6、需證(a＋c)2－ac<3a2，只需證－2a2＋ac＋c2<0，即證2a2－ac－c2>0，即證(a－c)(2a＋c)>0，即證(a－c)(a－b)>0.
8．某同學在紙上畫出如下若干個三角形：
△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……
若依此規(guī)律，得到一系列的三角形，則在前2 015個三角形中▲的個數是( )
A．62 B．63
C．64 D．61
考點 歸納推理的應用
題點 歸納推理在圖形中的應用
答案 A
解析 前n個▲中所包含的所有三角形的個數是1＋2＋3＋…＋n＋n＝，由＝2 015，解得n＝62.
9．已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝
7、3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為( )
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c
考點 數學歸納法定義及原理
題點 數學歸納法第一步：歸納奠基
答案 A
解析 令n＝1,2,3，
得
所以a＝，b＝c＝.
10．用反證法證明命題“＋是無理數”時，假設正確的是( )
A．假設是有理數 B．假設是有理數
C．假設或是有理數 D．假設＋是有理數
考點 反證法及應用
題點 如何正確進行反設
答案 D
解析 應對結論進行否定，則＋不是無理數，
即＋是有理數．
11．我們把平面
8、幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有( )
①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
考點 類比推理的應用
題點 平面幾何與立體幾何之間的類比
答案 C
解析 類比相似形中的對應邊成比例知，①③一定屬于相似體．
12．設函數f(x)定義如下表，數列{xn}滿足x0＝5，且對任意的自然數均有xn＋1＝f(xn)，則x2 016等于( )
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
9、
2
A.1 B．2
C．4 D．5
考點 歸納推理的應用
題點 歸納推理在數列中的應用
答案 D
解析 x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，x6＝f(2)＝1，x7＝f(1)＝4，x8＝f(4)＝5，x9＝f(5)＝2，…，所以數列{xn}是周期為4的數列，所以x2 016＝x4＝5，故選D.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．用數學歸納法證明“1＋2＋3＋…＋n2＝”時，從n＝k到n＝k＋1，等式左端需要增加的代數式為_______________________
10、_．
考點 數學歸納法定義及原理
題點 數學歸納法第二步：歸納遞推
答案 (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析 當n＝k時，等式的左端為1＋2＋3＋…＋k2，當n＝k＋1時，等式的左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
14．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，則m，n的大小關系是________．
考點 綜合法及應用
題點 利用綜合法解決不等式問題
答案 m>n
解析 ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b?(＋)2>()2?＋>?>?lg>lg.
15．古埃及數學中有一個獨特現象：除了用一個單獨的符號表示以外，其他分數都
11、要寫成若干個分數和的形式，例如＝＋.可以這樣來理解：假定有2個面包，要平均分給5個人，每人分將剩余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得＋.同理可得＝＋，＝＋，…，按此規(guī)律，則＝________，＝________(n＝5,7,9,11，…)．
考點 歸納推理的應用
題點 歸納推理在數對(組)中的應用
答案?。。?
解析 由＝＋，＝＋，＝＋得，當n＝5,7,9時，等號右邊第一個分數的分母分別為3,4,5，第二個分數的分母分別是等號左邊分數的分母與等號右邊第一個分數分母的乘積．
16.現有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心
12、，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．
考點 類比推理的應用
題點 平面幾何與立體幾何之間的類比
答案
解析 解法的類比(特殊化)，可得兩個正方體重疊部分的體積為.
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．(10分)1，，2能否為同一等差數列中的三項？說明理由．
考點 反證法及應用
題點 反證法的應用
解 假設1，，2能為同一等差數列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設公差為d，則1＝－md,2＝＋nd，m，n為兩個正整數，消去d得m＝(＋1)n.
∵
13、m為有理數，(＋1)n為無理數．
∴左邊為有理數，右邊為無理數，m＝(＋1)n不成立，矛盾．
∴假設不成立，即1，，2不可能為同一等差數列中的三項．
18．(12分)已知a>0，b>0,2c>a＋b，求證：c－a2＋ab，因為a>0，所以只需證2c>a＋b.
因為2c>a＋b已知，所以原不等式成立．
19．(12分)已知A，B都是銳角，且A＋B≠90，(1＋
14、tan A)(1＋tan B)＝2.求證：A＋B＝45.
考點 綜合法及應用
題點 利用綜合法解決函數問題
證明 因為(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，
展開化簡為tan A＋tan B＝1－tan Atan B.
因為A＋B≠90，tan(A＋B)＝＝1，
又因為A，B都是銳角，
所以0
15、，結合此范圍，驗證其正確性(注意不能近似計算)；
(2)請將此規(guī)律推廣至一般情形，并證明．
考點 歸納推理的應用
題點 歸納推理在數對(組)的應用
解 (1)驗證①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74，
∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2.
(2)一般結論為：若n∈N*，
則＋<2，證明如下：
要證＋<2，
只需證(＋)2<(2)2，
即證2n＋2＋2<4n＋4，
即證
16、，pc，且相應各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有＋＋＝1.請你運用類比的方法將此結論推廣到四面體中并證明你的結論．
考點 類比推理的應用
題點 平面幾何與立體幾何之間的類比
解 類比結論：從四面體內部任意一點向各面引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，pd，且相應各面上的高分別為ha，hb，hc，hd.
則有＋＋＋＝1.
證明：＝
＝，
同理有＝，＝，＝，
又VP－BCD＋VP－CDA＋VP－BDA＋VP－ABC＝VA－BCD，
∴＋＋＋＝＝1.
22．(12分)已知f(x)＝，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函數f(x)的表達式．
(2)已知數
17、列{xn}的項滿足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，試求x1，x2，x3，x4.
(3)猜想{xn}的通項公式，并用數學歸納法證明．
考點 數學歸納法證明數列問題
題點 利用數學歸納法證明數列通項問題
解 (1)∵f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，
∴
解得a＝1，b＝0，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2)x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝[1－f(1)][1－f(2)]＝＝，
x3＝(1－f(3))＝＝，
x4＝＝.
(3)由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，
x4＝＝，…，
由此可以猜想xn＝.
證明：①當n＝1時，
∵
18、x1＝，而＝，
∴猜想成立．
②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，xn＝成立，
即xk＝，則當n＝k＋1時，
xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))(1－f(k＋1))
＝xk(1－f(k＋1))
＝
＝
＝＝.
∴當n＝k＋1時，猜想也成立，
根據①②可知，對一切n∈N*，猜想xn＝都成立．
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高中數學 第二章 推理與證明章末檢測試卷 新人教A版選修22
