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階段滾動檢測（五）
一、選擇題
1．(2018陜西質(zhì)檢)已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6<0}，則A∩B等于( )
A．? B．{x|2
4的解集為( )
A. B.
C. D.
4．在等差數(shù)列{an}中，a7＝8，前7項和S7＝42，則其公差d等于( )
A．－B.C．－D.
5．(2018衡水聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移個單位長度，再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列關于函數(shù)y＝g(x)的說法錯誤的是( )
A．最小正周期為π
B．圖象關于直線x＝對稱
C．圖象關于點對稱
D．初相為
6．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(a＋2b)，則a與b的夾角的余弦值為( )
A.B.C．－D．－
7．(2018玉溪統(tǒng)考)設l，m，n為直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中真命題的個數(shù)為( )
①若l⊥α，l⊥β，則α∥β；
②若l⊥α，l∥β，則α⊥β；
③若α⊥β，l∥α，則l⊥β；
④若m∥n，m⊥α，則n⊥α.
A．0B．1C．2D．3
8．(2019長春質(zhì)檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為( )
A．1B.C.D.
9．(2019化州一模)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，當3x＋4y取得最小值時，x＋2y的值為( )
A.B．2C.D．5
10．在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cosA等于( )
A.B.C．－D．－
11．設雙曲線C：－＝1的右焦點為F，過F作漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若d是雙曲線上任一點P到直線MN的距離，則的值為( )
A.B.C.D．無法確定
12．(2018河南南陽第一中學模擬)設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋2)－f(x)＝0，當0≤x≤1時，f(x)＝x2，又g(x)＝k，若方程f(x)＝g(x)恰有兩解，則k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、填空題
13．在等比數(shù)列{an}中，2a3，，3a1成等差數(shù)列，則＝________.
14．已知t∈R，i為虛數(shù)單位，復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1z2是實數(shù)，則t＝________.
15．(2018衡水聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x，若曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線經(jīng)過圓C：x2＋(y－a)2＝2的圓心，則實數(shù)a的值為________．
16.如圖是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象，
給出下列命題：
①－2是函數(shù)y＝f(x)的極值點；
②1是函數(shù)y＝f(x)的極小值點；
③y＝f(x)在x＝0處切線的斜率大于零；
④y＝f(x)在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞減．
則正確命題的序號是________．
三、解答題
17．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，求b＋c的取值范圍．
18.在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AB，AB∶AD∶CD＝2∶∶1.
(1)證明：BD⊥PC；
(2)求二面角A－PC－D的余弦值；
(3)設點Q為線段PD上的一點，且直線AQ與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．
19．已知函數(shù)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋(ω>0)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸方程；
(2)若函數(shù)y＝f(x)－在(0，π)上的零點為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
20．(2018廣西三市聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)．
(1)求a的值及數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(1－an)log3(aan＋1)，求數(shù)列的前n項和Tn.
21．已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．
22．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，橢圓的右焦點為(1,0)，離心率為e＝，直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點，且kOAkOB＝－.
(1)求橢圓的方程及△AOB的面積；
(2)在橢圓上是否存在一點P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出|OP|的取值范圍，若不存在，請說明理由．
答案精析
1．C 2.C 3.D 4.D 5.C 6.D
7．D [①②④正確；對于③，若α⊥β，l∥α，則l∥β或l?β或l與β相交，故③錯誤．]
8．D [連接A1D，與AD1交于點O，連接OC1，在正方體中，
∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥A1D，
又A1D⊥AD1，且AD1∩AB＝A，
∴A1D⊥平面AD1C1B，
∴∠A1C1O即為所求角，
在Rt△A1C1O中，sin∠A1C1O＝，
∴A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為.]
9．B [∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，
∴＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋3
≥＋2＝5，
當且僅當＝，即x＝2y＝1時取等號，x＋2y的值為2.]
10．C [如圖所示，作AD⊥BC交BC于點D，
設BC＝3，則AD＝BD＝1，AB＝，AC＝.由余弦定理得32＝()2＋()2－2cosA，
解得cosA＝－.]
11．B [由題意得，直線MN的方程為x＝，
設P(x，y)，則d＝，
|PF|＝
＝
＝＝，
∴＝＝，故選B.]
12．D [∵f(x＋2)－f(x)＝0，∴f(x)是周期為2的函數(shù)，根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，過點A時斜率為，相切時斜率為1，過點B時斜率為，過點C時斜率為－，故選D.
]
13. 14.－ 15.－2
16．①③④
解析 ①由導數(shù)圖象可知，當x<－2時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當x>－2時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴－2是函數(shù)y＝f(x)的極小值點，
∴①正確．
②當x>－2時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴1不是函數(shù)y＝f(x)的極小值點，
∴②錯誤．
③當x>－2時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴y＝f(x)在x＝0處切線的斜率大于零，∴③正確．
④當x<－2時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴y＝f(x)在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞減，∴④正確．
故正確命題的序號是①③④.
17．解 (1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cosA－2＝0，
即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，
解得cosA＝或cosA＝－2(舍)，
∵02，∴20，
且0－有解．
設G(x)＝－，
所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝2－1，
所以G(x)min＝G(1)＝－1.
所以a>－1.
所以實數(shù)a的取值范圍是(－1，＋∞)．
(2)由h(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，得
當x∈[1,4]時，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因為x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此時x＝4)，
所以a≥－，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
22．解 (1)由已知c＝1，＝，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴橢圓的方程為＋＝1，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A，B不在坐標軸上，
則A，B的坐標滿足
消去y，化簡得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
由Δ>0得4k2－m2＋3>0，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝k2＋km＋m2
＝.
∵kOAkOB＝－，∴＝－，
即y1y2＝－x1x2，
∴＝，
即2m2－4k2＝3，
∵|AB|＝
＝
＝＝.
點O到直線y＝kx＋m的距離d＝，
∴S△AOB＝d|AB|＝
＝
＝＝.
(2)若存在平行四邊形OAPB使P在橢圓上，
則＝＋，
設P(x0，y0)，
則x0＝x1＋x2＝－，
y0＝y(tǒng)1＋y2＝，
∵P在橢圓上，∴＋＝1，
從而化簡得＋＝1，
化簡得4m2＝3＋4k2，①
由kOAkOB＝－，知2m2－4k2＝3.②
聯(lián)立方程①②知m＝0，故不存在P在橢圓上的平行四邊形．
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