數f(x)的零點． (2)若函數f(x)一個零點大于1，另一個零點小于1，求b的取值范圍． 解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1. 所以f(x)的零點是1和3. (2)因為f(x)的零點一個大于1，另一個小于1，如圖． 需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4. 故b的取值范圍為(4，＋∞)． 8．已知函數f(x)＝－3x2＋2x－m＋1. (1)當m為何值時，函數有兩個零點、一個零點、無零點． (2)若函數恰有一個零點在原點處，求m的值． 解：(1)函數有兩個零點，則對應方程－3x2＋2x－m＋1＝0有兩個不相等的實數根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜； 由Δ＝0，可解得m＝； 由Δ＜0，可解得m＞. 故當m＜時，函數有兩個零點； 當m＝時，函數有一個零點； 當m＞時，函數無零點． (2)因為0是對應方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.