（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.4 簡單的三角恒等變換（第1課時(shí)）講義（含解析）.docx

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5.4　簡單的三角恒等變換 最新考綱 考情考向分析 1.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式． 2.掌握簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明. 三角恒等變換是三角變換的工具，主要考查利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡與求值，重在考查化簡、求值，公式的正用、逆用以及變式運(yùn)用，可單獨(dú)考查，也可與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、向量等知識(shí)綜合考查，加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí)．題型選擇、填空、解答均有可能出現(xiàn)，中低檔難度. 1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β)) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β)) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β)) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β)) tan(α－β)＝(T(α－β)) tan(α＋β)＝(T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝. 概念方法微思考 1．誘導(dǎo)公式與兩角和差的三角函數(shù)公式有何關(guān)系？ 提示　誘導(dǎo)公式可以看成和差公式中β＝k(k∈Z)時(shí)的特殊情形． 2．怎樣研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函數(shù)的性質(zhì)？ 提示　先根據(jù)輔助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，將f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)． 題組一　思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　√　) (2)對(duì)任意角α都有1＋sinα＝2.(　√　) (3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(　　) (4)公式tan(α＋β)＝可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對(duì)任意角α，β都成立．(　　) 題組二　教材改編 2．[P127T2]若cosα＝－，α是第三象限的角，則sin等于(　　) A．－B.C．－D. 答案　C 解析　∵α是第三象限角，∴sinα＝－＝－， ∴sin＝－＋＝－. 3．[P131T5]sin347cos148＋sin77cos58＝. 答案　 解析　sin347cos148＋sin77cos58 ＝sin(270＋77)cos(90＋58)＋sin77cos58 ＝(－cos77)(－sin58)＋sin77cos58 ＝sin58cos77＋cos58sin77 ＝sin(58＋77)＝sin135＝. 4．[P146A組T4(2)]tan10＋tan50＋tan10tan50＝. 答案　 解析　∵tan60＝tan(10＋50)＝， ∴tan10＋tan50＝tan60(1－tan10tan50) ＝－tan10tan50， ∴原式＝－tan10tan50＋tan10tan50＝. 題組三　易錯(cuò)自糾 5.＝. 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝＝sin30＝. 6．化簡：＝. 答案　 解析　原式＝ ＝＝＝. 7．已知θ∈，且sin＝，則tan2θ＝. 答案　－ 解析　方法一　sin＝，得sinθ－cosθ＝，① θ∈，①平方得2sinθcosθ＝， 可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝， ∴tanθ＝，tan2θ＝＝－. 方法二　∵θ∈且sin＝， ∴cos＝， ∴tan＝＝，∴tanθ＝. 故tan2θ＝＝－. 8．化簡：＝. 答案　4sinα 解析?。剑剑?sinα. 第1課時(shí)　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 題型一　和差公式的直接應(yīng)用 1．(2018嘉興檢測(cè))sin215－cos215的值為(　　) A.B.C．－D．－ 答案　C 解析　sin215－cos215＝－(cos215－sin215) ＝－cos30＝－，故選C. 2．已知tan＝，tan＝，則tan(α＋β)的值為(　　) A.B.C.D．1 答案　D 解析　∵tan＝，tan＝， ∴tan(α＋β)＝tan ＝ ＝＝1. 3．已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－β)的值為(　　) A．－B.C.D．－ 答案　A 解析　∵α∈，∴cosα＝－，tanα＝－， 又tanβ＝－， ∴tan(α－β)＝ ＝＝－. 4．計(jì)算的值為． 答案　 解析　＝ ＝＝＝. 思維升華 (1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征． (2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值． 題型二　和差公式的靈活應(yīng)用 命題點(diǎn)1　角的變換 例1(1)設(shè)α，β都是銳角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，則cosβ＝. 答案　 解析　依題意得sinα＝＝， 因?yàn)閟in(α＋β)＝α， 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－. 于是cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－＋＝. (2)(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知sin＝，則cos等于(　　) A．－B.C．－D. 答案　C 解析　設(shè)θ＝－α，則2θ＝－2α，∴2α＋＝π－2θ， ∴cos＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin2θ－1 ＝－1＝－. 命題點(diǎn)2　三角函數(shù)式的變換 例2(1)化簡： (0<θ<π)； (2)求值：－sin10. 解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0， ∴＝＝2cos. 又(1＋sinθ＋cosθ) ＝ ＝2cos ＝－2coscosθ， 故原式＝＝－cosθ. (2)原式＝－sin10 ＝－sin10 ＝－sin10 ＝－2cos10＝ ＝ ＝ ＝＝. 引申探究 化簡： (0<θ<π)． 解　∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin， 又1＋sinθ－cosθ＝2sincos＋2sin2 ＝2sin， ∴原式＝ ＝－cosθ. 命題點(diǎn)3　公式的逆用與變形 例3(1)已知sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，則sin(α－β)＝. 答案?。? 解析　∵sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝， ∴(sinα＋cosβ)2＝，(sinβ－cosα)2＝， 即sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＝，① sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝.② ①＋②得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sinαcosβ－sinβcosα)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，則sin(α－β)＝－. (2)已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，則cos(α＋β)的值為． 答案?。? 解析　∵tanα－tanβ＝－＝＝3，且α－β＝，∴cosαcosβ＝，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴sinαsinβ＝－，那么cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－. 思維升華 (1)解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系． (2)常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等． 跟蹤訓(xùn)練　(1)計(jì)算： ＝.(用數(shù)字作答) 答案　 解析　＝＝＝＝. (2)已知α∈，β∈，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，則sinβ＝. 答案　 解析　由已知可得sinα＝，sin(α＋β)＝， ∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝－＝. (3)若sinx＋cosx＝，則tan＝. 答案　 解析　由sinx＋cosx＝，得2sin＝，即sin＝，所以cos＝，所以tan＝，即tan＝tan＝. 用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行三角變換 三角變換的關(guān)鍵是找到條件和結(jié)論中的角和式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系．變換中可以通過適當(dāng)?shù)夭鸾?、湊角或?qū)κ阶诱w變形達(dá)到目的． 例(1)(2018紹興一中期中)(1＋tan21)(1＋tan20)(1＋tan25)(1＋tan24)的值為(　　) A．2B．4C．8D．16 答案　B 解析　(1＋tan21)(1＋tan20)(1＋tan25)(1＋tan24)＝[1＋tan(45－24)](1＋tan24)[1＋tan(45－25)](1＋tan25)＝(1＋tan24)(1＋tan25)＝(1＋tan24)(1＋tan25)＝4，故選B. (2)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為． 答案　 解析　∵α為銳角且cos＝>0， ∴α＋∈，∴sin＝. ∴sin＝sin ＝sin2cos－cos2sin ＝sincos－ ＝－ ＝－＝. (3)已知sinα＝，α∈，則＝. 答案?。? 解析?。? ＝cosα－sinα， ∵sinα＝，α∈， ∴cosα＝－，∴原式＝－. 1．(2018臺(tái)州模擬)已知cosα＝1，則sin等于(　　) A.B.C．－D．－ 答案　C 解析　因?yàn)閏osα＝1，所以sinα＝0，則sin ＝sinαcos－cosαsin＝－sin＝－，故選C. 2．(2018溫州檢測(cè))已知α是第二象限角，且tanα＝－，則sin2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵襱anα＝－， 所以sinα＝，cosα＝－， 所以sin2α＝2sinαcosα＝2＝－， 故選C. 3．(2018衢州模擬)設(shè)a＝cos50cos127＋cos40sin127，b＝(sin56－cos56)，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b 答案　D 解析　a＝sin40cos127＋cos40sin127 ＝sin(40＋127)＝sin167＝sin13， b＝(sin56－cos56)＝sin56－cos56 ＝sin(56－45)＝sin11， c＝＝cos239－sin239＝cos78 ＝sin12， ∵sin13>sin12>sin11，∴a>c>b. 4．已知α為銳角，若sin＝，則cos等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于α為銳角，且sin＝， 則cos＝， 則cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝＋＝，故選A. 5．(2018紹興一中期中)已知sinα＝＋cosα，且α∈，則的值為(　　) A．－B．－C.D. 答案　A 解析　由sinα＝＋cosα可得sinα－cosα＝， 即sin＝，可得sin＝>0， 又α∈，則α－∈， 可得cos＝＝， 則＝ ＝＝－2cos ＝－，故選A. 6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，則cos(α－β)的值為(　　) A．－B.C．－D. 答案　D 解析　因?yàn)棣痢剩?α∈(0，π)， 因?yàn)閏osα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－， 所以sin2α＝＝， 而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin(α＋β)＝＝， 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β) ＝＋＝. 7．已知銳角α，β滿足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，則α，β的大小關(guān)系是(　　) A．α<<β B．β<<α C.<α<β D.<β<α 答案　B 解析　∵α為銳角，sinα－cosα＝>0，∴<α<. 又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝， ∴tan(α＋β)＝＝， ∴α＋β＝，又α>，∴β<<α. 8．(2018杭州二中期中)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，則cos等于(　　) A.B．－C.D．－ 答案　C 解析　因?yàn)?<α<，－<β<0， 所以<＋α<，<－<， 所以sin＝，sin＝， 所以cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝＋＝，故選C. 9.的值是． 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝＝. 10.＝. 答案　 解析?。? ＝＝. 11．(2018浙江第二次聯(lián)盟校聯(lián)考)已知cos2＝，則sin2α的值為． 答案　 解析　因?yàn)閏os2＝＝＝，所以sin2α＝. 12．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值． 解　依題意可將已知條件變形為 sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－. 又β是第三象限角，所以cosβ＝－. 所以sin＝－sin ＝－sinβcos－cosβsin ＝＋＝. 13．若α∈，且3cos2α＝sin，則sin2α的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由3cos2α＝sin可得 3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)， 又由α∈可知，cosα－sinα≠0， 于是3(cosα＋sinα)＝， 所以1＋2sinαcosα＝，故sin2α＝－.故選C. 14．已知coscos＝，求sin4θ＋cos4θ的值． 解　因?yàn)閏oscos ＝ ＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝. 所以cos2θ＝. 故sin4θ＋cos4θ＝2＋2 ＝＋＝. 15．化簡：＝. 答案?。? 解析　原式＝＝ ＝－4tan(45＋15)＝－4. 16．設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，求sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍． 解　由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，∴α－β＝， ∴ 即≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin＋sin(α－2α＋π) ＝cosα＋sinα＝sin. ∵≤α≤π， ∴≤α＋≤， ∴－1≤sin≤1， 即取值范圍為[－1,1]．