（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第19講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 理 新人教A版.docx

第19講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)(下表中kZ)函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x圖像定義域RRxxR,且xk+2,kZ值域周期性22奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性2k-2,2k+2上為增函數(shù);上為減函數(shù)2k,2k+上為減函數(shù);上為增函數(shù)k-2,k+2上為增函數(shù)對稱中心k+2,0k2,0對稱軸x=k+2無常用結(jié)論1.函數(shù)y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期T=2|,函數(shù)y=tan(x+)的最小正周期T=|.2.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.3.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asin x或y=Atan x的形式,偶函數(shù)一般可化為y=Acos x+b的形式.題組一常識題1.教材改編 函數(shù)y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.教材改編 若函數(shù)y=Asin x+1(A>0)的最大值是3,則它的最小值是.3.教材改編 函數(shù)y=2cos x在-,0上是函數(shù),在0,上是函數(shù).4.教材改編 函數(shù)f(x)=tanx-1的定義域為.題組二常錯題索引:忽視y=Asin x(或y=Acos x)中A對函數(shù)單調(diào)性的影響;忽視函數(shù)的定義域;忽視正、余弦函數(shù)的有界性;忽視正切函數(shù)的周期性.5.函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間是.6.函數(shù)y=cos xtan x的值域是.7.函數(shù)y=-cos2x+3cos x-1的最大值為 .8.函數(shù)y=tanx+4圖像的對稱中心是.探究點一三角函數(shù)的定義域例1 (1)函數(shù)f(x)=2-log2x+tanx+3的定義域為.(2)函數(shù)y=ln(2cos x+1)+sinx的定義域為.總結(jié)反思 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角函數(shù)不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖像來求解.變式題 (1)函數(shù)y=sinx-cosx的定義域為.(2)函數(shù)f(x)=sinx-13+2sinx的定義域是.探究點二三角函數(shù)的值域或最值例2 (1)函數(shù)y=2cos 2x-sin x+1的最大值是.(2)2018滄州質(zhì)檢 已知x-4,6,則函數(shù)f(x)=2cos xsinx+3-3sin2x+sin xcos x的最大值與最小值之和為.總結(jié)反思 求解三角函數(shù)的值域(最值)的幾種方法:形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù),化為y=Asin(x+)+k的形式,再求值域(最值);形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sin x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值);形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sin xcos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).變式題 (1)函數(shù)f(x)=sinx-4-cosx-4的最大值為()A.2B.2C.22D.22(2)函數(shù)y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是.探究點三三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題微點1三角函數(shù)的周期性例3 (1)在函數(shù)y=cos|2x|,y=|cos x|,y=cos2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.B.C.D.(2)若函數(shù)f(x)=1+asinax+6(a>0)的最大值為3,則f(x)的最小正周期為.總結(jié)反思 (1)公式法:函數(shù)y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的最小正周期T=2|,y=Atan(x+)的最小正周期T=|;(2)圖像法:利用三角函數(shù)圖像的特征求周期.微點2三角函數(shù)的對稱性例4 (1)2018廣西賀州聯(lián)考 若函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有一條相同的對稱軸,則稱這兩個函數(shù)互為同軸函數(shù).下列四個函數(shù)中,與f(x)=12x2-x互為同軸函數(shù)的是()A.g(x)=cos(2x-1)B.g(x)=sin xC.g(x)=tan xD.g(x)=cos x(2)2018重慶合川區(qū)三模 函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的圖像關(guān)于直線x=3對稱,它的最小正周期為,則函數(shù)f(x)的圖像的一個對稱中心是()A.3,0B.12,0C.512,0D.-12,0總結(jié)反思 (1)對于函數(shù)f(x)=Asin(x+),其圖像的對稱軸一定經(jīng)過函數(shù)圖像的最高點或最低點,對稱中心一定是函數(shù)的零點,因此在判斷直線x=x0或點(x0,0)是否是函數(shù)圖像的對稱軸或?qū)ΨQ中心時,可通過檢驗f(x0)的值進(jìn)行判斷.(2)函數(shù)圖像的對稱性與周期T之間有如下結(jié)論:若函數(shù)圖像相鄰的兩條對稱軸分別為x=a與x=b,則最小正周期T=2|b-a|;若函數(shù)圖像相鄰的兩個對稱中心分別為(a,0),(b,0),則最小正周期T=2|b-a|;若函數(shù)圖像相鄰的對稱中心與對稱軸分別為(a,0)與x=b,則最小正周期T=4|b-a|.微點3三角函數(shù)的單調(diào)性例5 (1)2018烏魯木齊一檢 已知3為函數(shù)f(x)=sin(2x+)0<<2的一個零點,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.2k-512,2k+12(kZ) B.2k+12,2k+712(kZ)C.k-512,k+12(kZ)D.k+12,k+712(kZ)(2)2018合肥一中月考 已知>0,函數(shù)f(x)=cosx+3在3,2上單調(diào)遞增,則的取值范圍是()A.23,103B.23,103C.2,103D.2,103總結(jié)反思 (1)形如y=Asin(x+)的函數(shù)的單調(diào)性問題,一般是將x+看成一個整體,再結(jié)合圖像利用y=sin x的單調(diào)性求解;(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負(fù)值,要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值,再確定其單調(diào)性.應(yīng)用演練1.【微點3】2018西安八校聯(lián)考 已知函數(shù)f(x)=cos(x+)(0<<)在x=3處取得最小值,則f(x)在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.3,B.3,23C.0,23D.23,2.【微點3】2018浙江余姚中學(xué)月考 設(shè)f(x)=cos x,若a=f(ln 2),b=f(ln ),c=fln13,則下列關(guān)系式正確的是()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c3.【微點2】2019九江一中月考 已知函數(shù)f(x)=Asinx+6的圖像上相鄰兩個對稱中心之間的距離為2,則函數(shù)的對稱軸方程可能是()A.x=1B.x=14C.x=23D.x=-14.【微點1】2018上海金山區(qū)二模 函數(shù)y=3sin2x+3的最小正周期T=.第19講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考試說明 1.能畫出函數(shù)y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等),理解正切函數(shù)在區(qū)間-2,2內(nèi)的單調(diào)性.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.-1,1-1,1R奇函數(shù)偶函數(shù)2k+2,2k+322k-,2k(k,0)x=k對點演練1.解析 最小正周期T=2=22=.2.-1解析 依題意得A+1=3,所以A=2,所以函數(shù)y=2sin x+1的最小值為1-2=-1.3.增減解析 由余弦函數(shù)的單調(diào)性,得函數(shù)y=2cos x在-,0上是增函數(shù),在0,上是減函數(shù).4.4+k,2+k(kZ)解析 由題意知tan x1,所以4+kx<2+k(kZ).5.2k-,2k(kZ)解析 函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間即函數(shù)y=-cos x的單調(diào)遞減區(qū)間,即函數(shù)y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間,即為2k-,2k(kZ).6.(-1,1)解析 x2+k(kZ),y=cos xtan x=sin x,y=sin x(-1,1),即函數(shù)y=cos xtan x的值域是(-1,1).7.1解析 設(shè)t=cos x,則-1t1,所以y=-t2+3t-1=-t-322+54,當(dāng)t=1時,函數(shù)取得最大值1.8.k2-4,0(kZ)解析 由x+4=k2(kZ),得x=k2-4(kZ),所以函數(shù)y=tanx+4圖像的對稱中心為k2-4,0(kZ).【課堂考點探究】例1思路點撥 根據(jù)偶次根式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及正切函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于x的不等式組求解.(1)x0<x4且x6且x76(2)x2kx<2k+23,kZ解析 (1)依題意得2-log2x0,x+3k+2,kZ,得0<x4且xk+6,kZ,所以函數(shù)f(x)的定義域是x0<x4且x6且x76.(2)由題意得2cosx+1>0,sinx0,即cosx>-12,sinx0,解得2k-23<x<2k+23,kZ,2kx2k+,kZ,所以2kx<2k+23,kZ,所以函數(shù)的定義域為x2kx<2k+23,kZ.變式題(1)x2k+4x2k+54,kZ(2)x2k-3<x<2k+43,kZ解析 (1)由題意知sin x-cos x0.作出函數(shù)y=sin x和y=cos x的圖像,如圖所示.在0,2內(nèi),滿足sin x=cos x的x的值為4,54,再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,得原函數(shù)的定義域為x2k+4x2k+54,kZ.(2)依題意知,3+2sin x>0,即sin x>-32,結(jié)合函數(shù)y=sin x的圖像(圖略),可得函數(shù)f(x)的定義域為x2k-3<x<2k+43,kZ.例2思路點撥 (1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為以sin x為自變量的二次函數(shù)求最值;(2)將函數(shù)化為f(x)=Asin(x+)+k的形式,再利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.(1)4916(2)1解析 (1)由題知,y=2cos 2x-sin x+1=2-4sin2x-sin x+1=-4sinx+182+4916,當(dāng)sin x=-18時,函數(shù)取得最大值,最大值為4916.(2)由題可知,f(x)=2cos xsinxcos3+cosxsin3-3sin2x+sin xcos x=2sin xcos x+3cos2x-3sin2x=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3. 因為x-4,6,所以2x+3-6,23,所以當(dāng)2x+3=2,即x=12時,函數(shù)取得最大值,即為2sin2=2;當(dāng)2x+3=-6,即x=-4時,函數(shù)取得最小值,即為2sin-6=-1.所以最大值與最小值之和為2-1=1.變式題(1)B(2)-2-2,178解析 (1)f(x)=sinx-4-cosx-4=2sinx-4-4=2sinx-2=-2cos x,當(dāng)x=(2k+1)(kZ)時,f(x)取得最大值2.(2)令t=cos x-sin x,則t=2cosx+4-2,2,又t2=1-2sin xcos x,所以sin xcos x=1-t22,所以y=t+41-t22=-2t2+t+2=-2t-142+178.因為t-2,2,所以當(dāng)t=14時,y取得最大值178;當(dāng)t=-2時,y取得最小值-2-2.所以函數(shù)的值域是-2-2,178.例3思路點撥 (1)根據(jù)三角函數(shù)的周期性,求出各個函數(shù)的最小正周期,從而得出結(jié)論;(2)首先求出參數(shù)a,再求最小正周期.(1)A(2)解析 (1)對于,y=cos|2x|=cos 2x,則它的最小正周期為22=;對于,y=|cos x|的最小正周期為1221=;對于,y=cos2x+6的最小正周期為22=;對于,y=tan2x-4的最小正周期為2.故選A.(2)函數(shù)f(x)=1+asinax+6(a>0)的最大值為1+a,1+a=3,a=2,因此f(x)的最小正周期為2a=.例4思路點撥 (1)函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=1,逐一驗證各選項,可得符合條件的函數(shù);(2)由周期求出=2,再由圖像關(guān)于直線x=3對稱,求得=-6,進(jìn)而可求得f(x)的圖像的對稱中心.(1)D(2)B解析 (1)易知f(x)=12x2-x的圖像關(guān)于直線x=1對稱.對于選項A,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=12+k2(kZ);對于選項B,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=12+k(kZ);對于選項C,函數(shù)g(x)的圖像不存在對稱軸;對于選項D,函數(shù)g(x)的圖像的對稱軸為直線x=k(kZ),當(dāng)k=1時,其中有一條對稱軸為直線x=1,符合題意.故選D.(2)由題意可得2=,=2,f(x)=Asin(2x+).函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱,f3=Asin23+=A,即sin23+=1.|<2,=-6,故函數(shù)f(x)=Asin2x-6.令2x-6=k,kZ,可得x=k2+12,kZ,故函數(shù)f(x)的圖像的對稱中心為k2+12,0,kZ.結(jié)合選項可知, 函數(shù)f(x)的圖像的一個對稱中心是12,0.故選B.例5思路點撥 (1)由條件求出,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)先求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,由3,2是所求單調(diào)遞增區(qū)間的子集得出的取值范圍.(1)C(2)C解析 (1)3為函數(shù)f(x)=sin(2x+)0<<2的一個零點,f3=sin23+=0,23+=k(kZ),解得=k-23(kZ).0<<2,=3,f(x)=sin2x+3,令-2+2k2x+32+2k(kZ),則k-512xk+12(kZ),故選C.(2)令2k-x+32k,kZ,>0,2k-43x2k-3,kZ,函數(shù)f(x)=cosx+3的單調(diào)遞增區(qū)間為2k-43,2k-3,kZ.f(x)在3,2上單調(diào)遞增,22k-3,32k-43,kZ,解得6k-44k-23,kZ.由題意知,2-3122,0<6,2103.應(yīng)用演練1.A解析 函數(shù)f(x)=cos(x+)(0<<)在x=3處取得最小值,cos3+=-1,3+=+2k,kZ,又0<<,=23,即f(x)=cosx+23.令-+2kx+232k,kZ,解得-53+2kx-23+2k,kZ,又x0,k=1,f(x)在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間是3,故選A.2.C解析 因為函數(shù)f(x)=cos x是偶函數(shù),所以c=fln13=f(ln 3).因為0<ln 2<ln 3<ln <,且函數(shù)f(x)在0,上單調(diào)遞減,所以f(ln 2)>f(ln 3)>f(ln ),即a>c>b.故選C.3.C解析 由題可知,函數(shù)的最小正周期T=22=4,所以=24=2.令2x+6=k+2,kZ,解得x=2k+23,kZ,結(jié)合選項可知,x=23滿足條件.故選C.4.解析 易知T=22=.【備選理由】 例1考查余弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)在指定區(qū)間上的值域問題;例2考查根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)無最值求參數(shù)范圍的問題;例3考查抽象函數(shù)比較大小的問題,考查函數(shù)的單調(diào)性和對稱性以及三角函數(shù)的知識,是較好的綜合題;例4綜合考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性,并結(jié)合充要條件進(jìn)行考查.例1配合例2使用 已知函數(shù)f(x)=1+4cos x-4sin2x,x-4,23,則f(x)的值域為.答案 -4,5解析 f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4cosx+122-4,因為x-4,23,所以cos x-12,1,所以4cosx+122-4-4,5,故函數(shù)f(x)的值域為-4,5.例2配合例2使用 若函數(shù)f(x)=sinx+6(>0)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有最值,則的取值范圍是()A.0,11214,23B.0,1613,23C.14,23D.13,23解析 B由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間為k+2,k+32,kZ.由k+2x+6k+32,kZ,得k+3xk+43,kZ.函數(shù)f(x)=sinx+6(>0)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有最值,函數(shù)f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)單調(diào),(,2)k+3,k+43,kZ,即k+3,k+432,kZ,解得k+13k2+23,kZ.由k+13<k2+23,kZ,得k<23,kZ, 當(dāng)k=0時,得1323;當(dāng)k=-1時,得-2316,又>0,故0<16.綜上得,的取值范圍是0,1613,23.故選B.例3配合例4使用 2018豫西南示范性高中聯(lián)考 已知定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,若,是鈍角三角形中的兩個銳角,則f(sin )和f(cos )的大小關(guān)系為()A.f(sin )>f(cos )B.f(sin )<f(cos )C.f(sin )=f(cos )D.以上情況均有可能解析 B已知f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,可得到f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對稱,故函數(shù)f(x)是偶函數(shù).因為,為鈍角三角形中的兩個銳角,所以+<2,所以<2-,故得到sin <sin2-=cos ,且sin (0,1),cos (0,1).因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故f(sin )<f(cos ).故選B.例4配合例5使用 2018四川雙流中學(xué)一模 “=34”是“函數(shù)y=cos 2x與函數(shù)y=sin(2x+)在區(qū)間0,4上的單調(diào)性相同”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 A由題意可得,函數(shù)y=cos 2x在區(qū)間0,4上單調(diào)遞減.當(dāng)=34時,函數(shù)y=sin2x+34,x0,4,可得2x+3434,54,函數(shù)y=sin2x+34在區(qū)間0,4上單調(diào)遞減,充分性成立;易知當(dāng)=23時,函數(shù)y=sin(2x+)在區(qū)間0,4上也單調(diào)遞減,必要性不成立.“=34”是“函數(shù)y=cos 2x與函數(shù)y=sin(2x+)在區(qū)間0,4上的單調(diào)性相同”的充分不必要條件.