（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)分層作業(yè) 三十六 6.3 基本不等式 文.doc

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課時(shí)分層作業(yè) 三十六基本不等式 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.已知a,b∈R,且ab≠0,則下列結(jié)論恒成立的是 (　　) A.a+b≥2 B.+≥2 C.|+|≥2 D.a2+b2>2ab 【解析】選C.因?yàn)楹屯?所以|+|=||+||≥2. 2.(2018武漢模擬)下列命題中正確的是 (　　) A.函數(shù)y=x+的最小值為2 B.函數(shù)y=的最小值為2 C.函數(shù)y=2-3x-(x>0)的最小值為2-4 D.函數(shù)y=2-3x-(x>0)的最大值為2-4 【解析】選D.y=x+的定義域?yàn)閧x|x≠0},當(dāng)x>0時(shí),有最小值2,當(dāng)x<0時(shí),有最大值-2,故A項(xiàng)不正確; y==+≥2, 因?yàn)椤?所以取不到“=”,故B項(xiàng)不正確;因?yàn)閤>0時(shí),3x+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)3x=,即x=時(shí)取“=”, 所以y=2-有最大值2-4,故C項(xiàng)不正確,D項(xiàng)正確. 3.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是 (　　) A. B.4 C. D.5 【解析】選C.依題意,得+=(a+b) =≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)即a=,b=時(shí)取等號,即+的最小值是. 【變式備選】已知x>0,y>0,且+=1,則x+y的最小值是________. 【解析】因?yàn)閤>0,y>0, 所以x+y=(x+y) =3++≥3+2(當(dāng)且僅當(dāng)y=x時(shí)取等號),所以當(dāng)x=+1,y=2+時(shí),(x+y)min=3+2. 答案:3+2 4.(2018太原模擬)已知x,y為正實(shí)數(shù),則+的最小值為 (　　) A. B. C. D.3 【解析】選D.由于x,y為正實(shí)數(shù),則+=+-1≥2-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號成立,則其最小值為3. 【變式備選】設(shè)x,y,z均為正數(shù),滿足x-2y+3z=0,則的最小值是________. 【解析】因?yàn)閤-2y+3z=0,所以y=,所以=≥=3. 當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”. 答案:3 5.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為 (　　) A. B.2 C. D.2 【解析】選D.因?yàn)閤>0,y>0,x+2y≥2, 所以4xy-(x+2y)≤4xy-2, 所以4≤4xy-2, 即(-2)(+1)≥0, 所以≥2,所以xy≥2. 6.(2018西安模擬)設(shè)=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若A,B,C三點(diǎn)共線,則+的最小值是 (　　) A.4 B. C.8 D.9 【解析】選D.因?yàn)?-=(a-1,1), =-=(-b-1,2), 若A,B,C三點(diǎn)共線, 則有∥, 所以(a-1)2-1(-b-1)=0, 所以2a+b=1, 又a>0,b>0, 所以+=(2a+b) =5++≥5+2=9, 當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=時(shí)等號成立. 7.(2017山東高考)若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是 (　　) A.a+<b>0,且ab=1,所以a>1,0log22=1,由函數(shù)性質(zhì)可知2x>x,所以>a+>a+b,上式兩邊同時(shí)取以2為底的對數(shù)可得a+>log2(a+b). 方法二:因?yàn)閍>b>0,且ab=1, 所以a>1>b>0, 令a=2,b=,則a+=2+=4,==. log2(a+b)=log2(2+)=log2>1. 所以a+>log2(a+b)>. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________. 【解析】≥=4ab+≥4 ,當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2且4ab=時(shí)取等號. 答案:4 9.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時(shí)間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品________件. 【解析】設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元,由題意得 y=+≥2=20. 當(dāng)且僅當(dāng)=(x>0),即x=80時(shí)“=”成立. 答案:80 10.(2018沈陽模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,其前n項(xiàng)和是Sn,若a1=d=1,則的最小值是________. 【解析】an=a1+(n-1)d=n,Sn=, 所以= =≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號. 所以的最小值是. 答案: 1.(5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且C=,a+b=12,則△ABC面積的最大值為 (　　) A.8　　　　B.9　　　　C.16　　　　D.21 【解析】選B.由三角形的面積公式: S=absin C=ab≤=9, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)等號成立. 則△ABC面積的最大值為9. 2.(5分)為保障春節(jié)期間的食品安全,某市質(zhì)量監(jiān)督局對超市進(jìn)行食品檢查,如圖所示是某食品中微量元素含量數(shù)據(jù)的莖葉圖,已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11.5,則+的最小值為 (　　) A.9 B. C.8 D.4 【解析】選B.因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11.5,所以=11.5,即a+b=2,所以+==+≥+=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=2b=時(shí)等號成立,所以+的最小值為. 【變式備選】已知m>1,x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為3,則+ (　　) A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最大值 【解析】選A.直線mx-y+5-m=0過x-y+4=0上的定點(diǎn)A(1,5).畫出表示的可行域,如圖,由圖知z=ax+by過A(1,5)時(shí),最大值為a+5b=3,所以+=(a+5b) =(11++)≥. 3.(5分)(2018合肥模擬)已知a,b為正實(shí)數(shù),直線x+y+a=0與圓(x-b)2+(y-1)2=2相切,則的取值范圍是________. 【解析】因?yàn)閤+y+a=0與圓(x-b)2+(y-1)2=2相切,所以d==, 所以a+b+1=2,即a+b=1, 所以== =(b+1)+-4≥2-4=0. 又因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù), 所以的取值范圍是(0,+∞). 答案:(0,+∞) 4.(12分)已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求xy的最小值. (2)求x+y的最小值. 【解析】由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1), 得 (1)因?yàn)閤>0,y>0, 所以3xy=x+y+1≥2+1. 所以3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0. 所以(3+1)(-1)≥0. 所以≥1.所以xy≥1. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí),等號成立. 所以xy的最小值為1. (2)因?yàn)閤>0,y>0,所以x+y+1=3xy≤3. 所以3(x+y)2-4(x+y)-4≥0. 所以[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0. 所以x+y≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號. 所以x+y的最小值為2. 5.(13分)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求炮的最大射程. (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請說明理由. 【解析】(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0. 由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0,k>0, 故x==≤=10, 當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號. 所以炮的最大射程為10千米. (2)若炮彈可以擊中目標(biāo), 則存在k>0,a>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立, 故關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根, 所以有 即a≤6. 所以當(dāng)a不超過6千米時(shí),炮彈可以擊中目標(biāo).