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解答題標準練(一)
1．如圖，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D為BC邊上一點．
(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的長；
(2)若AB＝AD，試求△ADC的周長的最大值．
解 (1)∵S△DAC＝2，
∴ADACsin∠DAC＝2，
∴sin∠DAC＝.
∵∠DAC<∠BAC<π－＝，
∴∠DAC＝.
在△ADC中，由余弦定理得，
DC2＝AD2＋AC2－2ADACcos ，
∴DC2＝4＋48－224＝28，
∴DC＝2.
(2)∵AB＝AD，B＝，
∴△ABD為正三角形．
在△ADC中，根據正弦定理，可得
＝＝，
∴AD＝8sin C，DC＝8sin，
∴△ADC的周長為
AD＋DC＋AC＝
8sin C＋8sin＋4
＝8＋4
＝8＋4
＝8sin＋4，
∵∠ADC＝，∴0
b>0)的右焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設P是橢圓C的右頂點，過P點作兩條直線分別與橢圓C交于另一點A，B，若直線PA，PB的斜率之積為－，求證：直線AB恒過一個定點，并求出這個定點的坐標．
解 (1)依題意得
解得a＝2，b＝，即橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設直線AB的方程為x＝ty＋m(－20，
y1＋y2＝，y1y2＝.
設A(ty1＋m，y1)，B(ty2＋m，y2)，
而P(2,0)，則由kPAkPB＝－，得
＝－，
即4y1y2＋9(ty1＋m－2)(ty2＋m－2)＝0，
∴(4＋9t2)y1y2＋9t(m－2)(y1＋y2)＋9(m－2)2＝0，
即(4＋9t2)＋9t(m－2)＋9(m－2)2＝0，
整理得m2－3m＋2＝0，
解得m＝1或m＝2(舍去)，當m＝1時，滿足Δ>0，
∴直線AB的方程為x＝ty＋1，
即直線AB恒過定點(1,0)．
6．(2018峨眉山模擬)已知函數f(x)＝ex(sin x－ax2＋2a－e)，其中a∈R，e＝2.718 28…為自然對數的底數．
(1)當a＝0時，討論函數f(x)的單調性；
(2)當≤a≤1時，求證：對任意的x∈[0，＋∞)，f(x)<0.
(1)解 當a＝0時，f(x)＝ex(sin x－e)，
f′(x)＝ex(sin x＋cos x－e)
＝ex<0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減．
(2)證明 要證ex<0對任意的x∈[0，＋∞)恒成立，
即證sin x－ax2＋2a－e<0對任意的x∈[0，＋∞)恒成立，
令g(a)＝(2－x2)a＋sin x－e，
即證當a∈時，
g(a)＝(2－x2)a＋sin x－e<0恒成立，
即證 成立．
∵sin x＋1
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