江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 高考提能 五大技巧簡化幾何的綜合問題學(xué)案.doc

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五大技巧，簡化解析幾何運(yùn)算 解析幾何是通過建立平面直角坐標(biāo)系，用方程的觀點(diǎn)來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性．解析幾何題目的難度很大程度上體現(xiàn)在運(yùn)算上，但有時(shí)運(yùn)算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達(dá)到“望題興嘆”的地步．因此，探索減輕運(yùn)算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程就成了突破解析幾何問題的關(guān)鍵． 技巧一　利用定義，回歸本質(zhì) 例1　(1)已知點(diǎn)F為拋物線y2＝－8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，A在拋物線上，且AF＝4，則PA＋PO的最小值是__________． 答案　2 解析　如圖，可求A，再求A關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線x＝2的對稱點(diǎn)A′，因此PA＋PO＝PA′＋PO，當(dāng)O，P，A′三點(diǎn)共線時(shí)PA＋PO取到最小值．即min＝A′O＝＝2. (2)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是________． 答案　 解析　由已知，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 設(shè)雙曲線C2的實(shí)半軸長為a， 由橢圓及雙曲線的定義和已知， 可得解得a2＝2， 故a＝.所以雙曲線C2的離心率e＝＝. 跟蹤演練1　 (1)已知橢圓＋＝1內(nèi)有兩點(diǎn)A(1,3)，B(3,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，則PA＋PB的最大值為______． 答案　15 解析　由橢圓方程可知點(diǎn)B為橢圓的右焦點(diǎn)， 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為B′，由橢圓的定義可知PB＝2a－PB′＝10－PB′， 則PA＋PB＝10＋， 很明顯，max＝AB′ ＝＝5， 據(jù)此可得PA＋PB的最大值為10＋5＝15. (2)拋物線y2＝4mx(m＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動點(diǎn)，若點(diǎn)A(－m,0)，則的最小值為______． 答案　 解析　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由拋物線的定義， 知PF＝xP＋m，又PA2＝(xP＋m)2＋y ＝(xP＋m)2＋4mxP，則2 ＝＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)xP＝m時(shí)取等號)， 所以≥，所以的最小值為. 技巧二　設(shè)而不求，整體代換 例2　(1)已知直線l交橢圓4x2＋5y2＝80于M，N兩點(diǎn)，橢圓與y軸的正半軸交于B點(diǎn)，若△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，則直線l的方程是___________________________． 答案　6x－5y－28＝0 解析　由4x2＋5y2＝80得＋＝1， ∴橢圓上頂點(diǎn)為B(0,4)，右焦點(diǎn)F(2,0)為△BMN的重心，故線段MN的中點(diǎn)為C(3，－2)． 直線l的斜率存在，設(shè)為k， ∵點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上， ∴ ∴4(x1－x2)(x1＋x2)＋5(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∴k＝＝－＝－＝. ∴直線l的方程為y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0. (2)設(shè)橢圓C：＋＝1與函數(shù)y＝tan 的圖象相交于A1，A2兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是________． 答案　 解析　由題意，得A1，A2兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱， 設(shè)A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)， 則＋＝1，＋＝1， 即y＝(4－x)，y＝(4－x)， 兩式相減整理，得 ＝－＝－. 因?yàn)橹本€PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]， 所以－2≤≤－1， 所以－2≤－≤－1，解得≤≤ 跟蹤演練2　(2018全國大聯(lián)考江蘇卷)已知橢圓M: ＋＝1(a>b>0)的離心率為，過其左焦點(diǎn)F(－c,0)的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為D(－4,2)，則橢圓M的方程是________． 答案?。? 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x1＋x2＝－8，y1＋y2＝4. 將A，B的坐標(biāo)分別代入M的方程中得 兩式相減，化簡得＝， 又因?yàn)锳，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共線，所以＝＝，所以a2＝b2(c－4)． 由解得 所以橢圓M的方程為＋＝1. 技巧三　根與系數(shù)的關(guān)系，化繁為簡 例3　已知橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與F1，F(xiàn)2構(gòu)成面積為2的正方形． (1)求橢圓Γ的方程； (2)直線l與橢圓Γ在y軸的右側(cè)交于點(diǎn)P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2，PQ的垂直平分線交x軸于A點(diǎn)，且＝，求直線l的方程． 解　(1)因?yàn)闄E圓C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，所以b＝c， 因?yàn)镾＝a2＝2，所以a＝，b＝c＝1， 故橢圓Γ的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的斜率存在， 設(shè)直線l：y＝kx＋m，顯然k≠0， 由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0， 因?yàn)閤1,2＝ 所以x1＋x2＝，x1x2＝， Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，(*) y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝， y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m ＝k(x1＋x2)＋2m＝， 由＝0，得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝0，得3m2－1＋4km＝0，即k＝， PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)C， 所以線段PQ的中垂線AB的方程為y－ ＝－， 令y＝0，可得A， 由＝，得＝， 將k＝代入上式，得＝， 即6m4－17m2－3＝0，解得m2＝3， 所以m＝，k＝－或m＝－，k＝， 經(jīng)檢驗(yàn)滿足(*)式，所以直線PQ的方程為 2x＋y－3＝0或2x－y－3＝0. 跟蹤演練3　(2018連云港期末)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A, B兩點(diǎn)，若＝2，則直線AB的斜率為________． 答案　2 解析　當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不滿足題意． ∵拋物線C的焦點(diǎn)F(1,0)， 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)， 聯(lián)立可得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1,2＝， 則x1＋x2＝，x1x2＝1， y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，① ∵＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)， ∴＝2，即∴② ①②聯(lián)立可得，x2＝，y2＝－， 代入拋物線方程y2＝4x可得k2＝8， 故 k＝2. 技巧四　平幾助力，事半功倍 例4　(1)已知直線y＝kx＋1(k≠0)交拋物線x2＝4y于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長為2，則k＝________. 答案　1 解析　直線y＝kx＋1恒過定點(diǎn)， 則EF＝y(tǒng)E＋yF＋p， 圓心到x軸的距離為d＝，圓的半徑為r＝， 聯(lián)立消去x得，y2－2y＋1＝0， 則yE＋yF＝2， 所以根據(jù)垂徑定理有2＝2＋2， 代入計(jì)算得k＝1. (2)已知P是拋物線y2＝4x上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓C：2＋2＝1上，點(diǎn)R是點(diǎn)P在y軸上的射影，則PQ＋PR的最小值是________． 答案　3 解析　根據(jù)拋物線的定義，可知PR＝PF－1，而PQ的最小值是PC－1， 所以PQ＋PR的最小值就是PF＋PC－2的最小值， 當(dāng)C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PF＋FC最小，最小值是CF＝＝5 ， 所以PQ＋PR的最小值是3. 跟蹤演練4　已知拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F與雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上，且AK＝AF，則△AFK的面積為___________． 答案　32 解析　雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為點(diǎn)(4,0)，即為拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)，所以＝4，即p＝8，所以拋物線的方程為y2＝16x，其準(zhǔn)線為x＝－4，所以K(－4,0)，過A作AM垂直于準(zhǔn)線，垂足為M，則AM＝AF，所以AK＝AM，所以∠MAK＝45，所以AM＝MK＝AF，從而易知四邊形AMKF為正方形，所以KF＝AF，所以△AFK的面積為KF2＝32. 技巧五　巧設(shè)參數(shù)，方便計(jì)算 例5　(2018無錫期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M是橢圓C：＋y2＝1上位于第一象限的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則四邊形OAMB的面積的最大值為________． 答案　 解析　S四邊形OAMB＝S△OAB＋S△AMB＝＝(2＋d)，其中d為點(diǎn)M到直線AB的距離，當(dāng)M到直線AB距離最遠(yuǎn)時(shí)S四邊形OAMB取得最大值，設(shè)M(2cos θ，sin θ)，直線AB：x＋2y－2＝0，所以d＝＝≤，故S四邊形OAMB的最大值為. 跟蹤演練5　過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，若AF＝3，則△AOB的面積為________． 答案　 解析　設(shè)∠AFx＝θ(0＜θ＜π)及BF＝m， ∵AF＝3，∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x＝－1的距離為3， ∴2＋3cos θ＝3，∴cos θ＝， ∵m＝2＋mcos(π－θ)，∴m＝＝， ∵cos θ＝，0＜θ＜π，∴sin θ＝， ∴△AOB的面積為S＝ OFABsin θ＝ 1＝.