廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢六 數(shù)列（B） 文.docx

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單元質(zhì)檢六　數(shù)列(B) (時(shí)間:45分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分) 1.已知等差數(shù)列{an}的公差和首項(xiàng)都不等于0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則a1+a5+a9a2+a3=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.5 D.7 答案B 解析設(shè){an}的公差為d.由題意,得a42=a2a8, ∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),∴d2=a1d. ∵d≠0,∴d=a1,∴a1+a5+a9a2+a3=15a15a1=3. 2.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}中,若a3=1,a2+a4=52,則a1=(　　) A.2 B.4 C.2 D.22 答案B 解析設(shè){an}的公比為q.由已知,得a1q2=1,a1q+a1q3=52, ∴q+q3q2=52,q2-52q+1=0, ∴q=12(q=2舍去),∴a1=4. 3.(2018河北唐山期末)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若{Sn+λ}為等比數(shù)列,則λ=(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案B 解析由題意,得{an}是等比數(shù)列,公比為2, ∴Sn=2n-1,Sn+λ=2n-1+λ. ∵{Sn+λ}為等比數(shù)列,∴-1+λ=0, ∴λ=1,故選B. 4.(2018陜西西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 答案C 解析設(shè){an}的公差為d. ∵S6>S7>S5, ∴6a1+652d>7a1+762d>5a1+542d, ∴a7<0,a6+a7>0, ∴S13=13(a1+a13)2=13a7<0, S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)>0, ∴滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為12,故選C. 5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n=(　　) A.80 B.26 C.30 D.16 答案C 解析設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q. ∵Sn=2,S3n=14,∴a1(1-qn)1-q=2,a1(1-q3n)1-q=14, 解得qn=2,a11-q=-2. ∴S4n=a11-q(1-q4n)=-2(1-16)=30.故選C. 6.(2018河南洛陽一模)《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,現(xiàn)自上而下取第1,3,9節(jié),則這3節(jié)的容積之和為(　　) A.133升 B.176升 C.199升 D.2512升 答案B 解析設(shè)自上而下各節(jié)的容積分別為a1,a2,…,a9,公差為d, ∵上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升, ∴a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a9+a8+a7=3a1+21d=4, 解得a1=1322,d=766, ∴自上而下取第1,3,9節(jié),這3節(jié)的容積之和為a1+a3+a9=3a1+10d=31322+10766=176(升). 二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分) 7.在3和一個(gè)未知數(shù)之間填上一個(gè)數(shù),使三數(shù)成等差數(shù)列.若中間項(xiàng)減去6,則三數(shù)成等比數(shù)列,則此未知數(shù)是　　　　　　　　. 答案3或27 解析設(shè)此三數(shù)為3,a,b,則2a=3+b,(a-6)2=3b,解得a=3,b=3或a=15,b=27.故這個(gè)未知數(shù)為3或27. 8.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an=an-12+2an-1(n≥2),若bn=1an+1+1an+2(n∈N*),則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=　　　　　. 答案1-122n-1 解析當(dāng)n≥2時(shí),an+1=an-12+2an-1+1=(an-1+1)2>0, 兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)可得log2(an+1)=log2(an-1+1)2=2log2(an-1+1), 則數(shù)列{log2(an+1)}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,log2(an+1)=2n-1,an=22n-1-1, 又an=an-12+2an-1(n≥2),可得an+1=an2+2an(n∈N*), 兩邊取倒數(shù)可得1an+1=1an2+2an=1an(an+2) =121an-1an+2, 即2an+1=1an-1an+2,因此bn=1an+1+1an+2=1an-1an+1, 所以Sn=b1+…+bn=1a1-1an+1=1-122n-1, 故答案為1-122n-1. 三、解答題(本大題共3小題,共44分) 9.(14分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)為a1,且12,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=(log2a2n+1)(log2a2n+3),求數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和Tn. 解(1)∵12,an,Sn成等差數(shù)列,∴2an=Sn+12. 當(dāng)n=1時(shí),2a1=S1+12,即a1=12; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即anan-1=2, 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為12,公比為2的等比數(shù)列,即an=2n-2. (2)∵bn=(log2a2n+1)(log2a2n+3)=(log222n+1-2)(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1), ∴1bn=12n-112n+1=1212n-1-12n+1. ∴Tn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1 =121-12n+1=n2n+1. 10.(15分)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,2an+1=an,b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1. (1)求an與bn; (2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn. 解(1)∵2an+1=an,∴{an}是公比為12的等比數(shù)列. 又a1=2,∴an=212n-1=12n-2. ∵b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1, ① ∴當(dāng)n=1時(shí),b1=b2-1,故b2=2. 當(dāng)n≥2時(shí),b1+12b2+13b3+…+1n-1bn-1=bn-1, ② ①-②,得1nbn=bn+1-bn,得bn+1n+1=bnn,故bn=n. (2)由(1)知anbn=n12n-2=n2n-2. 故Tn=12-1+220+…+n2n-2, 則12Tn=120+221+…+n2n-1. 以上兩式相減,得12Tn=12-1+120+…+12n-2-n2n-1=21-12n1-12-n2n-1,故Tn=8-n+22n-2. 11.(15分)設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*), ①求Tn; ②證明∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n∈N*). (1)解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因?yàn)閝>0,可得q=2,故an=2n-1. 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4. 由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16, 從而b1=1,d=1,故bn=n. 所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n. (2)①解由(1),有Sn=1-2n1-2=2n-1, 故Tn=∑k=1n(2k-1)=∑k=1n2k-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2. ②證明因?yàn)?Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1, 所以,∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=233-222+244-233+…+2n+2n+2-2n+1n+1=2n+2n+2-2.