江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 解析幾何 第1講 直線(xiàn)與圓學(xué)案.doc

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第1講　直線(xiàn)與圓 [考情考向分析]　高考考查重點(diǎn)是求直線(xiàn)和圓的方程、直線(xiàn)間的平行和垂直關(guān)系、距離、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，此類(lèi)問(wèn)題難度屬于中檔，偶爾出現(xiàn)解答題．其中直線(xiàn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程是C級(jí)要求． 熱點(diǎn)一　直線(xiàn)、圓的方程 例1　(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線(xiàn)l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且＝2，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)___________． 答案　x－y－1＝0 解析　方法一　易知l的斜率必存在，設(shè)l：y＝k(x－1)．由＝2，可設(shè)BM＝2t，MA＝t，如圖， 過(guò)原點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，則BH＝.設(shè)OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5，在Rt△OMH中，d2＋2＝OM2＝1，解得d2＝.所以d2＝＝，解得k＝1或k＝－1，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，＝2，由圖知k＝1，所以l：x－y－1＝0. 方法二　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．因?yàn)椋?，所以有即 又代入可得 解得x1＝2，代入可得y1＝1，又點(diǎn)A在第一象限，故A(2,1)，由點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)可得直線(xiàn)AB的方程為x－y－1＝0. (2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線(xiàn)l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線(xiàn)l1所得的弦長(zhǎng)為2，且與直線(xiàn)l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為_(kāi)_______． 答案　(x＋1)2＋y2＝4 解析　由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a＞－2，半徑為r，則 解得 ∴圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4. 思維升華　求具備一定條件的直線(xiàn)或圓的方程時(shí)，其關(guān)鍵是尋找確定直線(xiàn)或圓的兩個(gè)幾何要素，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，解題時(shí)要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用． 跟蹤演練1　(1)過(guò)點(diǎn)P(－4,0)的直線(xiàn)l與圓C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_______． 答案　x3y＋4＝0 解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則CD⊥AB， 設(shè)CD＝d，AD＝x，則PA＝AB＝2x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5，① 在Rt△PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝CP2＝25，② 由①②解得d2＝. 易知直線(xiàn)l的斜率一定存在，設(shè)為k， 則l：y＝k(x＋4)， 圓心C(1,0)到直線(xiàn)l的距離為d＝＝， 解得k2＝，k＝， 所以直線(xiàn)l的方程為y＝(x＋4)， 即為x3y＋4＝0. (2)若圓上一點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線(xiàn)x＋2y＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線(xiàn)x－y＋1＝0相交的弦長(zhǎng)為2，則圓的方程為_(kāi)_______________________． 答案　(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244 解析　設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線(xiàn)x＋2y＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓上， 說(shuō)明圓心在直線(xiàn)x＋2y＝0上，即a＋2b＝0，① 且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.② 而圓與直線(xiàn)x－y＋1＝0相交的弦長(zhǎng)為2， 故r2－2＝2，③ 由①②③，解得或 所以所求圓的方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52 或(x－14)2＋(y＋7)2＝244. 熱點(diǎn)二　直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例2　(2018江蘇儀征中學(xué)檢測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A， B. (1)若直線(xiàn)l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，MN＝AB，求直線(xiàn)l的方程； (2)在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2＋PB2＝12 ？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝4， 所以圓心C，半徑為2. 因?yàn)閘∥AB, A， B，所以直線(xiàn)l的斜率為＝1， 設(shè)直線(xiàn)l的方程為x－y＋m＝0, 則圓心C到直線(xiàn)l的距離為d＝＝. 因?yàn)镸N＝AB＝＝2， 而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2, 解得m＝0或m＝－4， 故直線(xiàn)l的方程為x－y＝0或x－y－4＝0. (2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P， 則2＋y2＝4， PA2＋PB2＝2＋2＋2＋2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋2＝4, 因?yàn)?<2＋2，所以圓2＋y2＝4與圓x2＋2＝4相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2. 思維升華　(1)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法： ①幾何法：利用d與r的關(guān)系； ②代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷； ③點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線(xiàn)與圓相交． (2)判斷圓與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法，其步驟為： ①確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)； ②利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，r1＋r2，|r1－r2|； ③比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫(xiě)出結(jié)論． 跟蹤演練2　(1)設(shè)直線(xiàn)y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若AB＝2，則圓C的面積為_(kāi)_______． 答案　4π 解析　圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，半徑r＝，C到直線(xiàn)y＝x＋2a的距離d＝＝.又由AB＝2， 得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2， 所以圓C的面積為π(a2＋2)＝4π. (2)(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝2，點(diǎn)A(2,0)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足MA2＋MO2≤10，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是________． 答案　 解析　設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2＋MO2≤10， 所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10, 即x2＋y2－2x－3≤0， 因?yàn)?x＋1)2＋y2＝2，所以y2＝2－(x＋1)2， 所以x2＋2－(x＋1)2－2x－3≤0， 化簡(jiǎn)得x≥－. 因?yàn)閥2＝2－(x＋1)2，所以y2≤， 所以－≤y≤. 熱點(diǎn)三　 直線(xiàn)、圓的綜合問(wèn)題 例3　如圖所示，已知圓A的圓心在直線(xiàn)y＝－2x上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x＋y－1＝0對(duì)稱(chēng)，又圓A與直線(xiàn)l1：x＋2y＋7＝0相切，過(guò)點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線(xiàn)l與l1相交于點(diǎn)P. (1)求圓A的方程； (2)當(dāng)MN＝2時(shí)，求直線(xiàn)l的方程； (3)(＋)是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)由圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x＋y－1＝0對(duì)稱(chēng)知圓心A在直線(xiàn)x＋y－1＝0上．由得A(－1,2)，設(shè)圓A的半徑為R，∵圓A與直線(xiàn)l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2， ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，連結(jié)AQ，則AQ⊥MN， ∵M(jìn)N＝2，∴AQ＝＝1. 由AQ＝＝1，得k＝， ∴直線(xiàn)l的方程為3x－4y＋6＝0， ∴所求直線(xiàn)l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP，∴＝0， ∴(＋)＝2＝2(＋) ＝2； 當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，得P， 則＝，又＝(1,2)， ∴(＋)＝2＝－10； 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋2)， 由解得P， ∴＝， ∴(＋)＝2 ＝2＝－10， 綜上所述，(＋)為定值－10. 思維升華　直線(xiàn)、圓的綜合問(wèn)題包括和圓有關(guān)的定點(diǎn)定值問(wèn)題、范圍問(wèn)題及探究性問(wèn)題．解決的基本思路有兩種：代數(shù)法和幾何法，解題時(shí)要注意充分利用方程、向量及圖形的特征． 跟蹤演練3　(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)． (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線(xiàn)x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線(xiàn)l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線(xiàn)l的方程； (3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿(mǎn)足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得＋＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解　(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6,7)，半徑r＝5， 由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)． 且＝b＋5. 解得b＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)∵kOA＝2， ∴可設(shè)l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0. 又BC＝OA＝＝2. 由題意，圓M的圓心M(6,7)到直線(xiàn)l的距離為 d＝＝＝2. 即＝2，解得m＝5或m＝－15. ∴直線(xiàn)l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)由＋＝，則四邊形AQPT為平行四邊形， 又∵P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，∴PQ≤2r＝10. ∴TA＝PQ≤10，即≤10， 解得2－2≤t≤2＋2. 故所求t的取值范圍為[2－2，2＋2]． 1．(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線(xiàn)l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)l交于另一點(diǎn)D.若＝0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　3 解析　設(shè)A(a,2a)，則a＞0. 又B(5,0)，故以AB為直徑的圓的方程為(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0. 由題意知C. 由 解得或∴D(1,2)． 又＝0，＝(5－a，－2a)，＝， ∴(5－a，－2a)＝a2－5a－＝0， 解得a＝3或a＝－1. 又a＞0，∴a＝3. 2．圓心在直線(xiàn)y＝－4x上，且與直線(xiàn)x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________． 答案　(x－1)2＋(y＋4)2＝8 解析　方法一　設(shè)圓心為(a，－4a)，則有r＝＝，解得a＝1，r＝2，則圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 方法二　過(guò)點(diǎn)P(3，－2)且垂直于直線(xiàn)x＋y－1＝0的直線(xiàn)方程為x－y－5＝0，聯(lián)立方程組 解得則圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑為r＝ ＝2，故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 3．(2018江蘇省南京師大附中模擬)已知直線(xiàn)x－y＋b＝0與圓x2＋y2＝9交于不同的兩點(diǎn)A，B.若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且|＋|≥||，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______． 答案　(－3，－]∪[，3) 解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則＋＝2，故||≥||，即2≥2，再由直線(xiàn)與圓的弦長(zhǎng)公式可得，AB＝2(d為圓心到直線(xiàn)的距離)，又直線(xiàn)與圓相交，故d0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圓M的方程為2＋y2＝1. (2)由已知可設(shè)AC的斜率為k1，BC的斜率為k2，則直線(xiàn)AC的方程為y＝k1x＋t，直線(xiàn)BC的方程為y＝k2x＋t＋6. 由方程組 得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0＝. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝6＝， ∵圓M與AC相切，∴1＝，∴k1＝， 同理， k2＝，∴k1－k2＝， ∴S＝＝6，∵－5≤t≤－2， ∴－2≤t＋3≤1，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4， ∴Smax＝6＝，Smin＝6＝， ∴△ABC的面積S的最大值為，最小值為. A組　專(zhuān)題通關(guān) 1．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(－5,4)且與坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為5，則此直線(xiàn)方程為_(kāi)_______． 答案　2x＋5y－10＝0 解析　設(shè)所求直線(xiàn)在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則直線(xiàn)方程為＋＝1，a>0，b>0. 依題意有解得 故所求直線(xiàn)方程為2x＋5y－10＝0. 2．已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線(xiàn)x＋2y＝0相切，則圓O的方程是________________________________________________________________________． 答案　(x＋5)2＋y2＝5 解析　設(shè)圓心為(a,0)(a＜0)， 則r＝＝，解得a＝－5. 所以圓O的方程是(x＋5)2＋y2＝5. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____． 答案　 解析　圓心為點(diǎn)(2，－1)，半徑r＝2. 圓心到直線(xiàn)的距離d＝＝， 所以弦長(zhǎng)為2＝2 ＝. 4．已知點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)是圓O：x2＋y2＝1內(nèi)一點(diǎn)，直線(xiàn)tx＋2ty＝m與圓O相切，則直線(xiàn)x＋y＋m＝0與圓O的位置關(guān)系是________． 答案　相交 解析　由點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)是圓O：x2＋y2＝1內(nèi)一點(diǎn)， 得|t|<1. 因?yàn)橹本€(xiàn) tx＋2ty＝m圓O相切，所以＝1， 所以|m|<1. 又圓O：x2＋y2＝1的圓心O(0,0)到直線(xiàn)x＋y＋m＝0的距離d＝<1＝r. 所以位置關(guān)系為“相交”． 5．過(guò)原點(diǎn)O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，則線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_______________． 答案　4 解析　∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x－3)2＋(y－4)2＝5， 可知圓心為C(3,4)，半徑為. 如圖可知，CO＝5， ∴OP＝＝2. 設(shè)OC與PQ的交點(diǎn)為M， 在Rt△POC中， OCPM＝OPPC， ∴PM＝＝2.∴PQ＝2PM＝4. 6．(2018無(wú)錫期末)過(guò)圓x2＋y2＝16內(nèi)一點(diǎn)P(－2,3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，則四邊形ACBD的面積為_(kāi)_______． 答案　19 解析　根據(jù)題意畫(huà)圖，連結(jié)OP，OA ，過(guò)O 作OE⊥AB ，OF⊥CD ，∴E 為AB 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為CD 的中點(diǎn)，又AB⊥CD ，AB＝CD ，∴四邊形EPFO 為正方形， 由圓的方程得圓心O(0,0)，半徑r＝4 ，OP2＝2＋32＝13，OE2＝ AE2＝OA2－OE2＝16－＝， ∴AE＝，∴AB＝CD＝， ∴S四邊形ACBD＝ABCD＝19. 7．若⊙O1：x2＋y2＝5與⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是________． 答案　4 解析　由題意知O1(0,0)，O2(m,0)，且＜|m|＜3， 又O1A⊥AO2， ∴m2＝()2＋(2)2＝25，∴m＝5， ∴AB＝2＝4. 8．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM＋PN的最小值為_(kāi)_______． 答案　5－4 解析　由條件可知，兩圓的圓心均在第一象限，先求PC1＋PC2的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1′(2，－3)，則(PC1＋PC2)min＝C1′C2＝5. 所以(PM＋PN)min＝5－4. 9．已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線(xiàn)l：y＝x－1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，則過(guò)圓心且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)的方程為_(kāi)___________． 答案　x＋y－3＝0 解析　由題意，設(shè)所求的直線(xiàn)方程為x＋y＋m＝0， 設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意知， 2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1， 又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以a＝3， 故圓心坐標(biāo)為(3,0)． 因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線(xiàn)上， 所以3＋0＋m＝0，即m＝－3， 故所求的直線(xiàn)方程為x＋y－3＝0. 10．已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)． (1)求k的取值范圍； (2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN. 解　(1)由題設(shè)可知，直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋1， 因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1. 解得

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本文標(biāo)題：江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 解析幾何 第1講 直線(xiàn)與圓學(xué)案.doc
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