（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線及其標準方程學案 新人教A版選修2-1.doc

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2.3.1　雙曲線及其標準方程 學習目標　1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單問題． 知識點一　雙曲線的定義 思考　若取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線，那么曲線上的點應(yīng)滿足怎樣的幾何條件？ 答案　如圖，曲線上的點滿足條件：|MF1|－|MF2|＝常數(shù)；如果改變一下筆尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常數(shù)，可得到另一條曲線． 梳理　(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距； (2)關(guān)于“小于|F1F2|”：①若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點)；②若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡不存在． (3)若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動點的軌跡只有雙曲線的一支． (4)若常數(shù)為零，其余條件不變，則點的軌跡是線段F1F2的中垂線． 知識點二　雙曲線的標準方程 思考　雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何？與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？ 答案　雙曲線標準方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c與b大小不確定． 梳理　(1)雙曲線兩種形式的標準方程 焦點所在的坐標軸 x軸 y軸 標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 焦點坐標 F1(－c,0)， F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) a，b，c的關(guān)系式 a2＋b2＝c2 (2)焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上． (1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線．() (2)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線．() (3)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．() 類型一　雙曲線定義的應(yīng)用 例1　(1)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　B 解析　由雙曲線的定義，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6， 即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(負值舍去)，故選B. (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　C 解析　由題意，得 解得 又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形， 則＝|PF1||PF2|＝24. 反思與感悟　焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上．雙曲線的焦點位置不確定時可設(shè)其標準方程為Ax2＋By2＝1(AB＜0)． 跟蹤訓練1　在△ABC中，已知|AB|＝4，A(－2，0)，B(2，0)，且內(nèi)角A，B，C滿足sinB－sinA＝sinC，求頂點C的軌跡方程． 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 解　由sin B－sin A＝sin C及正弦定理， 可得b－a＝， 從而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|， 由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支． ∵a＝，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝6， ∴頂點C的軌跡方程為－＝1(x＞)． 類型二　求雙曲線的標準方程 例2　求適合下列條件的雙曲線的標準方程． (1)焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12)； (2)雙曲線上兩點P1，P2的坐標分別為(3，－4)，. 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程 解　(1)∵雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴雙曲線的標準方程為－＝1. (2)設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 則解得 ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 反思與感悟　待定系數(shù)法求方程的步驟 (1)定型：確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸． (2)設(shè)方程：根據(jù)焦點位置設(shè)出相應(yīng)的標準方程的形式， ①若不知道焦點的位置，則進行討論，或設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． ②與雙曲線－＝1(a>0，b>0)共焦點的雙曲線的標準方程可設(shè)為－＝1(－b2－1 C．m>3 D．m<－1 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數(shù) 答案　B 解析　依題意應(yīng)有m＋1>0，即m>－1. 2．已知F1(－8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則P點的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．直線 D．一條射線 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　D 解析　F1，F(xiàn)2是定點，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點P的軌跡應(yīng)為一條射線． 3．(2018屆浙江東陽中學期中)△ABC的頂點為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4) 答案　C 解析　由條件可得，圓與x軸的切點為T(3,0)，由相切的性質(zhì)得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<10＝|AB|，因此點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支． 由2a＝6,2c＝10， 得a＝3，b＝4， 所求的雙曲線方程為－＝1.考慮到點C不在直線AB上，故選C. 4．經(jīng)過點P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是___________． 考點　雙曲線標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求雙曲線標準方程 答案?。? 解析　設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 則解得 故雙曲線的標準方程為－＝1. 5．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則a的值為________． 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數(shù) 答案　1 解析　由題意知解得a＝1. 1．雙曲線定義的理解 (1)定義中距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支．設(shè)F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點， 若|MF1|－|MF2|＝2a，則點M在右支上； 若|MF2|－|MF1|＝2a，則點M在左支上． (2)雙曲線定義的雙向運用： ①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，則動點M的軌跡為雙曲線； ②若動點M在雙曲線上，則||MF1|－|MF2||＝2a. 2．求雙曲線標準方程的步驟 (1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式． (2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解． 特別提醒：若焦點的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，為簡單起見，常標明條件mn<0. 一、選擇題 1．雙曲線2x2－y2＝8的焦距是(　　) A．2B．2C．4D．4 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數(shù) 答案　C 解析　因為雙曲線方程可化為－＝1， 所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4. 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個焦點，若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交，且所得弦長|AB|＝m，則△ABF2的周長為(　　) A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　C 解析　不妨設(shè)|AF2|＞|AF1|，由雙曲線的定義， 知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a， 于是△ABF2的周長l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故選C. 3．若k∈R，則“k>5”是“方程－＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數(shù) 答案　A 解析　當k>5時，方程表示雙曲線；反之，當方程表示雙曲線時，k>5或k<2.故選A. 4．已知雙曲線－＝1的一個焦點是(0,2)，則實數(shù)m的值是(　　) A．1B．－1C．－D. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數(shù) 答案　B 解析　由焦點坐標，知焦點在y軸上，∴m<0， ∴雙曲線的標準方程為－＝1， ∴－m－3m＝4，∴m＝－1. 5．已知雙曲線的中心在原點，一個焦點為F1(－，0)，點P在雙曲線上，且線段PF1的中點的坐標為(0,2)，則此雙曲線的方程是(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程 答案　B 解析　由已知條件，得焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝5.① ∵線段PF1的中點的坐標為(0,2)， ∴點P的坐標為(，4)，將其代入雙曲線的方程， 得－＝1.② 由①②解得a2＝1，b2＝4，∴雙曲線的方程為x2－＝1. 6．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2等于(　　) A.B.C.D. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　C 解析　由雙曲線定義知，|PF1|－|PF2|＝2， 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2＝4. ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝＝. 7．已知雙曲線C：x2－＝1的右焦點為F，P是雙曲線C的左支上一點，M(0,2)，則△PFM的周長的最小值為(　　) A．2＋4 B．4＋2 C．3 D．2＋3 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　A 解析　依題意可知，c＝2，a＝1， 所以|MF|＝2，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a， F1為左焦點，當M，P，F(xiàn)1三點共線時， |PM|＋|PF1|最小，最小值為|MF1|，|MF1|＝2， 故周長的最小值為2＋2＋2＝2＋4. 二、填空題 8．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的左、右焦點，PQ是過焦點F1的弦，且PQ的傾斜角為60，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值為________． 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　16 解析　在雙曲線－＝1中，2a＝8， 由雙曲線定義，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8， 所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16. 9．若曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為________． 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數(shù) 答案　(2，＋∞) 解析　由曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點在x軸上的雙曲線，可得－＝1， 即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2. 10．已知雙曲線的兩個焦點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點，且＝0，|PF1||PF2|＝2，則雙曲線的標準方程為________________． 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程 答案?。瓂2＝1 解析　由題意可設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)． 由＝0，得PF1⊥PF2. 根據(jù)勾股定理，得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝20. 根據(jù)雙曲線定義有|PF1|－|PF2|＝2a. 兩邊平方并代入|PF1||PF2|＝2， 得20－22＝4a2，解得a2＝4， 從而b2＝5－4＝1， 所以雙曲線方程為－y2＝1. 11．過雙曲線－＝1的一個焦點作x軸的垂線，則垂線與雙曲線的一個交點到兩焦點的距離分別為________． 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　， 解析　因為雙曲線方程為－＝1， 所以c＝＝13. 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點， 則F1(－13,0)，F(xiàn)2(13,0)． 設(shè)過F1且垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(－13，y)(y＞0)，則＝－1＝， 所以y＝，即|AF1|＝. 又|AF2|－|AF1|＝2a＝24， 所以|AF2|＝24＋＝. 即所求距離分別為，. 三、解答題 12．已知與雙曲線－＝1共焦點的雙曲線過點P，求該雙曲線的標準方程． 考點　雙曲線標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程 解　已知雙曲線－＝1， 由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5. 設(shè)所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 依題意知b2＝25－a2， 故所求雙曲線方程可寫為－＝1. ∵點P在所求雙曲線上， ∴－＝1， 化簡得4a4－129a2＋125＝0， 解得a2＝1或a2＝. 當a2＝時，b2＝25－a2＝25－＝－＜0， 不合題意，舍去， ∴a2＝1，b2＝24， ∴所求雙曲線的標準方程為x2－＝1. 13．已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2. (1)若點M在雙曲線上，且＝0，求M點到x軸的距離； (2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點，且過點(3，2)，求雙曲線C的方程． 考點　雙曲線標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程 解　(1)如圖所示，不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點到x軸的距離為h，＝0， 則MF1⊥MF2， 設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由雙曲線定義，知m－n＝2a＝8，① 又m2＋n2＝(2c)2＝80，② 由①②得mn＝8， ∴mn＝4＝|F1F2|h， ∴h＝. (2)設(shè)所求雙曲線C的方程為 －＝1(－4<λ<16)， 由于雙曲線C過點(3，2)， ∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴所求雙曲線C的方程為－＝1. 四、探究與拓展 14．若雙曲線－y2＝1(n＞1)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為(　　) A．1B.C．2D．4 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應(yīng)用 答案　A 解析　設(shè)點P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2， 已知|PF1|＋|PF2|＝2， 解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－， |PF1||PF2|＝2. 又|F1F2|＝2， 則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以△PF1F2為直角三角形， 且∠F1PF2＝90， 于是＝|PF1||PF2|＝2＝1. 故選A. 15．已知△OFQ的面積為2，且＝m，其中O為坐標原點． (1)設(shè)＜m＜4，求與的夾角θ的正切值的取值范圍； (2)設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q，如圖所示，||＝c，m＝c2，當||取得最小值時，求此雙曲線的標準方程． 考點　雙曲線標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程 解　(1)因為 所以tan θ＝. 又＜m＜4， 所以1＜tan θ＜4， 即tan θ的取值范圍為(1,4)． (2)設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)， Q(x1，y1)，則＝(x1－c，y1)， 所以S△OFQ＝|||y1|＝2，則y1＝. 又＝m，即(c,0)(x1－c，y1)＝c2， 解得x1＝c， 所以||＝＝≥＝2， 當且僅當c＝4時，取等號，||最小， 這時Q的坐標為(，)或(，－)． 因為所以 于是所求雙曲線的標準方程為－＝1.