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1、
專題對點(diǎn)練11 三角變換與解三角形
1.(2017全國Ⅲ,理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.
(1)求c;
(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.
解 (1)由已知可得tan A=-3,所以A=2π3.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,
即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.
(2)由題設(shè)可得∠CAD=π2,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面積與△ACD面積的比值為12ABADsinπ612ACAD=1.
又△ABC
2、的面積為1242sin∠BAC=23,
所以△ABD的面積為3.
2.已知a,b,c分別為銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊,且3a=2csin A.
(1)求角C;
(2)若c=7,且△ABC的面積為332,求a+b的值.
解 (1)由3a=2csin A及正弦定理得3sin A=2sin Csin A.
∵sin A≠0,∴sin C=32.∵△ABC是銳角三角形,∴C=π3.
(2)∵C=π3,△ABC的面積為332,
∴12absin π3=332,即ab=6. ①
∵c=7,∴由余弦定理得a2+b2-2abcos π3=7,
即(a+b)2=3ab+7. ②
3、
將①代入②得(a+b)2=25,故a+b=5.
3.(2017河南商丘二模,理17)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b(1+cos C)=c(2-cos B).
(1)求證:a,c,b成等差數(shù)列;
(2)若C=π3,△ABC的面積為43,求c.
(1)證明 ∵b(1+cos C)=c(2-cos B),
∴由正弦定理可得sin B+sin Bcos C=2sin C-sin Ccos B,
可得sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=2sin C,
∴sin A+sin B=2sin C,∴a+b=2c,即a,c,b成等差數(shù)列.
(2)
4、解 ∵C=π3,△ABC的面積為43=12absin C=34ab,
∴ab=16,∵由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
∵a+b=2c,∴可得c2=4c2-316,解得c=4.
4.(2017河南六市聯(lián)考二模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asin B+bcos A=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=25,b=2,求△ABC的面積.
解 (1)在△ABC中,由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0,即sin B(sin A+cos A)=0,又角B為三角形內(nèi)角,sin
5、 B≠0,所以sin A+cos A=0,即2sinA+π4=0,
又因?yàn)锳∈(0,π),所以A=3π4.
(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,則20=4+c2-4c-22,
即c2+22c-16=0,解得c=-42(舍)或c=22,
又S=12bcsin A,所以S=1222222=2.
5.(2017四川成都二診,理17)如圖,在梯形ABCD中,已知∠A=π2,∠B=2π3,AB=6,在AB邊上取點(diǎn)E,使得BE=1,連接EC,ED.若∠CED=2π3,EC=7.
(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的長.
解 (1)在△CBE中,由
6、正弦定理得CEsinB=BEsin∠BCE,sin∠BCE=BEsinBCE=1327=2114.
(2)在△CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BECBcos2π3,即7=1+CB2+CB,解得CB=2.
由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BECEcos∠BEC,cos∠BEC=277,sin∠BEC=217,
sin∠AED=sin2π3+∠BEC=32277-12217=2114,cos∠AED=5714,
在Rt△ADE中,AE=5,AEDE=cos∠AED=5714,DE=27,
在△CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CEDEcos2π3=49
7、,∴CD=7. ?導(dǎo)學(xué)號16804183?
6.
(2017江西宜春二模,理17)如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知角A為2π3,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.
(1)若圍墻AP,AQ總長度為200米,如何可使得三角形地塊APQ面積最大?
(2)已知竹籬笆長為503米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價(jià)均為每平方米100元,若AP≥AQ,求圍墻總造價(jià)的取值范圍.
解 設(shè)AP=x,則AQ=200-x,
∴S△APQ=12x(200-x)sin2π3≤3420022=2 5003,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2
8、00-x時(shí),取等號,即AP=AQ=100時(shí),S△APQ有最大值為2 5003平方米.
(2)由正弦定理APsin∠AQP=AQsin∠APQ=PQsin∠A,得AP=100sin∠AQP,AQ=100sin∠APQ.
故圍墻總造價(jià)y=100(AP+2AQ)
=10 000(sin∠AQP+2sin∠APQ)
=10 0003cos∠AQP.
因?yàn)锳P≥AQ,所以π6≤∠AQP<π3,
所以32<3cos∠AQP≤32.
所以圍墻總造價(jià)(單位:元)的取值范圍為(5 0003,15 000].?導(dǎo)學(xué)號16804184?
7.已知向量a=cosπ2+x,sinπ2+x,b=(-sin
9、 x,3sin x),f(x)=ab.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;
(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若fA2=1,a=23,求△ABC面積的最大值.
解 (1)易得a=(-sin x,cos x),
則f(x)=ab=sin 2x+3sin xcos x=12-12cos 2x+32sin 2x
=sin2x-π6+12,
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π,
當(dāng)2x-π6=π2+2kπ(k∈Z)時(shí),即x=π3+kπ(k∈Z),f(x)取最大值是32.
(2)∵fA2=sinA-π6+12=1,
∴sinA-π6=1
10、2,∴A=π3.
∵a2=b2+c2-2bccos A,∴12=b2+c2-bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12.(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號成立)
∴S=12bcsin A=34bc≤33.
∴當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)面積最大,最大值是33. ?導(dǎo)學(xué)號16804185?
8.(2017陜西咸陽二模,理17)設(shè)函數(shù)f(x)=sin xcos x-sin2x-π4(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若fC2=0,c=2,求△ABC面積的最大值.
解 (1)函數(shù)f(x)=sin xcos x-si
11、n2x-π4(x∈R),化簡可得f(x)=12sin 2x-121-cos2x-π2=sin 2x-12.
令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z),則kπ-π4≤x≤kπ+π4(k∈Z),即f(x)的遞增區(qū)間為kπ-π4,kπ+π4(k∈Z),
令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2(k∈Z),
則kπ+π4≤x≤kπ+3π4(k∈Z).
可得f(x)的遞減區(qū)間為kπ+π4,kπ+3π4(k∈Z).
(2)由fC2=0,得sin C=12.
∵△ABC是銳角三角形,∴C=π6.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,將c=2,C=π6代入得4=a2+b2-3ab.
由基本不等式得a2+b2=4+3ab≥2ab,即ab≤4(2+3),
∴S△ABC=12absin C≤124(2+3)12=2+3,
即△ABC面積的最大值為2+3.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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