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考點規(guī)范練45 橢圓
一、基礎(chǔ)鞏固
1.已知橢圓的焦點坐標(biāo)為(-5,0)和(5,0),橢圓上一點與兩焦點的距離和是26,則橢圓的方程為( )
A.x2169+y2144=1 B.x2144+y2169=1
C.x2169+y225=1 D.x2144+y225=1
答案A
解析由題意知a=13,c=5,則b2=a2-c2=144.
又橢圓的焦點在x軸上,
∴橢圓方程為x2169+y2144=1.
2.已知橢圓x29+y24+k=1的離心率為45,則k的值為( )
A.-1925 B.21 C.-1925或21 D.1925或21
答案C
解析若a2=9,b2=4+k,則c=5-k,
由ca=45,即5-k3=45,得k=-1925;
若a2=4+k,b2=9,則c=k-5,
由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.
3.若曲線ax2+by2=1是焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)a,b滿足 ( )
A.a2>b2 B.1a<1b C.0
1b>0,所以0b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為( )
A.63 B.33 C.23 D.13
答案A
解析以線段A1A2為直徑的圓的方程是x2+y2=a2.
因為直線bx-ay+2ab=0與圓x2+y2=a2相切,
所以圓心到該直線的距離d=2abb2+a2=a,
整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),
所以c2a2=23,從而e=ca=63.故選A.
6.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為( )
A.13 B.12 C.23 D.34
答案B
解析設(shè)橢圓的一個頂點坐標(biāo)為(0,b),一個焦點坐標(biāo)為(c,0),
則直線l的方程為xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,
短軸長為2b,由題意得bcb2+c2=142b,與b2+c2=a2聯(lián)立得a=2c,故e=12.
7.
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90,則該橢圓的離心率是 .
答案63
解析由題意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),
所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.
因為∠BFC=90,所以BFCF=0.
所以c2-32a2+b22=0.
又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.
8.已知F1,F2分別為橢圓x22+y2=1的左、右焦點,過F1的直線l與橢圓交于不同的兩點A,B,連接AF2和BF2.
(1)求△ABF2的周長;
(2)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面積.
解(1)∵F1,F2分別為橢圓x22+y2=1的左、右焦點,過F1的直線l與橢圓交于不同的兩點A,B,連接AF2和BF2.
∴△ABF2的周長為
|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=42.
(2)設(shè)直線l的方程為x=my-1,
由x=my-1,x2+2y2-2=0,得(m2+2)y2-2my-1=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.
∵AF2⊥BF2,∴F2AF2B=0,
∴F2AF2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(my1-2)(my2-2)+y1y2
=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4
=-(m2+1)m2+2-2m2mm2+2+4=-m2+7m2+2=0.
∴m2=7.
∴△ABF2的面積S=12|F1F2|(y1+y2)2-4y1y2=89.
9.(2018北京,文20)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,焦距為22,斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A,B.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D,若C,D和點Q-74,14共線,求k.
解(1)由題意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,解得a=3,b=1.
所以橢圓M的方程為x23+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,
所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.
所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=2(x2-x1)2
=2[(x1+x2)2-4x1x2]
=12-3m22.
當(dāng)m=0,即直線l過原點時,|AB|最大,最大值為6.
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.
直線PA的方程為y=y1x1+2(x+2).
由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,
得[(x1+2)2+3y12]x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.
設(shè)C(xC,yC),所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.
所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.
所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.
設(shè)D(xD,yD),同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.
記直線CQ,DQ的斜率分別為kCQ,kDQ,
則kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74
=4(y1-y2-x1+x2).
因為C,D,Q三點共線,所以kCQ-kDQ=0.
故y1-y2=x1-x2.
所以直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.
二、能力提升
10.已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,若橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2,則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.55,1 B.22,1 C.0,55 D.0,22
答案B
解析∵F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,
∴離心率0b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率為( )
A.32 B.22 C.12 D.14
答案C
解析因為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因為c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=c4a2,n2=c4a2+c22,所以2c4a2+c22=c2,化為c2a2=14,所以e=ca=12.
12.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是 .
答案22
解析設(shè)Q(x0,y0),則y0x0-c=-cb,bcx0+c2=y02,
解得x0=c(c2-b2)a2,y0=2bc2a2.
因為點Q在橢圓上,所以c2(c2-b2)2a4a2+4b2c4a4b2=1,
化簡得a4c2+4c6-a6=0,
即4e6+e2-1=0.
即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,
即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=22.
13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1過A(2,0),B(0,1)兩點.
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N.求證:四邊形ABNM的面積為定值.
(1)解由題意,得a=2,b=1,所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
又c=a2-b2=3,所以離心率e=ca=32.
(2)證明設(shè)P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則x02+4y02=4.
又A(2,0),B(0,1),所以直線PA的方程為y=y0x0-2(x-2).
令x=0,得yM=-2y0x0-2,從而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.
直線PB的方程為y=y0-1x0x+1.
令y=0,得xN=-x0y0-1,從而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.
所以四邊形ABNM的面積
S=12|AN||BM|=122+x0y0-11+2y0x0-2
=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+42(x0y0-x0-2y0+2)
=2x0y0-2x0-4y0+4x0y0-x0-2y0+2=2.
從而四邊形ABNM的面積為定值.
14.設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在橢圓C:x22+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足NP=2NM.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且OPPQ=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
(1)解設(shè)P(x,y),M(x0,y0),
則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).
由NP=2NM得x0=x,y0=22y.
因為M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.
因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.
(2)證明由題意知F(-1,0).
設(shè)Q(-3,t),P(m,n),
則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).
由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以O(shè)QPF=0,即OQ⊥PF.
又過點P存在唯一直線垂直于OQ,
所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
三、高考預(yù)測
15.橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2作垂直于x軸的直線l與橢圓E在第一象限交于點P,若|PF1|=5,且3a=b2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)A,B是橢圓C上位于直線l兩側(cè)的兩點.若直線AB過點(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直線AB的方程.
解(1)由題意可得|PF2|=b2a=3,
因為|PF1|=5,由橢圓的定義得a=4,
所以b2=12,故橢圓E方程為x216+y212=1.
(2)易知點P的坐標(biāo)為(2,3).
因為∠APF2=∠BPF2,
所以直線PA,PB的斜率之和為0.
設(shè)直線PA的斜率為k,則直線PB的斜率為-k,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線PA的方程為y-3=k(x-2),
由y-3=k(x-2),x216+y212=1
可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,
所以x1+2=8k(2k-3)3+4k2,
同理直線PB的方程為y-3=-k(x-2),
可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2,
所以x1+x2=16k2-123+4k2,x1-x2=-48k3+4k2,
kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2
=k(x1+x2)-4kx1-x2=12,
所以滿足條件的直線AB的方程為y+1=12(x-1),即為x-2y-3=0.
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