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8＋6分項練2 不等式與推理證明
1．(2018北京海淀區(qū)模擬)已知x>y>0，則( )
A.> B.x>y
C．cos x>cos y D．ln(x＋1)>ln(y＋1)
答案 D
解析 因為當x>y>0時，<，x
0，b>0)
B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案 D
解析 由AC＝a，BC＝b，可得圓O的半徑r＝，
又OC＝OB－BC＝－b＝，
則FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根據(jù)題圖知FO≤FC，即≤，當且僅當a＝b時取等號．故選D.
8．(2018河南省南陽市第一中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，且00時，－<0，
(1)當－≤－<0，即a≥2時，最優(yōu)解為A，
z＝＋a＝，a＝3，滿足a≥2；
(2)當－<－，即00，
(3)當0<－<，即a<－2時，最優(yōu)解為C(－2，－2)，z＝－2－2a＝，a＝－，滿足a<－2；
(4)當－≥，即－2≤a<0時，最優(yōu)解為B，z＝3＋a＝，a＝，不滿足－2≤a<0，舍去．
綜上，實數(shù)a的值為3或－.
11．(2018上饒模擬)若x，y滿足約束條件則的最小值為________．
答案
解析 畫出x，y滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)．
的幾何意義為可行域內(nèi)的動點P(x，y)與定點Q(－2，－1)連線的斜率，
當P位于A(－1,1)時，直線PQ的斜率最大，
此時kmax＝＝2，
當P位于B(1,1)時，直線PQ的斜率最小，
此時kmin＝＝.
12．(2018南平模擬)若實數(shù)x，y滿足且z＝mx＋ny(m>0，n>0)的最大值為4，則＋的最小值為________．
答案 2
解析 作出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)．
由可行域知可行域內(nèi)的點(x，y)均滿足x≥0，y≥0.
所以要使z＝mx＋ny(m>0，n>0)最大，只需x最大，y最大即可，即在點A處取得最大值．
聯(lián)立解得A(2,2)．
所以有2m＋2n＝4，即m＋n＝2.
＋＝(m＋n)＝≥(2＋2)＝2.
當且僅當m＝n＝1時，＋取得最小值2.
13．(2018宣城調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2x－sin x，若正實數(shù)a，b滿足f(a)＋f(2b－1)＝0，則＋的最小值是________．
答案 9＋4
解析 因為f′(x)＝2－cos x>0，f(－x)＝－2x＋sin x＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
因此由f(a)＋f(2b－1)＝0，
得f(a)＝－f(2b－1)＝f(1－2b)，
所以a＝1－2b，a＋2b＝1，
因此＋＝＝9＋＋≥9＋2＝9＋4，當且僅當a＝，b＝時取等號．
14．(2018漳州質(zhì)檢)分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學．分形的外表結構極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段EF做相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：
記第n個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關數(shù)列{Sn}的四個命題：
①數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；
②數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列；
③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn>2 018；
④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn<2 018.
其中真命題是________．(請寫出所有真命題的序號)
答案 ②④
解析 由題意，得圖1中的線段為a，S1＝a，
圖2中的正六邊形的邊長為，
S2＝S1＋4＝S1＋2a，
圖3中的最小正六邊形的邊長為，
S3＝S2＋4＝S2＋a，
圖4中的最小正六邊形的邊長為，
S4＝S3＋4＝S3＋，
由此類推，Sn－Sn－1＝(n≥2)，
即{Sn}為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列，
即①錯誤，②正確；
因為Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)
＝a＋2a＋a＋＋…＋＝a＋
＝a＋4a<5a，n≥2，
又S1＝a<5a，
所以存在最大的正數(shù)a＝，
使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn<2 018，
即④正確，③錯誤．
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