（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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2.4.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解拋物線的定義及焦點、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo).3.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題． 知識點一　拋物線的定義 (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． (2)定義的實質(zhì)可歸納為“一動三定”：一個動點，設(shè)為M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1∶1)． 知識點二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有何特點？ 答案　(1)是關(guān)于x，y的二元二次方程，且只有一個二次項，一個一次項，根據(jù)平方項可以確定一次項的取值范圍．(2)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離． 梳理　由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)． 現(xiàn)將這四種拋物線對應(yīng)的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下： 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 焦點坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ p的幾何意義 焦點到準(zhǔn)線的距離  (1)拋物線的方程都是二次函數(shù)．() (2)拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是p.(√) (3)拋物線的開口方向由一次項確定．(√) 類型一　拋物線的定義及應(yīng)用 例1　(1)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　) A．1B．2C．4D．8 考點　拋物線定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　A 解析　由題意，知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－. 因為|AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義，得 x0＋＝|AF|＝x0，所以x0＝1，故選A. (2)若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則P點的軌跡方程是(　　) A．y2＝－16x B．y2＝－32x C．y2＝16x D．y2＝32 考點　拋物線定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　C 解析　∵點P到點(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1， ∴將直線x＋5＝0右移1個單位， 得直線x＋4＝0，即x＝－4， 易知點P到直線x＝－4的距離等于它到點(4,0)的距離． 根據(jù)拋物線的定義，可知P的軌跡是以點(4,0)為焦點，以直線x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線． 設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，可得＝4，得2p＝16， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x， 即P點的軌跡方程為y2＝16x，故選C. 反思與感悟　依據(jù)拋物線定義可以實現(xiàn)點線距離與線線距離的轉(zhuǎn)化． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)拋物線x2＝4y上的點P到焦點的距離是10，則P點的坐標(biāo)為________． 考點　拋物線定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　(6,9)或(－6,9) 解析　設(shè)點P(x0，y0)，由拋物線方程x2＝4y， 知焦點坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1， 由拋物線的定義，得|PF|＝y(tǒng)0＋1＝10， 所以y0＝9，代入拋物線方程得x0＝6. (2)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，點P在拋物線上，且|PM|＝|PF|，則△PMF的面積為(　　) A．4B．8C．16D．32 考點　拋物線定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　B 解析　如圖所示，易得F(2,0)， 過點P作PN⊥l，垂足為N. ∵|PM|＝|PF|，|PF|＝|PN|， ∴|PM|＝|PN|. 設(shè)P，則|t|＝＋2， 解得t＝4， ∴△PMF的面積為|t||MF|＝44＝8. 類型二　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2　分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)過點(－3,2)； (2)焦點在直線x－2y－4＝0上． 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)， 又點(－3,2)在拋物線上，∴2p＝或2p＝， ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－x或x2＝y(tǒng). (2)當(dāng)焦點在y軸上時，已知方程x－2y－4＝0， 令x＝0，得y＝－2，∴所求拋物線的焦點為(0，－2)， 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p＞0)， 由＝2，得2p＝8， ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－8y； 當(dāng)焦點在x軸上時，已知x－2y－4＝0， 令y＝0，得x＝4，∴拋物線的焦點為(4,0)， 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)， 由＝4，得2p＝16， ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x. 綜上，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－8y或y2＝16x. 反思與感悟　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 (1)定義法：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進(jìn)行化簡，根據(jù)定義求出p，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時應(yīng)首先確定焦點在哪一個半軸上，進(jìn)而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值． 跟蹤訓(xùn)練2　根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點； (2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5. 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)雙曲線方程可化為－＝1， 左頂點為(－3,0)， 由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)且＝－3， ∴p＝6，∴拋物線的方程為y2＝－12x. (2)設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線的方程為y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由拋物線定義，得5＝|AF|＝. 又(－3)2＝2pm，∴p＝1或p＝9， 故所求拋物線方程為y2＝2x或y2＝18x. 類型三　拋物線的實際應(yīng)用問題 例3　河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？ 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　拋物線方程的應(yīng)用 解　如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知，點B(4，－5)在拋物線上，故p＝，得x2＝－y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船不能通航，設(shè)此時船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時，小船開始不能通航． 反思與感悟　涉及拱橋，隧道的問題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，花壇水池中央有一噴泉，水管O′P＝1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點后落下，若最高點距水面2m，P距拋物線的對稱軸1m，則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計多長？(精確到1m) 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　拋物線方程的應(yīng)用 解　如圖所示，以拋物線狀噴泉的最高點為原點，以過原點且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)． 依題意有P(－1，－1)在此拋物線上，代入得p＝，故拋物線方程為 x2＝－y. 又B在拋物線上，將B(x，－2)代入拋物線方程得x＝， 即|AB|＝，則|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝＋1， 因此水池的直徑為2(1＋)m，約為5 m， 即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計為5 m. 1．(2017牌頭中學(xué)期中)準(zhǔn)線方程為y＝4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝－16y D．x2＝－8y 答案　C 解析　由題意可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， ∵拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝＝4，∴p＝8， ∴該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－16y，故選C. 2．以F(1,0)為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x＝4y2B．y＝4x2C．x2＝4yD．y2＝4x 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　求拋物線的方程 答案　D 解析　∵拋物線焦點為F(1,0)， ∴可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)， 且＝1，則p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x. 3．已知拋物線x2＝4y上的一點M到此拋物線的焦點的距離為2，則點M的縱坐標(biāo)是(　　) A．0B.C．1D．2 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　C 解析　根據(jù)拋物線方程可求得焦點坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線定義，得yM＋1＝2，解得yM＝1. 4．一動圓過點(0,1)且與定直線l相切，圓心在拋物線x2＝4y上，則l的方程為(　　) A．x＝1B．x＝C．y＝－1D．y＝－ 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　C 解析　因為動圓過點(0,1)且與定直線l相切，所以動圓圓心到點(0,1)的距離與它到定直線l的距離相等，又因為動圓圓心在拋物線x2＝4y上，且(0,1)為拋物線的焦點，所以l為拋物線的準(zhǔn)線，所以l：y＝－1. 5．動點P到直線x＋4＝0的距離比它到點M(2,0)的距離大2，則點P的軌跡方程是________． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　y2＝8x 解析　由題意可知，動點P到直線x＋2＝0的距離與它到點M(2,0)的距離相等，利用拋物線定義求出方程． 1．焦點在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2＝mx(m≠0)，此時焦點為F，準(zhǔn)線方程為x＝－；焦點在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2＝my(m≠0)，此時焦點為F，準(zhǔn)線方程為y＝－. 2．設(shè)M是拋物線上一點，焦點為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑．若M(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p>0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|＝x0＋. 3．對于拋物線上的點，利用定義可以把其到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，也可以把其到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，因此可以解決有關(guān)距離的最值問題． 一、選擇題 1．對拋物線y＝4x2，下列描述正確的是(　　) A．開口向上，焦點為(0,1) B．開口向上，焦點為 C．開口向右，焦點為(1,0) D．開口向右，焦點為 考點　求拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 題點　求拋物線的焦點坐標(biāo) 答案　B 解析　由y＝4x2，得x2＝y(tǒng)，所以開口向上，焦點坐標(biāo)為. 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(－1,1)，則該拋物線的焦點坐標(biāo)為(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 考點　求拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 題點　求拋物線的焦點坐標(biāo) 答案　B 解析　拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x＝－，由題設(shè)知－＝－1，即p＝2，故焦點坐標(biāo)為，故選B. 3．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，－2)到焦點的距離為4，則m的值為(　　) A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－2 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　拋物線方程的應(yīng)用 答案　C 解析　由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，由定義知點P到準(zhǔn)線的距離為4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.將點P的坐標(biāo)代入x2＝－8y，得m＝4. 4．若動圓的圓心在拋物線y＝x2上，且與直線y＋3＝0相切，則此圓恒過定點(　　) A．(0,2) B．(0，－3) C．(0,3) D．(0,6) 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　拋物線方程的應(yīng)用 答案　C 解析　直線y＋3＝0是拋物線x2＝12y的準(zhǔn)線，由拋物線的定義，知拋物線上的點到直線y＝－3的距離與到焦點(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(0,3)． 5．已知點P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為(　　) A．7B．8C．9D．10 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用 答案　C 解析　拋物線的焦點為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. ∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線時，等號成立，則|PA|＋|PQ|的最小值為9.故選C. 6．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 答案　A 解析　由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，由拋物線的定義可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10，故選A. 7．已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是(　　) A.B.C.D．25 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用 答案　A 解析　拋物線的焦點F坐標(biāo)為(2,0)，直線l的方程為y＝(x－2)． 由得B點的坐標(biāo)為. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝， ∴AB的中點到準(zhǔn)線的距離為. 二、填空題 8．(2017牌頭中學(xué)期中)若拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________；準(zhǔn)線方程為________． 答案　2　x＝－1 9．若拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝________. 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　拋物線方程的應(yīng)用 答案　2 解析　雙曲線x2－y2＝1的左焦點為(－，0)， 所以－＝－，故p＝2. 10．以橢圓＋＝1的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案　y2＝16x 解析　∵橢圓的方程為＋＝1，∴右頂點為(4,0)． 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)， 則＝4，即p＝8，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x. 11．已知P為拋物線y2＝4x上的任意一點，記點P到y(tǒng)軸的距離為d，對于定點A(4,5)，|PA|＋d的最小值為________． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用 答案?。? 解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線l：x＝－1. 由題意得d＝|PF|－1， ∴|PA|＋d≥|AF|－1＝－1＝－1， 當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線時， |PA|＋d取得最小值－1. 三、解答題 12．已知拋物線y2＝2x的焦點為F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點的坐標(biāo)． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用 解　將x＝3代入拋物線方程y2＝2x， 得y＝. ∵＞2，∴A在拋物線內(nèi)部． 設(shè)拋物線上動點P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d， 由拋物線的定義，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 當(dāng)PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為， 即|PA|＋|PF|的最小值為， 此時P點的縱坐標(biāo)為2， 代入y2＝2x，得x＝2，∴P點的坐標(biāo)為(2,2)． 13．如圖所示，拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O，焦點F在y軸上，準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切． (1)求拋物線C的方程； (2)若點A，B都在拋線C上，且＝2，求點A的坐標(biāo)． 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)依題意，可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，其準(zhǔn)線l的方程為y＝－. ∵準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切， ∴圓心(0,0)到準(zhǔn)線l的距離d＝0－＝1， 解得p＝2.故拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由題意得F(0,1)， ∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)， ∵＝2， ∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)， 即代入②得4x＝8y1＋4， 即x＝2y1＋1， 又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1， 解得y1＝，x1＝， 即點A的坐標(biāo)為或. 四、探究與拓展 14．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　求拋物線的方程 答案　C 解析　易知拋物線的焦點為F. 由拋物線的定義，得M. 設(shè)N點坐標(biāo)為(0,2)． 因為圓過點N(0,2)，所以NF⊥NM， 即＝－1.① 設(shè)＝t， 則①式可化為t2－4t＋8＝0，解得t＝2， 即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8. 15．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上的一點M到定點A和焦點F的距離之和的最小值等于5，求拋物線的方程． 考點　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點　求拋物線的方程 解　拋物線的準(zhǔn)線為l：x＝－. ①當(dāng)點A在拋物線內(nèi)部時，42＜2p， 即p＞時，過M作MA′⊥l，垂足為A′， 則|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|. 當(dāng)A，M，A′共線時，(|MF|＋|MA|)min＝5， 即＋＝5，∴p＝3，滿足p＞， ∴拋物線方程為y2＝6x. ②當(dāng)點A在拋物線外部時，42＞2p， 即p＜時，|MF|＋|MA|≥|AF|， 當(dāng)A，M，F(xiàn)共線時取等號，|AF|＝5， 即＝5， ∴p＝1或p＝13(舍)， ∴拋物線方程為y2＝2x. ③當(dāng)點A在拋物線上，即p＝時，結(jié)合②明顯不成立． 綜上，拋物線方程為y2＝6x或y2＝2x.